Corrigé du bac de maths 2026 : Centres étrangers, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2026, Centres étrangers, jour 2) 4 points

Géométrie dans l'espace : vecteur normal, équation de plan, produit scalaire et angle, droite orthogonale, distance à un plan

1. A, B et C définissent-ils un plan ?

Trois points définissent un plan dès qu'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire dès que \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires. Ensuite, on calcule \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -4\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}\).

La première coordonnée de \(\overrightarrow{\text{AC}}\) est nulle alors que celle de \(\overrightarrow{\text{AB}}\) vaut 1 : s'il existait un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{\text{AC}}=k\overrightarrow{\text{AB}}\), on aurait \(k=0\), donc \(\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{0}\), ce qui est faux puisque sa deuxième coordonnée vaut 1.

En conclusion : les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan.

2. \(\overrightarrow{n}\) est-il normal au plan (ABC) ?

Un vecteur non nul est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Alors, on utilise le produit scalaire dans un repère orthonormé :

\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\text{AB}} = 4\times 1+4\times 1+2\times(-4)=4+4-8=0\) et \(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\text{AC}} = 4\times 0+4\times 1+2\times(-2)=0+4-4=0\).

En conclusion : \(\overrightarrow{n}\) est non nul et orthogonal à \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et à \(\overrightarrow{\text{AC}}\), non colinéaires, donc \(\overrightarrow{n}\) est normal au plan (ABC).

3. Équation cartésienne de (ABC).

Le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est normal, mais le vecteur \(\frac{1}{2}\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\) l'est aussi et donne des coefficients plus simples. Le plan a donc une équation de la forme \(2x+2y+z+d=0\).

Le point A appartient au plan : \(2\times 1+2\times 0+3+d=0\), soit \(5+d=0\), d'où \(d=-5\).

En conclusion : une équation cartésienne de (ABC) est \(2x+2y+z-5=0\) (ou, de façon équivalente, \(4x+4y+2z-10=0\)).

Question 4

4. H appartient-il à (ABC) ?

Puis on remplace les coordonnées de \(\text{H}(0 ; 2 ; 1)\) dans l'équation : \(2\times 0+2\times 2+1-5=0+4+1-5=0\).

En conclusion : les coordonnées de H vérifient l'équation, donc \(\text{H}\in(\text{ABC})\).

5. Mesure de l'angle \(\widehat{\text{BAH}}\).

Par ailleurs, on exprime le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AH}}\) de deux façons : avec les coordonnées, puis avec la formule \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AH}}=\text{AB}\times\text{AH}\times\cos\widehat{\text{BAH}}\).

Alors, on a \(\overrightarrow{\text{AH}}\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AH}}=1\times(-1)+1\times 2+(-4)\times(-2)=-1+2+8=9\).

Les longueurs : \(\text{AB}=\sqrt{1+1+16}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) et \(\text{AH}=\sqrt{1+4+4}=3\).

Il vient \(9=3\sqrt{2}\times 3\times\cos\widehat{\text{BAH}}\), donc \(\cos\widehat{\text{BAH}}=\dfrac{9}{9\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Un angle géométrique est compris entre 0° et 180°, et le seul dont le cosinus vaut \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) est 45°.

En conclusion : \(\widehat{\text{BAH}}=45^\circ\).

6. Représentation paramétrique de \((d)\).

Une droite orthogonale au plan (ABC) a pour vecteur directeur n'importe quel vecteur normal à ce plan. Par ailleurs, on prend \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\) et le point \(\text{H}(0 ; 2 ; 1)\).

En conclusion : \((d) : \begin{cases} x = 2t \\ y = 2+2t \\ z = 1+t \end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\) (on peut aussi prendre \(\overrightarrow{n}\) comme vecteur directeur : \(x=4t\), \(y=2+4t\), \(z=1+2t\)).

7. Coordonnées du point S.

La droite \((d)\) est orthogonale au plan et le coupe en H, qui appartient au plan (question 4). Pour tout point S de \((d)\), H est donc le projeté orthogonal de S sur (ABC), et la distance de S au plan est égale à la longueur SH.

Un point S de \((d)\) a pour coordonnées \((2t ; 2+2t ; 1+t)\), donc \(\overrightarrow{\text{HS}}\begin{pmatrix}2t \\ 2t \\ t\end{pmatrix}\) et \(\text{SH}=\sqrt{4t^2+4t^2+t^2}=\sqrt{9t^2}=3|t|\).

