Calcul littéral et double distributivité : cours de maths en 4ème à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

📚Cours de Mathématiques4ème • collège

Calcul littéral et double distributivité

⏱️Temps de lecture : 4 min

🎯Difficulté : Intermédiaire

📚Cycle 4

📋Prérequis : Programme 5ème maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Le calcul littéral à travers un cours de maths en 4ème qui vous permettra d’assimiler les définitions et les propriétés du calcul algébrique. L’élève devra être capable de réduire une expression et de savoir développer en utilisant les propriétés de simple ou double distributivité en quatrième. Calculer la valeur d’une expression en substituant une valeur pour la variable étudiée.
Avant d’aborder cette leçon, il faut avoir acquis le cours sur le calcul littéral de l’année précédente.

I. Le calcul littéral : rappels de 5ème.

1.Définitions et vocabulaire.

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme somme de termes.
Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

Exemples :

est une forme quelconque.

est une forme développée.

est une forme factorisée.

Définition :

Réduire une expression algébrique, c’est simplifier au maximum cette écriture en regroupant tous les termes de même nature.

Exemples :

Réduire les expressions littérales suivantes :

$A=7x+3+6\\A=7x+9$

L’expression est appelée forme réduite.

$B=2x+9+4x-6\\B=2x+4x+9-6\\B=6x+3$

$C=3x^2+7x+11-2x^2-4x-5\\C=3x^2-2x^2+7x-4x+11-5\\C=1x^2+3x+6\\C=x^2+3x+6$

2.La simple distributivité :

Propriété (simple distributivité) :

Pour tous nombres relatifs k,a et , nous avons :

Preuve :

Exemples :

Développer et réduire des expressions :

$A=7(x+3)\\A=7\times \,x+7\times \,3\\A=7x+21$ $B=2(z-5)\\B=2\times \,z-2\times \,5\\B=2z-10$ $C=3(x+4)+7x-6\\C=3\times \,x+3\times \,4+7x-6\\C=3x+12+7x-6\\C=10x+6$

II. La double distributivité :

Propriété :

On désigne par a, b, c et d quatre nombres relatifs.

Exemple :

Développer et réduire les expressions littérales suivantes :

$A=(x+1)(x+2)\\A=x\times \,x+x\times \,2+1\times \,x+1\times \,2\\A=x^2+2x+x+2\\A=x^2+3x+2$

$B=(x-7)(x+4)\\B=x\times \,x+x\times \,4-7\times \,x-7\times \,4\\B=x^2+4x-7x-28\\B=x^2-3x-28$

$C=(2x-1)(3x-5)\\C=2x\times \,3x-2x\times \,5-1\times \,3x+1\times \,5\\C=6x^2-10x-3x+5\\C=6x^2-13x+5$

III. La double distributivité à l’aide de la géométrie :

Autre version de cette leçon

I. Expression littérale

Définition :

On appelle expression littérale (ou expression algébrique) toute expression contenant une ou plusieurs lettres. Ces lettres désignent des nombres.

Exemples :

L’aire d’un carré de côté c s’exprime avec l’expression littérale $A=c\times \,c=c^2$ .
Un rectangle de longueur L et de largeur l a un périmètre qui s’exprime avec l’expression littérale $P=2(L+l)=2\times \,L+2\times \,l$ .

Règle de simplification :

Dans une expression littérale, nous ne noterons plus un signe x entre deux lettres, entre un nombre et une lettre, ou encore, précédé d’une parenthèse.

Exemple :

Pour un rectangle de longueur L et de largeur l , son périmètre vaut $P=2(L+l)=2\times \,L+2\times \,l=2L+2l$ .
Un cercle de rayon R a pour périmètre $P=2\pi\,R$ et pour aire $A=\pi\,R^2$ .

Remarque :

On peut simplifier $1\times \,x$ en et $0\times \,y$ en .
L’expression $3\times \,(p+2)$ peut s’écrire .
Attention : on ne peut pas supprimer le signe x entre deux nombres $3\times \,5\neq\,35$ .

Définition (puissances) :

On considère un nombre relatif a.

$a^2=a\times \,a$ et se lit a au carré.

$a^3=a\times \,a\times \,a$ et se lit a au cube.

Exemple :

Aire d’un carré de côté a est $A=a\times \,a=a^2$ .

Le volume d’un cube de côté a est $V=a\times \,a\times \,a=a^3$

II. Evaluer une expression littérale

Propriété :

Afin d’évaluer une expression littérale, on substitue (remplace) la lettre par sa valeur et nous calculons la valeur de l’expression numérique.

Exemple :

Considérons l’expression littérale .

Si x=3 alors $A=7x+1=7\times \,3+1=21+1=22$
Si x = -2 alors $A=7x+1=7\times \,(-3)+1=-14+1=-13$

On dit que l’on substitue (remplace) la valeur de x.

On passe, ainsi, du calcul littéral au calcul numérique.

III. La simple distributivité du calcul littéral

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme somme de termes.

Exemple :

est une forme développée.

Définition :

Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

Exemple :

sont des formes factorisées.

Définition :

Réduire une expression littérale, c’est regrouper tous les termes de même nature.

Exemples :

Réduire les expressions suivantes :

Propriété :

Soient k, a et b trois nombres relatifs :

Exemple :

En utilisant la simple distributivité, développer les expressions littérales suivantes :

$A=5(x+2)=5\times \,x+5\times \,2=5x+10\\B=2(y-4)=2x-8\\C=5(2p-3)=5\times \,2p-5\times \,3=10p-15\\D=4(r-1)+4r+9=4r-4+4r+9=8r+5$

IV. La double distributivité du calcul littéral

Propriété : la double distributivité.

On considère quatre nombres relatifs a, b, c et d.

Exemples :

Développer et réduire les expressions suivantes :

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