Calcul littéral et double distributivité : cours de maths en 4ème à imprimer à télécharger en PDF

Calcul littéral et double distributivité – Cours de maths niveau 4e sur Maths-pdf.fr

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Sommaire

Le calcul littéral à travers un cours de maths en 4ème qui vous permettra d’assimiler les définitions et les propriétés du calcul algébrique. L’élève devra être capable de réduire une expression et de savoir développer en utilisant les propriétés de simple ou double distributivité en quatrième. Calculer la valeur d’une expression en substituant une valeur pour la variable étudiée.
Avant d’aborder cette leçon, il faut avoir acquis le cours sur le calcul littéral de l’année précédente.

I. Le calcul littéral : rappels de 5ème.

1.Définitions et vocabulaire.

Définition :

On appelle expression littérale (ou expression algébrique) toute expression contenant une ou plusieurs lettres. Ces lettres désignent des nombres.

Exemples :

L’aire d’un carré de côté c s’exprime avec l’expression littérale $A=c\times\,c=c^2$ .
Un rectangle de longueur L et de largeur l a un périmètre qui s’exprime avec l’expression littérale $P=2(L+l)=2\times\,L+2\times\,l$ .

Règle de simplification :

Dans une expression littérale, nous ne noterons plus un signe x entre deux lettres, entre un nombre et une lettre, ou encore, précédé d’une parenthèse.

Exemples :

Pour un rectangle de longueur L et de largeur l , son périmètre vaut $P=2(L+l)=2\times\,L+2\times\,l=2L+2l$ .
Un cercle de rayon R a pour périmètre $P=2\pi\,R$ et pour aire $A=\pi\,R^2$ .

Remarque :

On peut simplifier $1\times\,x$ en et $0\times\,y$ en .
L’expression $3\times\,(p+2)$ peut s’écrire .
Attention : on ne peut pas supprimer le signe x entre deux nombres $3\times\,5\neq\,35$ .

Définition (puissances) :

On considère un nombre relatif a. $a^2=a\times\,a$ et se lit a au carré.

$a^3=a\times\,a\times\,a$ et se lit a au cube.

Exemples :

Aire d’un carré de côté a est $A=a\times\,a=a^2$ .

Le volume d’un cube de côté a est $V=a\times\,a\times\,a=a^3$

2. Evaluer une expression littérale

Propriété :

Afin d’évaluer une expression littérale, on substitue (remplace) la lettre par sa valeur et nous calculons la valeur de l’expression numérique.

Exemples :

Considérons l’expression littérale A=7x+1 .

Si x=3 alors $A=7x+1=7\times\,3+1=21+1=22$
Si x = -2 alors $A=7x+1=7\times\,(-3)+1=-14+1=-13$

On dit que l’on substitue (remplace) la valeur de x.

On passe, ainsi, du calcul littéral au calcul numérique.

3. La simple distributivité du calcul littéral

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme somme de termes.

Exemples :

Également, est une forme développée.

Définition :

Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

Exemples :

sont des formes factorisées.

Définition :

Réduire une expression littérale, c’est regrouper tous les termes de même nature.

Exemples :

Réduire les expressions suivantes :

Propriété :

Soient k, a et b trois nombres relatifs :

Preuve :

Exemples :

Développer et réduire des expressions :

$A=7(x+3)\\A=7\times\,x+7\times\,3\\A=7x+21$ $B=2(z-5)\\B=2\times\,z-2\times\,5\\B=2z-10$ $C=3(x+4)+7x-6\\C=3\times\,x+3\times\,4+7x-6\\C=3x+12+7x-6\\C=10x+6$

Exemples :

En utilisant la simple distributivité, développer les expressions littérales suivantes :

$A=5(x+2)=5\times\,x+5\times\,2=5x+10\\B=2(y-4)=2x-8\\C=5(2p-3)=5\times\,2p-5\times\,3=10p-15\\D=4(r-1)+4r+9=4r-4+4r+9=8r+5$

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme somme de termes.
Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

Exemples :

est une forme quelconque.

est une forme développée.

Ensuite, est une forme factorisée.

est une forme factorisée.

Définition :

Réduire une expression algébrique, c’est simplifier au maximum cette écriture en regroupant tous les termes de même nature.

Exemples :

Réduire les expressions littérales suivantes :

$A=7x+3+6\\A=7x+9$

L’expression 7x+9 est appelée forme réduite.

$B=2x+9+4x-6\\B=2x+4x+9-6\\B=6x+3$

$C=3x^2+7x+11-2x^2-4x-5\\C=3x^2-2x^2+7x-4x+11-5\\C=1x^2+3x+6\\C=x^2+3x+6$

II. La double distributivité :

Propriété :

On désigne par a, b, c et d quatre nombres relatifs.

Exemples :

Développer et réduire les expressions suivantes :

Exemples :

Développer et réduire les expressions littérales suivantes :

$A=(x+1)(x+2)\\A=x\times\,x+x\times\,2+1\times\,x+1\times\,2\\A=x^2+2x+x+2\\A=x^2+3x+2$

$B=(x-7)(x+4)\\B=x\times\,x+x\times\,4-7\times\,x-7\times\,4\\B=x^2+4x-7x-28\\B=x^2-3x-28$

$C=(2x-1)(3x-5)\\C=2x\times\,3x-2x\times\,5-1\times\,3x+1\times\,5\\C=6x^2-10x-3x+5\\C=6x^2-13x+5$

III. La double distributivité à l’aide de la géométrie :

Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Calcul littéral (Wikipédia).

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I. Le calcul littéral : rappels de 5ème.

1.Définitions et vocabulaire.

2. Evaluer une expression littérale

3. La simple distributivité du calcul littéral

II. La double distributivité :

III. La double distributivité à l’aide de la géométrie :

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