Corrigé du bac de maths 2025 : Amérique du Nord, jour 1

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2025, Amérique du Nord, jour 1) 6 points

Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Partie A

1. Compléter l'arbre pondéré.

Les premières branches portent la répartition des connexions entre les serveurs : \(P(A)=0{,}25\), \(P(B)=0{,}15\) et, puisque C reçoit le reste, \(P(C)=1-0{,}25-0{,}15=0{,}6\). Les secondes branches portent les probabilités conditionnelles de stabilité données par l'équipe de maintenance, et leurs compléments à 1 pour \(\overline{S}\).

• Branche \(A\) (0,25) : vers \(S\) avec \(P_A(S)=0{,}9\), vers \(\overline{S}\) avec \(P_A(\overline{S})=0{,}1\).
• Branche \(B\) (0,15) : vers \(S\) avec \(P_B(S)=0{,}8\), vers \(\overline{S}\) avec \(P_B(\overline{S})=0{,}2\).
• Branche \(C\) (0,6) : vers \(S\) avec \(P_C(S)=0{,}85\), vers \(\overline{S}\) avec \(P_C(\overline{S})=0{,}15\).

Arbre : \(0{,}25\) ; \(0{,}15\) ; \(0{,}6\) au premier niveau, puis \(0{,}9/0{,}1\), \(0{,}8/0{,}2\) et \(0{,}85/0{,}15\).

2. Montrer que \(P(B\cap S)=0{,}12\).

La probabilité d'une intersection se lit en multipliant les probabilités le long du chemin \(B\) puis \(S\) :

\[P(B\cap S)=P(B)\times P_B(S)=0{,}15\times 0{,}8=0{,}12.\]

La probabilité que la connexion passe par B et soit stable vaut bien \(0{,}12\).

3. Calculer \(P(C\cap\overline{S})\) et l'interpréter.

Même principe sur le chemin \(C\) puis \(\overline{S}\) : \(P(C\cap\overline{S})=P(C)\times P_C(\overline{S})=0{,}6\times 0{,}15=0{,}09\).

\(P(C\cap\overline{S})=0{,}09\) : 9 % des connexions passent par le serveur C et sont instables.

4. Montrer que \(P(S)=0{,}855\).

Les évènements \(A\), \(B\) et \(C\) forment une partition de l'univers (une connexion passe par un et un seul serveur). La formule des probabilités totales donne donc :

\[P(S)=P(A)P_A(S)+P(B)P_B(S)+P(C)P_C(S)=0{,}25\times0{,}9+0{,}12+0{,}6\times0{,}85.\]

Soit \(P(S)=0{,}225+0{,}12+0{,}51=0{,}855\).

\(P(S)=0{,}855\).

5. Probabilité que la connexion soit passée par B sachant qu'elle est stable.

Ensuite, on cherche la probabilité conditionnelle \(P_S(B)\), « à l'envers » de l'arbre. Par ailleurs, on revient à la définition :

\[P_S(B)=\frac{P(B\cap S)}{P(S)}=\frac{0{,}12}{0{,}855}=\frac{8}{57}\approx 0{,}14035.\]

\(P_S(B)\approx 0{,}140\) au millième.

Partie B

1. a) Paramètres de la loi binomiale de \(X\).

Ensuite, on répète 50 fois, de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), la même épreuve à deux issues : la connexion est instable (succès, probabilité \(0{,}145\)) ou non. \(X\) compte les succès.

\(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(50\,;\,0{,}145)\).

1. b) Probabilité d'au plus huit connexions instables.

« Au plus huit » se traduit par \(X\leqslant 8\). La fonction de répartition de la loi binomiale de la calculatrice (binomFRép ou équivalent avec \(n=50\), \(p=0{,}145\), \(k=8\)) donne \(P(X\leqslant 8)\approx 0{,}70447\).

\(P(X\leqslant 8)\approx 0{,}704\).

2. a) Expression de \(p_n\).

Le contraire de « au moins une connexion instable » est « aucune connexion instable », c'est-à-dire \(X_n=0\). Or \(P(X_n=0)=\binom{n}{0}\,0{,}145^0\times0{,}855^n=0{,}855^n\).

\(p_n=1-0{,}855^n\).

2. b) Plus petit \(n\) tel que \(p_n\geqslant 0{,}99\).

