Asymptote
En bref : Une asymptote est la droite vers laquelle la courbe d’une fonction file sans cesse : verticale si la fonction explose près d’un réel a, horizontale si elle se stabilise à l’infini.
TerminaleFonctions
Définition : Asymptote
Une asymptote est une droite que la courbe suit de très près, sans forcément la toucher, quand on s’éloigne vers l’infini ou qu’on approche d’une valeur interdite.
Si \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\), la droite \(x=a\) est verticale. Si \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (ou en \(-\infty\)), la droite \(y=\ell\) est horizontale. Tout repose donc sur une limite.
Comment le reconnaître
- La fonction contient un quotient dont le dénominateur s’annule en une valeur de \(x\) interdite.
- L’énoncé demande le comportement de la courbe « au voisinage de l’infini ».
- Un graphique montre une courbe qui colle à une droite sans la couper dans la partie visible.
- On doit interpréter une limite : valeur plafond d’un coût moyen, stabilisation d’une population.
La méthode
- Chercher les valeurs interdites et calculer les limites à gauche et à droite : un résultat infini donne une droite verticale.
- Calculer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\) ; un résultat fini \(\ell\) donne la droite horizontale \(y=\ell\).
- Écrire la conclusion avec l’équation de la droite, pas seulement la valeur de la limite.
- Pour la position de la courbe, étudier le signe de \(f(x)-\ell\).
Asymptote : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(f(x)=\frac{2x+1}{x-3}\) définie sur \(\mathbb{R}\) privé de \(3\). Déterminer les asymptotes de sa courbe.
Corrigé
En \(+\infty\) et \(-\infty\), on écrit \(f(x)=2+\frac{7}{x-3}\), qui tend vers \(2\) : droite horizontale \(y=2\).
Quand \(x\to 3^+\), le numérateur tend vers \(7\) et le dénominateur vers \(0^+\), donc \(f(x)\to+\infty\) ; à gauche, \(f(x)\to-\infty\). Ainsi \(x=3\) est la verticale cherchée : la courbe admet ces deux asymptotes.
À toi de jouer
Question 1
Pour \(g(x)=\frac{1}{x}\), quelles sont les asymptotes ?
Voir la réponse
\(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\) donne \(y=0\) ; \(x=0\) est une valeur interdite avec limite infinie, donc \(x=0\) aussi.
Question 2
Pour \(h(x)=x^2+1\), y a-t-il une asymptote horizontale ?
Voir la réponse
Non : \(h(x)\) tend vers \(+\infty\) en \(\pm\infty\), il n’y a pas de limite finie.
Ne pas confondre Asymptote et Tangente à une courbe
Une tangente touche la courbe en un point précis et se calcule avec la dérivée. Une asymptote concerne le comportement à l’infini ou près d’une valeur interdite et se trouve avec les limites. Une asymptote peut même être coupée par la courbe ailleurs.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
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