La condition \(\text{SH}=6\) donne \(|t|=2\), soit \(t=2\) ou \(t=-2\). L'abscisse \(x_{\text{S}}=2t\) doit être positive, ce qui impose \(t=2\) et donc \(\text{S}(4 ; 6 ; 3)\).

Vérification : \(\overrightarrow{\text{HS}}\begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ 2\end{pmatrix}\) a pour norme \(\sqrt{16+16+4}=6\).

En conclusion : \(\text{S}(4 ; 6 ; 3)\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2026, Centres étrangers, jour 2) 4 points

Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, espérance, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Partie A

1. Compléter l'arbre de probabilité.

Le premier niveau de l'arbre porte la répartition par âge, le second les proportions de personnes ayant publié dans chaque tranche d'âge (ce sont des probabilités conditionnelles). Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut 1, d'où les compléments \(1-0{,}7=0{,}3\), \(1-0{,}46=0{,}54\) et \(1-0{,}15=0{,}85\).

• \(J\) avec probabilité \(0{,}21\) : puis \(R\) avec \(P_J(R)=0{,}7\) et \(\overline{R}\) avec \(P_J(\overline{R})=0{,}3\) ;
• \(M\) avec probabilité \(0{,}46\) : puis \(R\) avec \(P_M(R)=0{,}46\) et \(\overline{R}\) avec \(P_M(\overline{R})=0{,}54\) ;
• \(S\) avec probabilité \(0{,}33\) : puis \(R\) avec \(P_S(R)=0{,}15\) et \(\overline{R}\) avec \(P_S(\overline{R})=0{,}85\).

En conclusion : branches du premier niveau \(0{,}21\) ; \(0{,}46\) ; \(0{,}33\), puis \(0{,}7\) et \(0{,}3\) après \(J\), \(0{,}46\) et \(0{,}54\) après \(M\), \(0{,}15\) et \(0{,}85\) après \(S\).

2. Calculer \(P(M\cap R)\) et interpréter.

Ensuite, on suit le chemin \(M\) puis \(R\) de l'arbre en multipliant les probabilités rencontrées : \(P(M\cap R)=P(M)\times P_M(R)=0{,}46\times 0{,}46=0{,}2116\).

En conclusion : \(P(M\cap R)=0{,}2116\approx 0{,}212\) ; environ 21,2 % des habitants d'au moins 15 ans ont entre 30 et 59 ans et ont déjà publié sur ce réseau social.

3. a) Probabilité d'avoir déjà publié.

Les événements \(J\), \(M\) et \(S\) forment une partition de l'univers (chaque personne est dans une et une seule tranche d'âge). De plus, la formule des probabilités totales donne :

\(P(R)=P(J\cap R)+P(M\cap R)+P(S\cap R)=0{,}21\times 0{,}7+0{,}2116+0{,}33\times 0{,}15=0{,}147+0{,}2116+0{,}0495=0{,}4081\).

En conclusion : \(P(R)=0{,}4081\approx 0{,}408\).

3. b) Sachant qu'elle a publié, probabilité d'avoir au moins 60 ans.

Alors, on cherche une probabilité conditionnelle « inversée » par rapport à l'arbre : \(P_R(S)=\dfrac{P(S\cap R)}{P(R)}=\dfrac{0{,}0495}{0{,}4081}\approx 0{,}12129\).

En conclusion : \(P_R(S)\approx 0{,}121\).

Partie B

1. Paramètres de la loi binomiale.

Chaque personne interrogée constitue une épreuve de Bernoulli dont le succès « avoir déjà publié » a pour probabilité \(0{,}41\). Ces épreuves sont répétées 100 fois de façon identique et indépendante (assimilation à des tirages avec remise), et \(X\) compte les succès.

En conclusion : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=100\) et \(p=0{,}41\).

2. Probabilité qu'au moins la moitié ait publié.

« Au moins la moitié des 100 personnes » se traduit par \(X\geqslant 50\). Ensuite, on passe par l'événement contraire : \(P(X\geqslant 50)=1-P(X\leqslant 49)\), et la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale) donne \(P(X\leqslant 49)\approx 0{,}95721\).

En conclusion : \(P(X\geqslant 50)\approx 0{,}043\).

3. Espérance de \(X\) et interprétation.

Pour une loi binomiale, \(E(X)=np=100\times 0{,}41=41\).

