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Quatrième · fiche 4 sur 12

Calcul littéral : développer et factoriser

Développer et factoriser sont deux trajets inverses : l'un transforme un produit en somme, l'autre une somme en produit.

L'essentiel en trois points

  1. Double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
  2. Factoriser, c'est faire apparaître un facteur commun.
  3. Une vérification numérique sur une valeur simple repère presque toutes les erreurs.

Développer

Règle — simple et double distributivité

$k(a+b) = ka + kb$

$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, soit quatre produits.

Exemple guidé

$(x+3)(x-5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15$.

Piège à éviter

Un signe moins se transporte avec le terme : dans $(x+3)(x-5)$, le second produit est $x \times (-5)$, donc $-5x$. Oublier ce signe est l'erreur la plus fréquente.

Réduire

Comment faire — regrouper les termes semblables

On additionne les coefficients des termes ayant la même partie littérale. $x^2$, $x$ et les nombres seuls forment trois familles distinctes.

Factoriser

Comment faire — repérer le facteur commun

On cherche ce qui apparaît dans tous les termes — un nombre, une lettre, ou une parenthèse entière.

$12x + 18 = 6(2x + 3)$

$5x^2 + 7x = x(5x + 7)$

$(x+2)(x-1) + (x+2) \times 4 = (x+2)\big[(x-1) + 4\big] = (x+2)(x+3)$

Astuce

Un facteur commun peut être une parenthèse entière. La repérer évite de développer pour rien.

Vérifier

Comment faire — le test numérique

On choisit une valeur simple, par exemple $x = 2$, et on calcule l'expression de départ et le résultat. S'ils diffèrent, il y a une erreur.

Pour $(x+3)(x-5) = x^2-2x-15$ avec $x=2$ : à gauche $5 \times (-3) = -15$, à droite $4 - 4 - 15 = -15$. Cohérent.

Astuce

Évitez $x = 0$ et $x = 1$ comme seule vérification : beaucoup d'erreurs passent inaperçues avec ces valeurs.

Vérifiez que vous savez faire

  • développer avec la double distributivité
  • gérer les signes lors d'un développement
  • réduire une expression littérale
  • factoriser par un facteur commun, y compris une parenthèse
  • vérifier un développement par un test numérique

On nous pose souvent ces questions

Qu'est-ce que la double distributivité ?

C'est la règle qui permet de développer un produit de deux parenthèses : chaque terme de la première multiplie chaque terme de la seconde, ce qui donne quatre produits.

Quelle différence entre développer et factoriser ?

Développer transforme un produit en somme, factoriser transforme une somme en produit. Ce sont deux opérations inverses l'une de l'autre.

Comment vérifier un développement ?

On choisit une valeur simple de l'inconnue, par exemple 2, et on calcule l'expression de départ puis le résultat obtenu. S'ils diffèrent, il y a une erreur.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

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