Suites : convergence et récurrence
Monotonie, majoration, limite. — Analyse, terminale.
Deux théorèmes règlent l'essentiel des questions de terminale sur les suites : une suite croissante et majorée converge, et une suite géométrique converge si la valeur absolue de sa raison est inférieure à 1. Le reste est affaire de reconnaissance et de rédaction.
Le quiz entraîne l'étude du sens de variation, la détermination d'une limite, l'identification du théorème applicable et la structure du raisonnement par récurrence, dont l'oubli de l'initialisation est la faute la plus sanctionnée.
Ce que ce quiz fait travailler
- Déterminer le sens de variation d'une suite
- Déterminer la limite d'une suite géométrique
- Reconnaître le théorème applicable
- Structurer un raisonnement par récurrence
La méthode, étape par étape
- Sens de variationOn étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ.
- Limite monotoneCroissante et majorée, donc convergente.
- Suite géométriqueConverge vers 0 si |q| < 1.
- RécurrenceInitialisation, hérédité, conclusion : les trois étapes sont obligatoires.
Les erreurs les plus fréquentes
- Omettre l'initialisation dans une récurrence.
- Conclure qu'une suite croissante et majorée converge vers son majorant.
- Oublier le cas des raisons négatives.
Conseils d'utilisation en classe
Le type « Quel théorème ? » entraîne la justification, qui est ce que le correcteur évalue.
Rappelez que le majorant n'est pas nécessairement la limite : c'est une erreur classique de rédaction.
Questions fréquentes
Une suite croissante et majorée converge-t-elle vers son majorant ?
Non. Elle converge vers sa borne supérieure, qui est inférieure ou égale au majorant. Le théorème garantit l'existence d'une limite, pas sa valeur.
Quelles sont les trois étapes d'une récurrence ?
L'initialisation, où l'on vérifie la propriété au premier rang ; l'hérédité, où l'on suppose la propriété vraie au rang n et on la démontre au rang suivant ; la conclusion. Omettre l'initialisation invalide toute la démonstration.
Comment étudier le sens de variation d'une suite ?
En étudiant le signe de uₙ₊₁ − uₙ, ou pour une suite à termes strictement positifs, en comparant le quotient uₙ₊₁/uₙ à 1.
À travailler ensuite en Tale
Limites de suites et de fonctionsReconnaître la forme, lever l'indétermination.
Dérivées et fonctions composéesLa formule de la composée, appliquée sans hésiter.
Logarithme népérienLe produit devient somme.
Exponentielle : équations et inéquationsPasser au logarithme, sans changer le sens.
Convexité et point d'inflexionLe signe de la dérivée seconde.
PrimitivesRemonter la dérivation.