En conclusion : \(E(X)=41\) ; si l'on répétait ce sondage un grand nombre de fois, on compterait en moyenne 41 personnes sur 100 ayant déjà publié sur ce réseau social.

Partie C

Montrer que \(P(37\lt Y\lt 45)\gt 0{,}98\).

La variable \(Y\) est la moyenne de 150 variables indépendantes qui suivent toutes la même loi que \(X\). Ensuite, on calcule son espérance et sa variance, puis on applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Par linéarité de l'espérance, \(E(Y)=\dfrac{150\times E(X)}{150}=41\). Par indépendance, la variance d'une somme est la somme des variances : \(V(Y)=\dfrac{150\,V(X)}{150^2}=\dfrac{V(X)}{150}\), avec \(V(X)=np(1-p)=100\times 0{,}41\times 0{,}59=24{,}19\). Ainsi \(V(Y)=\dfrac{24{,}19}{150}\approx 0{,}1613\).

L'intervalle \(]37 ; 45[\) est centré sur l'espérance 41 et de demi-largeur 4 : \(37\lt Y\lt 45 \iff |Y-41|\lt 4\). L'événement contraire est \(|Y-41|\geqslant 4\), et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne :

\[P\left(|Y-41|\geqslant 4\right)\leqslant \dfrac{V(Y)}{4^2}=\dfrac{24{,}19}{150\times 16}=\dfrac{24{,}19}{2400}\approx 0{,}01008\]

Alors, on en déduit \(P(37\lt Y\lt 45)=1-P\left(|Y-41|\geqslant 4\right)\geqslant 1-\dfrac{24{,}19}{2400}\approx 0{,}98992\), et ce minorant est strictement supérieur à \(0{,}98\) puisque \(\dfrac{24{,}19}{2400}\lt\dfrac{48}{2400}=0{,}02\).

En conclusion : \(P(37\lt Y\lt 45)\geqslant 0{,}9899\), donc cette probabilité est strictement supérieure à 98 %.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2026, Centres étrangers, jour 2) 6 points

Dérivée de \(\ln(u)\), théorème de la bijection, suite récurrente, raisonnement par récurrence, théorème du point fixe, algorithme Python

Partie A

1. Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \([2 ;+\infty[\).

La fonction \(f\) est de la forme \(\ln(u)\) avec \(u(x)=3x^2+2x\), strictement positive sur \([2 ;+\infty[\) (somme de deux termes positifs, \(u(2)=16\)). Donc on sait que \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\), et \(u'(x)=6x+2\), donc :

\[f'(x)=\dfrac{6x+2}{3x^2+2x}\]

Pour \(x\geqslant 2\), le numérateur vérifie \(6x+2\geqslant 14\gt 0\) et le dénominateur est strictement positif, donc \(f'(x)\gt 0\).

En conclusion : \(f'\) est strictement positive, donc \(f\) est strictement croissante sur \([2 ;+\infty[\).

2. a) Existence et unicité de \(\alpha\).

La fonction \(g\) est continue sur \([2 ;+\infty[\) (différence de deux fonctions dérivables) et strictement décroissante (admis). Ensuite, on calcule \(g(2)=\ln(12+4)-2=\ln 16-2\approx 0{,}77\gt 0\), et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\).

La valeur 0 est donc comprise entre \(g(2)\) et la limite en \(+\infty\). D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation \(g(x)=0\) possède une solution et une seule sur \([2 ;+\infty[\).

En conclusion : l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([2 ;+\infty[\) ; elle vérifie \(f(\alpha)=\alpha\).

2. b) Valeur approchée de \(\alpha\) au centième.

Par balayage à la calculatrice : \(g(4{,}04)\approx 0{,}0038\gt 0\) et \(g(4{,}05)\approx -0{,}0016\lt 0\), donc \(4{,}04\lt\alpha\lt 4{,}05\). Un balayage plus fin donne \(\alpha\approx 4{,}0471\).

En conclusion : \(\alpha\approx 4{,}05\).

2. c) Tableau de signes de \(g\).

Comme \(g\) est strictement décroissante et s'annule en \(\alpha\) : pour \(2\leqslant x\lt\alpha\), \(g(x)\gt g(\alpha)=0\) ; pour \(x\gt\alpha\), \(g(x)\lt 0\).

En conclusion : \(g\) est positive sur \([2 ;\alpha]\), nulle en \(\alpha\) et strictement négative sur \(]\alpha ;+\infty[\).