Ensuite, on résout l'inéquation \(1-0{,}855^n\geqslant 0{,}99\), soit \(0{,}855^n\leqslant 0{,}01\). La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), donc cette inégalité équivaut à \(n\ln(0{,}855)\leqslant\ln(0{,}01)\).

Attention au sens : \(\ln(0{,}855)\lt 0\) car \(0{,}855\lt 1\), donc en divisant on retourne l'inégalité : \(n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}855)}\approx 29{,}4\).

Contrôle : \(p_{29}\approx 0{,}9894\lt 0{,}99\) et \(p_{30}\approx 0{,}9909\geqslant 0{,}99\).

La plus petite valeur est \(n=30\).

3. a) Espérance de \(F_n\).

Pour une loi binomiale, \(E(X_n)=np=0{,}145\,n\). L'espérance est linéaire, donc \(E(F_n)=E\left(\dfrac{X_n}{n}\right)=\dfrac{1}{n}E(X_n)=\dfrac{0{,}145\,n}{n}\).

\(E(F_n)=0{,}145\).

3. b) Vérifier l'inégalité.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(F_n\), d'espérance \(0{,}145\), avec l'écart \(\delta=0{,}1\gt 0\), s'écrit :

\[P\left(\left|F_n-0{,}145\right|\geqslant 0{,}1\right)\leqslant\frac{V(F_n)}{0{,}1^2}=\frac{0{,}123975}{0{,}01\,n}=\frac{12{,}3975}{n}.\]

Comme \(12{,}3975\leqslant 12{,}5\) et \(n\gt 0\), on a \(\dfrac{12{,}3975}{n}\leqslant\dfrac{12{,}5}{n}\).

Pour tout \(n\geqslant 1\), \(P\left(\left|F_n-0{,}145\right|\geqslant 0{,}1\right)\leqslant\dfrac{12{,}5}{n}\).

Question 3 c

3. c) Le soupçon de dysfonctionnement est-il fondé ?

Avec \(n=1000\), l'inégalité précédente donne \(P\left(\left|F_{1000}-0{,}145\right|\geqslant 0{,}1\right)\leqslant\dfrac{12{,}5}{1000}=0{,}0125\).

La fréquence observée vérifie \(|0{,}3-0{,}145|=0{,}155\geqslant 0{,}1\) : l'échantillon réalise donc un évènement dont la probabilité, en fonctionnement normal, est au plus de 1,25 %. Un tel écart est très peu vraisemblable si les serveurs fonctionnent normalement.

Oui, le responsable a de bonnes raisons de soupçonner un dysfonctionnement (évènement de probabilité inférieure ou égale à \(0{,}0125\)).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2025, Amérique du Nord, jour 1) 5 points

Suite définie par une fonction homographique, suite auxiliaire, raisonnement par récurrence, limites, algorithme de seuil en Python

1. Calculer \(u_1\).

Alors, on remplace \(u_0=2\) dans la relation de récurrence : \(u_1=\dfrac{2\times2+1}{2+2}=\dfrac{5}{4}\).

\(u_1=\dfrac{5}{4}=1{,}25\).

2. a) Calculer \(a_0\) et \(a_1\).

\(a_0=\dfrac{u_0}{u_0-1}=\dfrac{2}{1}=2\) et \(a_1=\dfrac{u_1}{u_1-1}=\dfrac{5/4}{1/4}=5\).

\(a_0=2\) et \(a_1=5\).

2. b) Montrer que \(a_{n+1}=3a_n-1\).

Par ailleurs, on exprime d'abord \(u_{n+1}-1\) en réduisant au même dénominateur :

\[u_{n+1}-1=\frac{2u_n+1-(u_n+2)}{u_n+2}=\frac{u_n-1}{u_n+2}.\]

Le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-1}\) s'obtient en divisant les deux fractions, dont les dénominateurs \(u_n+2\) se simplifient :

\[a_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+2}\times\frac{u_n+2}{u_n-1}=\frac{2u_n+1}{u_n-1}.\]

De l'autre côté, \(3a_n-1=\dfrac{3u_n}{u_n-1}-\dfrac{u_n-1}{u_n-1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n-1}\). Les deux expressions coïncident.

Pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n+1}=3a_n-1\).

2. c) Montrer par récurrence que \(a_n\geqslant 3n-1\) pour \(n\geqslant 1\).

Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(a_n\geqslant 3n-1\) ».

