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Quatrième · fiche 11 sur 12

Cosinus d'un angle aigu

Le cosinus relie un angle à un rapport de longueurs. Il permet de passer des angles aux longueurs, et réciproquement.

L'essentiel en trois points

  1. $\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.
  2. Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
  3. Pour trouver l'angle à partir de son cosinus, on utilise la touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice.

La définition

Règle — cosinus dans un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu :

$$\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté adjacent à l'angle}}{\text{hypoténuse}}$$
À savoir — repérer les côtés

L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit. Le côté adjacent à l'angle étudié est celui qui le borde, sans être l'hypoténuse.

Piège à éviter

Le côté adjacent change quand on change d'angle. Il faut le redéterminer à chaque question, et non le fixer une fois pour toutes.

Calculer une longueur

Comment faire — la méthode

On écrit la relation, on remplace ce que l'on connaît, puis on isole l'inconnue.

Exemple guidé

Triangle rectangle en $A$, $\widehat{B} = 35°$, $BC = 12$ cm. $\cos(35°) = \dfrac{AB}{12}$, donc $AB = 12 \times \cos(35°) \approx 9{,}8$ cm.

Calculer un angle

Comment faire — la touche inverse

On calcule le rapport, puis on applique $\cos^{-1}$.

Si $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}556$, alors $\widehat{B} \approx 56{,}3°$.

Astuce

Vérifiez que la calculatrice est en mode degrés. En radians, le résultat n'a rien à voir.

Piège à éviter

Un cosinus supérieur à $1$ signale une erreur : le côté adjacent ne peut pas dépasser l'hypoténuse. C'est souvent le signe qu'on a confondu deux côtés.

Vérifiez que vous savez faire

  • repérer hypoténuse et côté adjacent pour un angle donné
  • écrire la relation du cosinus
  • calculer une longueur à partir d'un angle
  • calculer un angle à partir de deux longueurs
  • vérifier la vraisemblance du cosinus obtenu

On nous pose souvent ces questions

Comment définit-on le cosinus d'un angle aigu ?

C'est le quotient de la longueur du côté adjacent à l'angle par celle de l'hypoténuse, dans un triangle rectangle.

Le cosinus peut-il dépasser 1 ?

Non. Le côté adjacent ne peut pas être plus long que l'hypoténuse, donc le cosinus d'un angle aigu reste toujours entre 0 et 1.

Comment trouver un angle à partir de son cosinus ?

On calcule le rapport des deux longueurs, puis on utilise la touche cosinus moins un de la calculatrice, en vérifiant qu'elle est réglée en degrés.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

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