Partie B

1. Montrer que \(2\leqslant a_n\leqslant\alpha\) pour tout \(n\).

Par ailleurs, on raisonne par récurrence sur \(n\), en notant \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(2\leqslant a_n\leqslant\alpha\) ». Remarquons que \(a_{n+1}=f(a_n)\).

Initialisation : l'hypothèse de l'énoncé est justement \(2\leqslant a_0\leqslant\alpha\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : supposons \(2\leqslant a_n\leqslant\alpha\) pour un entier \(n\). La fonction \(f\) est croissante sur \([2 ;+\infty[\), donc elle conserve l'ordre : \(f(2)\leqslant f(a_n)\leqslant f(\alpha)\). Or \(f(2)=\ln 16\approx 2{,}77\geqslant 2\) et \(f(\alpha)=\alpha\). Donc on obtient \(2\leqslant\ln 16\leqslant a_{n+1}\leqslant\alpha\), c'est-à-dire \(\mathcal{P}(n+1)\).

En conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(2\leqslant a_n\leqslant\alpha\).

2. Montrer que \((a_n)\) est croissante.

Ensuite, on étudie le signe de la différence de deux termes consécutifs : \(a_{n+1}-a_n=f(a_n)-a_n=g(a_n)\). D'après la question précédente, \(a_n\) appartient à \([2 ;\alpha]\), intervalle sur lequel \(g\) est positive (partie A, 2. c). Donc \(a_{n+1}-a_n\geqslant 0\).

En conclusion : pour tout \(n\), \(a_{n+1}\geqslant a_n\) : la suite \((a_n)\) est croissante.

3. Montrer que \((a_n)\) converge.

La suite \((a_n)\) est croissante et majorée par \(\alpha\) (question 1). Le théorème de convergence monotone permet de conclure.

En conclusion : la suite \((a_n)\) converge vers une limite \(\ell\) vérifiant \(2\leqslant\ell\leqslant\alpha\).

4. Montrer que la limite est \(\alpha\).

La suite vérifie \(a_{n+1}=f(a_n)\) avec \(f\) continue sur \([2 ;+\infty[\), et sa limite \(\ell\) appartient à cet intervalle. Par le théorème du point fixe, \(\ell=f(\ell)\), ce qui s'écrit \(g(\ell)=0\).

Or \(\alpha\) est l'unique solution de \(g(x)=0\) sur \([2 ;+\infty[\) (partie A), donc \(\ell=\alpha\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=\alpha\).

Partie C

1. Justifier que \(a_n\leqslant b_n\).

Avec \(a_0=2\), on a bien \(2\leqslant a_0\leqslant\alpha\), donc la partie B s'applique : \(a_n\leqslant\alpha\) pour tout \(n\).

De son côté, \((b_n)\) est strictement décroissante et converge vers \(\alpha\) : une suite décroissante qui converge est minorée par sa limite, donc \(b_n\geqslant\alpha\) pour tout \(n\) (si l'on avait \(b_N\lt\alpha\) pour un certain \(N\), tous les termes suivants resteraient sous \(b_N\) et la limite serait au plus \(b_N\lt\alpha\), contradiction).

En conclusion : pour tout \(n\), \(a_n\leqslant\alpha\leqslant b_n\), donc \(a_n\leqslant b_n\).

2. a) Valeurs renvoyées par algo(2).

Le programme calcule en parallèle les termes \(a_n\) et \(b_n\) et s'arrête dès que l'écart \(b_n-a_n\) devient inférieur ou égal à \(10^{-2}\) ; il renvoie alors le rang \(n\) atteint et le terme \(a_n\). Ensuite, en faisant tourner la boucle (valeurs arrondies au millième) :

Au rang 8 l'écart vaut encore environ \(0{,}013\gt 0{,}01\), la boucle continue ; au rang 9 il vaut environ \(0{,}006\leqslant 0{,}01\), la boucle s'arrête.

En conclusion : algo(2) renvoie \(n=9\) et \(a\approx 4{,}044\).

2. b) Interprétation.

Pour tout \(n\), on a \(a_n\leqslant\alpha\leqslant b_n\) : le réel \(\alpha\) est coincé entre les deux suites. Quand \(b_9-a_9\leqslant 10^{-2}\), le terme \(a_9\) est donc une valeur approchée de \(\alpha\) par défaut à \(10^{-2}\) près.