Initialisation. Pour \(n=1\) : \(a_1=5\) et \(3\times1-1=2\). Comme \(5\geqslant 2\), \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\geqslant 1\) tel que \(a_n\geqslant 3n-1\). En multipliant par 3 (positif) puis en retranchant 1 : \(3a_n-1\geqslant 3(3n-1)-1\), c'est-à-dire \(a_{n+1}\geqslant 9n-4\). Il reste à comparer \(9n-4\) avec \(3(n+1)-1=3n+2\) : leur différence vaut \(6n-6=6(n-1)\), positive puisque \(n\geqslant 1\). Donc \(a_{n+1}\geqslant 9n-4\geqslant 3(n+1)-1\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et se transmet d'un rang au suivant ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout \(n\geqslant 1\).

Pour tout entier \(n\geqslant 1\), \(a_n\geqslant 3n-1\).

2. d) Limite de \((a_n)\).

Comme \(\lim\limits_{n\to+\infty}(3n-1)=+\infty\) et que \(a_n\geqslant 3n-1\) pour \(n\geqslant 1\), le théorème de comparaison permet de conclure.

\(\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=+\infty\).

Question 3 a

3. a) Montrer que \(u_n=\dfrac{a_n}{a_n-1}\).

Ensuite, on « inverse » la définition de \(a_n\). De \(a_n=\dfrac{u_n}{u_n-1}\), on tire \(a_n(u_n-1)=u_n\), soit \(a_nu_n-u_n=a_n\), donc \(u_n(a_n-1)=a_n\).

Par ailleurs, on peut diviser par \(a_n-1\) : en effet \(a_n-1=\dfrac{u_n-(u_n-1)}{u_n-1}=\dfrac{1}{u_n-1}\), qui n'est jamais nul.

Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\dfrac{a_n}{a_n-1}\).

3. b) Limite de \((u_n)\).

La forme \(\dfrac{a_n}{a_n-1}\) est indéterminée quand \(a_n\to+\infty\) ; on la lève en écrivant, pour \(n\geqslant1\) (où \(a_n\gt 1\)), \(u_n=\dfrac{a_n}{a_n-1}=1+\dfrac{1}{a_n-1}\). Comme \(a_n-1\to+\infty\), on a \(\dfrac{1}{a_n-1}\to 0\).

\(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1\).

4. a) Interpréter \(n\) et \(u\) renvoyés par algo(p).

Le programme part de \(u_0=2\) et calcule les termes successifs tant que l'écart \(u_n-1\) dépasse \(p\). La suite étant décroissante de limite 1, cet écart diminue vers 0, et la boucle finit par s'arrêter.

\(n\) est le plus petit indice tel que \(u_n-1\leqslant p\) (le premier terme à moins de \(p\) de sa limite 1) et \(u\) est la valeur de ce terme \(u_n\).

4. b) Valeur de \(n\) pour \(p=0{,}001\).

En exécutant le programme (ou en calculant les termes à la calculatrice), on obtient \(u_5-1\approx 0{,}0027\) et \(u_6-1\approx 0{,}00091\). L'appel algo(0.001) renvoie donc \((6\,;\,1{,}000915\ldots)\).

\(n=6\).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2025, Amérique du Nord, jour 1) 4 points

Représentation paramétrique, positions relatives de droites, équation cartésienne de plan, produit scalaire et angle, projeté orthogonal

Un vecteur directeur de \((d)\) se lit sur les coefficients de \(t\) : \(\overrightarrow{u}(-2\,;\,0\,;\,-6)\), colinéaire à \(\overrightarrow{w}(1\,;\,0\,;\,3)\) puisque \(\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{w}\). La droite passe par le point \((3\,;\,-1\,;\,2)\), obtenu pour \(t=0\).

Affirmation 1 \((d)\) et l'axe des ordonnées sont non coplanaires.

L'axe des ordonnées passe par O et est dirigé par \(\overrightarrow{\jmath}(0\,;\,1\,;\,0)\). Les vecteurs \(\overrightarrow{w}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) ne sont pas colinéaires (\(\overrightarrow{w}\) a une deuxième coordonnée nulle et n'est pas nul), donc les droites ne sont pas parallèles. Deux droites de l'espace sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou sécantes ; il reste à chercher un point commun.

Un point de l'axe des ordonnées a pour coordonnées \((0\,;\,s\,;\,0)\). Pour qu'il soit sur \((d)\), il faudrait \(3-2t=0\), soit \(t=\dfrac{3}{2}\), et en même temps \(2-6t=0\), soit \(t=\dfrac{1}{3}\) : c'est impossible. Les droites n'ont aucun point commun.

Affirmation 1 : VRAIE (droites ni parallèles ni sécantes).

Affirmation 2 Plan passant par A et orthogonal à \((d)\) : \(x+3z+3=0\).

Un plan orthogonal à \((d)\) admet \(\overrightarrow{w}(1\,;\,0\,;\,3)\) comme vecteur normal ; son équation est de la forme \(x+3z+d=0\). Il contient \(\text{A}(3\,;\,-3\,;\,-2)\) si et seulement si \(3+3\times(-2)+d=0\), soit \(d=3\).

Affirmation 2 : VRAIE, le plan a pour équation \(x+3z+3=0\).

Affirmation 3 \(\widehat{\text{BAC}}=\dfrac{\pi}{6}\).

Le point C a pour abscisse 2 : \(3-2t=2\) donne \(t=\dfrac{1}{2}\), d'où \(\text{C}(2\,;\,-1\,;\,-1)\).

Puis on calcule \(\overrightarrow{\text{AB}}(2\,;\,-1\,;\,1)\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}(-1\,;\,2\,;\,1)\). Le produit scalaire vaut \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}}=-2-2+1=-3\) et les normes valent \(\text{AB}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt6\), \(\text{AC}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6\).

Avec \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}}=\text{AB}\times\text{AC}\times\cos\widehat{\text{BAC}}\), on obtient \(\cos\widehat{\text{BAC}}=\dfrac{-3}{6}=-\dfrac12\). Un produit scalaire négatif indique déjà un angle obtus, alors que \(\dfrac{\pi}{6}\) est aigu.

Affirmation 3 : FAUSSE, \(\widehat{\text{BAC}}=\dfrac{2\pi}{3}\).

Affirmation 4 \(\text{BH}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\).

Le vecteur \(\overrightarrow{n}(1\,;\,0\,;\,3)\) est normal à \(\mathcal{P}\). La droite passant par B et orthogonale à \(\mathcal{P}\) a pour représentation paramétrique \(x=5+k\), \(y=-4\), \(z=-1+3k\) avec \(k\in\mathbb{R}\). H est l'intersection de cette droite et du plan : \((5+k)+3(-1+3k)-7=0\), soit \(10k-5=0\), donc \(k=\dfrac12\) et \(\text{H}\left(\dfrac{11}{2}\,;\,-4\,;\,\dfrac12\right)\).

Alors \(\overrightarrow{\text{BH}}\left(\dfrac12\,;\,0\,;\,\dfrac32\right)\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{\text{BH}}=\dfrac12\overrightarrow{n}\), et \(\text{BH}=\sqrt{\dfrac14+\dfrac94}=\sqrt{\dfrac{10}{4}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\).

Affirmation 4 : VRAIE, \(\text{BH}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\).

Corrigé de l’exercice 4 (bac 2025, Amérique du Nord, jour 1) 5 points

Lien entre signe de la dérivée et variations, tangente, équation différentielle \(y'+y=h\), convexité et points d'inflexion, limites, variations, aire et primitive

Partie A

1. Associer \(g\) et \(g'\) à leurs courbes.

Si \(\mathcal{C}_2\) représente \(g'\), alors \(g\) doit être croissante là où \(\mathcal{C}_2\) est au-dessus de l'axe et décroissante là où elle est en dessous. Or \(\mathcal{C}_2\) est positive sur \([-2\,;\,1]\) et négative ailleurs, et \(\mathcal{C}_1\) est effectivement décroissante jusqu'à \(x=-2\), croissante de \(-2\) à 1, puis décroissante : ses extremums sont exactement aux abscisses où \(\mathcal{C}_2\) coupe l'axe.

L'inverse est impossible : en \(x=-2\), \(\mathcal{C}_1\) est nettement sous l'axe (vers \(-7{,}4\)), alors que \(\mathcal{C}_2\) y est croissante.

\(\mathcal{C}_1\) représente \(g\) et \(\mathcal{C}_2\) représente \(g'\).