En conclusion : 9 est le premier rang pour lequel l'écart entre \(b_n\) et \(a_n\) ne dépasse pas \(0{,}01\), et \(a_9\approx 4{,}044\) approche \(\alpha\) par défaut à \(10^{-2}\) près (ce qui confirme \(\alpha\approx 4{,}05\)).

Corrigé de l’exercice 4 (bac 2026, Centres étrangers, jour 2) 6 points

Lien entre une fonction et ses dérivées, équation différentielle \(y'+y=h\), limites et croissances comparées, intégration par parties, tangentes et polynôme de degré 3

Partie A

Associer \(f\), \(f'\) et \(f''\) aux courbes.

Aucune justification n'est demandée, mais voici comment trouver la réponse : là où une fonction est croissante, sa dérivée est positive. La courbe \(\mathcal{C}_1\) décroît jusqu'à environ 1,4, croît jusqu'à environ 3,6 puis décroît, et \(\mathcal{C}_3\) est négative, puis positive, puis négative avec des changements de signe à ces mêmes abscisses : \(\mathcal{C}_3\) est la dérivée de la fonction de \(\mathcal{C}_1\). De même, \(\mathcal{C}_3\) croît jusqu'à 2, décroît de 2 à 5 puis croît, et \(\mathcal{C}_2\) est positive avant 2, négative entre 2 et 5, positive après : \(\mathcal{C}_2\) est la dérivée de la fonction de \(\mathcal{C}_3\).

En conclusion : \(f\) est représentée par \(\mathcal{C}_1\), \(f'\) par \(\mathcal{C}_3\) et \(f''\) par \(\mathcal{C}_2\).

Partie B

1. \(g\) est-elle solution particulière de \((E)\) ?

Alors, on dérive \(g\) comme un produit \(uv\) avec \(u(x)=x^2-3x\) et \(v(x)=\text{e}^{-x}\), donc \(u'(x)=2x-3\) et \(v'(x)=-\text{e}^{-x}\) :

\[g'(x)=(2x-3)\text{e}^{-x}-(x^2-3x)\text{e}^{-x}=\left(-x^2+5x-3\right)\text{e}^{-x}\]

Par ailleurs, on ajoute \(g(x)\) : \(g'(x)+g(x)=\left(-x^2+5x-3+x^2-3x\right)\text{e}^{-x}=(2x-3)\text{e}^{-x}\).

En conclusion : pour tout réel \(x\), \(g'(x)+g(x)=(2x-3)\text{e}^{-x}\), donc \(g\) est une solution particulière de \((E)\).

2. Solutions de \(y'+y=0\).

L'équation s'écrit \(y'=-y\), du type \(y'=ay\) avec \(a=-1\). Ses solutions sont les fonctions \(x\mapsto C\text{e}^{ax}\), \(C\) réel.

En conclusion : les solutions de \(y'+y=0\) sont les fonctions \(x\mapsto C\text{e}^{-x}\), avec \(C\in\mathbb{R}\).

3. Solutions de \((E)\).

Les solutions d'une équation différentielle linéaire du premier ordre s'obtiennent en ajoutant une solution particulière aux solutions de l'équation homogène associée. Avec la solution \(g\) de la question 1 :

En conclusion : les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x\mapsto C\text{e}^{-x}+\left(x^2-3x\right)\text{e}^{-x}=\left(x^2-3x+C\right)\text{e}^{-x}\), avec \(C\in\mathbb{R}\).

4. Solution vérifiant \(f(0)=2\).

La solution cherchée s'écrit \(f(x)=\left(x^2-3x+C\right)\text{e}^{-x}\). En \(x=0\) : \(f(0)=(0-0+C)\times\text{e}^{0}=C\). La condition \(f(0)=2\) impose \(C=2\).

En conclusion : \(f(x)=\left(x^2-3x+2\right)\text{e}^{-x}\), c'est-à-dire la fonction étudiée dans la partie C.

Partie C

1. Signe de \(f\).

Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{-x}\gt 0\), donc \(f(x)\) a le signe du trinôme \(x^2-3x+2\). Son discriminant vaut \(9-8=1\), ses racines sont \(\frac{3-1}{2}=1\) et \(\frac{3+1}{2}=2\), et l'on a \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\). Le coefficient de \(x^2\) est positif : le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

En conclusion : \(f(x)\gt 0\) sur \(]-\infty ;1[\cup]2 ;+\infty[\), \(f(x)\lt 0\) sur \(]1 ;2[\), et \(f\) s'annule en 1 et en 2.