2. Tangente en 0 : \(y=2x+1\).

La tangente en 0 a pour équation \(y=g'(0)(x-0)+g(0)\). D'après les renseignements, \(g(0)=1\) (point \((0\,;\,1)\) de \(\mathcal{C}_1\)) et \(g'(0)=2\) (point \((0\,;\,2)\) de \(\mathcal{C}_2\)).

La tangente a pour équation \(y=2x+1\).

Partie B

1. \(f_0\) est solution particulière de \((E)\).

\(f_0\) est un produit \(uv\) avec \(u(x)=x^2+3x\) et \(v(x)=\text{e}^{-x}\), donc \(f_0'(x)=(2x+3)\text{e}^{-x}-(x^2+3x)\text{e}^{-x}\).

En ajoutant \(f_0(x)=(x^2+3x)\text{e}^{-x}\), les termes en \(x^2+3x\) disparaissent : \(f_0(x)+f_0'(x)=(2x+3)\text{e}^{-x}\).

\(f_0\) vérifie \(y+y'=(2x+3)\text{e}^{-x}\) : c'est une solution particulière de \((E)\).

2. Résoudre \((E_0) : y+y'=0\).

L'équation s'écrit \(y'=-y\), de la forme \(y'=ay\) avec \(a=-1\). D'après le cours, ses solutions sont les fonctions \(x\mapsto K\text{e}^{ax}\).

Solutions de \((E_0)\) : \(x\mapsto K\text{e}^{-x}\), avec \(K\in\mathbb{R}\).

3. Solutions de \((E)\).

Les solutions de \((E)\) s'obtiennent en ajoutant à la solution particulière \(f_0\) les solutions de l'équation homogène \((E_0)\) : \(y(x)=(x^2+3x)\text{e}^{-x}+K\text{e}^{-x}\).

Solutions de \((E)\) : \(x\mapsto\left(x^2+3x+K\right)\text{e}^{-x}\), avec \(K\in\mathbb{R}\).

4. Expression de \(g\).

\(g\) est de la forme précédente et vérifie \(g(0)=1\). Or \(g(0)=(0+0+K)\text{e}^0=K\), donc \(K=1\). Par ailleurs, on peut contrôler : \(g'(x)=(-x^2-x+2)\text{e}^{-x}\) s'annule bien en \(-2\) et en 1 et vaut 2 en 0.

\(g(x)=\left(x^2+3x+1\right)\text{e}^{-x}\).

5. Solutions dont la courbe a exactement deux points d'inflexion.

Soit \(y_K(x)=(x^2+3x+K)\text{e}^{-x}\). Un point d'inflexion correspond à un changement de signe de la dérivée seconde. Alors, on dérive deux fois avec la règle \(\left(P\text{e}^{-x}\right)'=(P'-P)\text{e}^{-x}\) :

\[y_K'(x)=\left(-x^2-x+3-K\right)\text{e}^{-x},\qquad y_K''(x)=\left(x^2-x-4+K\right)\text{e}^{-x}.\]

Comme \(\text{e}^{-x}\gt 0\), \(y_K''\) a le signe du trinôme \(x^2-x+K-4\), de discriminant \(\Delta=1-4(K-4)=17-4K\).

• Si \(\Delta\gt 0\), le trinôme a deux racines distinctes et change de signe en chacune : deux points d'inflexion.
• Si \(\Delta=0\), il s'annule sans changer de signe : aucun point d'inflexion.
• Si \(\Delta\lt 0\), il garde un signe constant : aucun point d'inflexion.

Il faut donc \(17-4K\gt 0\), c'est-à-dire \(K\lt\dfrac{17}{4}\).

Ce sont les fonctions \(x\mapsto\left(x^2+3x+K\right)\text{e}^{-x}\) avec \(K\lt\dfrac{17}{4}\).

Partie C

1. Limite de \(f\) en \(+\infty\).

La forme « \(+\infty\times 0\) » est indéterminée ; on développe : \(f(x)=x^2\text{e}^{-x}+3x\text{e}^{-x}+2\text{e}^{-x}\). Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^2\text{e}^{-x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\text{e}^{x}}=0\) et de même \(\lim\limits_{x\to+\infty}x\text{e}^{-x}=0\) ; enfin \(\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\). Par somme :

\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\).

2. a) Vérifier l'expression de \(f'\).

Avec la même règle de dérivation d'un produit, \(f'(x)=(2x+3)\text{e}^{-x}-(x^2+3x+2)\text{e}^{-x}=(2x+3-x^2-3x-2)\text{e}^{-x}\).

\(f'(x)=\left(-x^2-x+1\right)\text{e}^{-x}\).

2. b) Signe de \(f'\) et variations de \(f\).

Comme \(\text{e}^{-x}\gt 0\), \(f'(x)\) a le signe de \(-x^2-x+1\). Son discriminant vaut \(\Delta=1+4=5\gt 0\), d'où deux racines \(x_1=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}\approx-1{,}62\) et \(x_2=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\approx 0{,}62\). Le coefficient de \(x^2\) est négatif, donc le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

\(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,\frac{-1-\sqrt5}{2}\right]\), croissante sur \(\left[\frac{-1-\sqrt5}{2}\,;\,\frac{-1+\sqrt5}{2}\right]\) et décroissante sur \(\left[\frac{-1+\sqrt5}{2}\,;+\infty\right[\).

3. \(f\) est positive sur \([0\,;+\infty[\).

Pour \(x\geqslant 0\), on a \(x^2\geqslant 0\) et \(3x\geqslant 0\), donc \(x^2+3x+2\geqslant 2\gt 0\) ; de plus \(\text{e}^{-x}\gt 0\). Le produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif. (On peut aussi remarquer que \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\), dont les racines \(-1\) et \(-2\) sont négatives.)

Pour tout \(x\geqslant 0\), \(f(x)\gt 0\) : \(f\) est positive sur \([0\,;+\infty[\).

4. Aire \(\mathcal{A}(\alpha)\).

Sur \([0\,;\,\alpha]\), \(f\) est continue et positive (question 3), donc l'aire du domaine situé entre l'axe des abscisses, \(\mathcal{C}_f\) et les droites \(x=0\) et \(x=\alpha\) vaut l'intégrale de \(f\) sur cet intervalle. Avec la primitive \(F\) fournie :

\[\mathcal{A}(\alpha)=\int_0^{\alpha}f(x)\,\text{d}x=F(\alpha)-F(0)=\left(-\alpha^2-5\alpha-7\right)\text{e}^{-\alpha}-(-7)\text{e}^{0}.\]

\(\mathcal{A}(\alpha)=7-\left(\alpha^2+5\alpha+7\right)\text{e}^{-\alpha}\) unités d'aire.

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Probabilité « sachant S » alors que l'arbre commence par les serveurs : on passe par \(P_S(B)=\dfrac{P(B\cap S)}{P(S)}\), après avoir obtenu \(P(S)\) par les probabilités totales.
• Pour un seuil du type \(0{,}855^n\leqslant 0{,}01\), le logarithme d'un nombre inférieur à 1 est négatif : l'inégalité change de sens quand on divise.
• Bienaymé-Tchebychev sur une fréquence : \(P(|F_n-E(F_n)|\geqslant\delta)\leqslant\dfrac{V(F_n)}{\delta^2}\) ; une fréquence observée qui réalise un évènement très improbable rend le soupçon légitime.
• Suite homographique : la suite auxiliaire transforme le problème en suite du type \(a_{n+1}=3a_n-1\), et un minorant qui tend vers \(+\infty\) suffit pour la limite.
• Équation \(y'+y=h\) : solution générale = solution particulière + \(K\text{e}^{-x}\) ; une condition initiale fixe \(K\).
• Point d'inflexion = changement de signe de \(f''\) : un discriminant nul ne donne pas de point d'inflexion, d'où l'inégalité stricte \(K\lt\dfrac{17}{4}\).

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Ce que contient le corrigé du bac 2025, Amérique du Nord, jour 1

Cette correction complète du bac 2025, Amérique du Nord, jour 1 du 21 mai 2025 reprend les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (6 points) traite : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) aborde : suite définie par une fonction homographique, suite auxiliaire, raisonnement par récurrence, limites, algorithme de seuil en Python. Puis, la correction de l'exercice 3 (4 points) aborde : représentation paramétrique, positions relatives de droites, équation cartésienne de plan, produit scalaire et angle, projeté orthogonal. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) porte sur : lien entre signe de la dérivée et variations, tangente, équation différentielle, convexité et points d'inflexion, limites, variations, aire et primitive.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2025, Amérique du Nord, jour 1

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. En probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.

Si vous n'avez pas encore cherché l'épreuve, commencez par l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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