2. a) Limite en \(-\infty\).

Quand \(x\to-\infty\), \(-x\to+\infty\) donc \(\text{e}^{-x}\to+\infty\). Par ailleurs, le trinôme \(x^2-3x+2\) tend vers \(+\infty\) (terme de plus haut degré \(x^2\)). Par produit de deux limites infinies positives :

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\).

2. b) Limite en \(+\infty\).

Ici on a une forme indéterminée « \(+\infty\times 0\) ». Ensuite, on développe : \(f(x)=\dfrac{x^2}{\text{e}^{x}}-3\dfrac{x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{2}{\text{e}^{x}}\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\text{e}^{x}}=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}=0\) ; de plus \(\dfrac{2}{\text{e}^{x}}\to 0\). Par somme :

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\) ; l'axe des abscisses est asymptote à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

3. a) Calcul de \(I\) par deux intégrations par parties.

Rappel de la formule, pour \(u\) et \(v\) dérivables à dérivées continues : \(\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,\text{d}x=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,\text{d}x\). Alors, on choisit à chaque fois de dériver le polynôme (son degré baisse) et de primitiver l'exponentielle.

Première intégration : \(u(x)=x^2-3x+2\), \(v'(x)=\text{e}^{-x}\), donc \(u'(x)=2x-3\) et \(v(x)=-\text{e}^{-x}\).

\[I=\Big[-\left(x^2-3x+2\right)\text{e}^{-x}\Big]_0^1+\int_0^1(2x-3)\text{e}^{-x}\,\text{d}x\]

Le crochet vaut \(-(1-3+2)\text{e}^{-1}+(0-0+2)\text{e}^{0}=0+2=2\). Donc \(I=2+J\), avec \(J=\displaystyle\int_0^1(2x-3)\text{e}^{-x}\,\text{d}x\).

Seconde intégration pour \(J\) : \(u(x)=2x-3\), \(v'(x)=\text{e}^{-x}\), donc \(u'(x)=2\) et \(v(x)=-\text{e}^{-x}\).

\[J=\Big[-(2x-3)\text{e}^{-x}\Big]_0^1+\int_0^1 2\text{e}^{-x}\,\text{d}x=\Big[-(2x-3)\text{e}^{-x}\Big]_0^1+\Big[-2\text{e}^{-x}\Big]_0^1\]

Premier crochet : \(-(2-3)\text{e}^{-1}-\left(-(0-3)\text{e}^{0}\right)=\text{e}^{-1}-3\). Second crochet : \(-2\text{e}^{-1}+2\). D'où \(J=\text{e}^{-1}-3-2\text{e}^{-1}+2=-1-\text{e}^{-1}\).

Finalement \(I=2+J=2-1-\text{e}^{-1}=1-\dfrac{1}{\text{e}}\).

En conclusion : \(I=1-\dfrac{1}{\text{e}}\approx 0{,}632\).

Question 3 b

3. b) Interprétation graphique.

D'après la question 1, \(f\) est positive (et continue) sur \([0 ;1]\). L'intégrale \(I\) mesure alors une aire.

En conclusion : \(1-\dfrac{1}{\text{e}}\) est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=1\).

Partie D

1. Ordonnée du point où \((T_a)\) coupe l'axe des ordonnées.

La tangente au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\). Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse 0, d'ordonnée \(f(a)-af'(a)\).

Puis on calcule \(f'\) comme produit : \(f'(x)=(2x-3)\text{e}^{-x}-\left(x^2-3x+2\right)\text{e}^{-x}=\left(-x^2+5x-5\right)\text{e}^{-x}\). Alors :

\[f(a)-af'(a)=\left[a^2-3a+2-a\left(-a^2+5a-5\right)\right]\text{e}^{-a}=\left[a^2-3a+2+a^3-5a^2+5a\right]\text{e}^{-a}\]

En conclusion : l'ordonnée à l'origine de \((T_a)\) est \(\left(a^3-4a^2+2a+2\right)\text{e}^{-a}\).

2. Nombre de tangentes passant par l'origine.

Étape 1 : traduction. La tangente \((T_a)\) passe par l'origine si et seulement si son ordonnée à l'origine est nulle, c'est-à-dire \(\left(a^3-4a^2+2a+2\right)\text{e}^{-a}=0\). Comme \(\text{e}^{-a}\gt 0\), cela équivaut à \(h(a)=0\), avec \(h(x)=x^3-4x^2+2x+2\). Des valeurs de \(a\) différentes donnent des points de contact différents, donc on doit compter les solutions de \(h(x)=0\).

Étape 2 : variations de \(h\). Ainsi, on a \(h'(x)=3x^2-8x+2\), trinôme de discriminant \(64-24=40\), de racines \(x_1=\dfrac{4-\sqrt{10}}{3}\approx 0{,}28\) et \(x_2=\dfrac{4+\sqrt{10}}{3}\approx 2{,}39\). Donc \(h\) est strictement croissante sur \(]-\infty ;x_1]\), strictement décroissante sur \([x_1 ;x_2]\), strictement croissante sur \([x_2 ;+\infty[\).

Étape 3 : valeurs clés. Les limites de \(h\) sont celles de son terme \(x^3\) : \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\). Le maximum local vaut \(h(x_1)\approx 2{,}27\gt 0\) et le minimum local \(h(x_2)\approx -2{,}42\lt 0\) (valeurs exactes \(\frac{-2+20\sqrt{10}}{27}\) et \(\frac{-2-20\sqrt{10}}{27}\)).

Étape 4 : théorème de la bijection sur chaque intervalle. Sur \(]-\infty ;x_1]\), \(h\) est continue, strictement croissante, et passe de \(-\infty\) à une valeur positive : une unique solution (vers \(-0{,}48\)). Puis, sur \([x_1 ;x_2]\), \(h\) est continue, strictement décroissante, de \(h(x_1)\gt 0\) à \(h(x_2)\lt 0\) : une unique solution (vers \(1{,}31\)). Sur \([x_2 ;+\infty[\), \(h\) est continue, strictement croissante, de \(h(x_2)\lt 0\) à \(+\infty\) : une unique solution (vers \(3{,}17\)).

Ces trois tangentes ont des coefficients directeurs différents (environ \(-12{,}36\), \(-0{,}044\) et \(0{,}034\)), ce sont donc bien trois droites distinctes.

En conclusion : l'équation \(h(a)=0\) a exactement trois solutions, donc il existe exactement trois tangentes à \(\mathcal{C}_f\) passant par l'origine du repère.

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Dans l'espace, quand la droite \((d)\) est orthogonale au plan et passe par un point H du plan, la distance d'un point S de \((d)\) au plan est simplement SH : pas besoin de formule de distance.
• Pour Bienaymé-Tchebychev appliqué à une moyenne de \(n\) variables indépendantes, la variance est divisée par \(n\) : \(V(Y)=V(X)/n\) ; on passe par l'événement contraire \(|Y-\mu|\geqslant t\).
• Pour une suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f\) croissante, la récurrence « \(2\leqslant u_n\leqslant\alpha\) » se fait en appliquant \(f\) à l'encadrement ; le signe de \(u_{n+1}-u_n\) est celui de \(g(u_n)=f(u_n)-u_n\).
• Une suite décroissante convergente est minorée par sa limite : c'est ce qui permet d'encadrer \(\alpha\) entre \(a_n\) et \(b_n\) et d'interpréter le script Python.
• Pour reconnaître \(f\), \(f'\), \(f''\) sur un graphique, on relie les variations d'une courbe au signe d'une autre ; dans les intégrations par parties, on dérive toujours le polynôme.
• Compter des tangentes passant par un point revient à compter les solutions d'une équation en \(a\) : tableau de variations puis théorème de la bijection sur chaque intervalle de monotonie.

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Présentation du corrigé du bac 2026, Centres étrangers, jour 2

Ce corrigé du bac 2026, Centres étrangers, jour 2 du 11 juin 2026 reprend les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (4 points) porte sur : géométrie dans l'espace : vecteur normal, équation de plan, produit scalaire et angle, droite orthogonale, distance à un plan. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (4 points) aborde : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, espérance, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Puis, la correction de l'exercice 3 (6 points) traite : dérivée de, théorème de la bijection, suite récurrente, raisonnement par récurrence, théorème du point fixe, algorithme Python. Enfin, la correction de l'exercice 4 (6 points) porte sur : lien entre une fonction et ses dérivées, équation différentielle, limites et croissances comparées, intégration par parties, tangentes et polynôme de degré 3.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2026, Centres étrangers, jour 2

Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.

Avant tout, gardez sous la main l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.

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