Calcul littéral : cours de maths en 5ème à imprimer à télécharger en PDF

Calcul littéral – Cours de maths niveau 5e sur Maths-pdf.fr

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Sommaire

Le calcul littéral avec un cours de maths en 5ème en PDF qui sera primordial pour la suite de votre scolarité. L’élève devra savoir simplifier des expressions algébriques mais également utiliser la propriété de simple distributivité afin de développer des expressions littérales en cinquième.

À retenir : Une expression littérale contient des lettres ; on la calcule en remplaçant chaque lettre par un nombre. La distributivité s’écrit $k(a+b) = ka + kb$. Exemple : pour $x = 3$, l’expression $2x + 5$ vaut 11, et $4(x+2) = 4x + 8$. Une égalité est vraie pour une valeur donnée si ses deux membres sont égaux.

O. Introduction :

Le calcul littéral, calcul faisant intervenir des lettres, a été développé par le mathématicien Français François Viète (1540-1603).

Egalement appelé le calcul algébrique, c’est une généralisation du calcul numérique.

Vous avez souvent rencontré du calcul littéral lors de votre scolarité sans vous en rendre compte.

Notamment, en géométrie lors des calculs de périmètre et d’aire de figures géométriques.

Exemples :

Aire d’un rectangle de longueur L et l : $A=L\times\,l$ .

Périmètre d’un rectangle : $P=2\times\,L+2\times\,l$ ou $P=2\times\,(L+l)$ .

Périmètre d’un cercle de rayon R : $P=2\times\,\pi\,\times\,R$ .

I. Le calcul littéral : vocabulaire et définition.

1.Activité d’introduction :

Définition :

On appelle expression algébrique ou encore, expression littérale, toute expression mathématiques contenant des lettres. Ces lettres représentent des nombres.

Exemples :

L’aire d’un carré de côté c s’exprime avec l’expression littérale $A=c\times\,c=c^2$ .
Un rectangle de longueur L et de largeur l a un périmètre qui s’exprime avec l’expression littérale $P=2(L+l)=2\times\,L+2\times\,l$ .

Règle :

Nous ne noterons plus le signe x en calcul littéral :

entre deux lettres;
entre un nombre et une lettre;
avant l’ouverture d’une parenthèse;
après la fermeture d’une parenthèse.

Exemples :

Pour un rectangle de longueur L et de largeur l , son périmètre vaut $P=2(L+l)=2\times\,L+2\times\,l=2L+2l$ .
Un cercle de rayon R a pour périmètre $P=2\pi\,R$ et pour aire $A=\pi\,R^2$ .

Simplifier les écritures littérales suivantes :

$A=2\times\,x+3\\A=2x+3$ $B=7\times\,(x-2)\\B=7(x-2)$ $C=8\times\,x+7\times\,a\times\,b-5\,\times\,9\\C=8x+7ab-45$

$D=(t-1)\times\,(t+2)-3\times\,(z-4)\\D=(t-1)\,(t+2)-3\,(z-4)$

Remarque :

On peut simplifier $1\times x$ en et $0\times\,y$ en .
L’expression $3\times (p+2)$ peut s’écrire .
Attention : on ne peut pas supprimer le signe x entre deux nombres $3\times\,5\neq\,35$ .

Définitions : puissances.

On considère un nombre positif a. $a^2=a\times\,a$ , a^2 se lit « a au carré« .

$a^3=a\times\,a\times\,a$ , a^3 se lit « a au cube« .

Exemples :

Aire d’un carré de côté a est $A=a\times\,a=a^2$ .

Le volume d’un cube de côté a est $V=a\times\,a\times\,a=a^3$

II. Evaluer une expression littérale

Définition :

Pour calculer la valeur que prend une expression littérale, on substitue (remplace) la valeur de la lettre dans l’expression algébrique concernée.

Exemples :

Considérons l’expression littérale A=7x+1 .

Si x=3 alors $A=7x+1=7\times\,3+1=21+1=22$
Si x = -2 alors $A=7x+1=7\times\,(-3)+1=-14+1=-13$

On dit que l’on substitue (remplace) la valeur de x.

On passe, ainsi, du calcul littéral au calcul numérique.

III. Tester une égalité

Propriété :

Pour tester une égalité, il faut :

substituer la lettre par sa valeur dans le premier membre de l’égalité (expression située à gauche du signe =);
substituer la lettre par sa valeur dans le second membre de l’égalité (expression située à gauche du signe =);
si les résultats sont égaux alors l’égalité est vraie;
si les résultats ne sont pas égaux alors l’égalité est fausse.

Exemples :

Considérons l’égalité

x = 7 vérifie-t-il cette égalité ?

$8x-9=8\times\,7-9=56-9=47$ et .

$47\neq\,26$ donc x = 7 ne vérifie pas cette égalité.

x = 7 vérifie-t-il cette égalité ?

$8x-9=8\times\,4-9=32-9=23$ et .

Donc x = 4 vérifie cette égalité.

II. La simple distributivité :

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme somme de termes.
Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

Exemples :

est une forme quelconque.

Ensuite, est une forme développée.

Puis, est une forme factorisée.

est une forme factorisée.

Définition :

Réduire une expression algébrique, c’est simplifier au maximum cette écriture en regroupant tous les termes de même nature.

Exemples :

Réduire les expressions littérales suivantes :

$A=7x+3+6\\A=7x+9$

L’expression 7x+9 est appelée forme réduite.

$B=2x+9+4x-6\\B=2x+4x+9-6\\B=6x+3$

$C=3x^2+7x+11-2x^2-4x-5\\C=3x^2-2x^2+7x-4x+11-5\\C=1x^2+3x+6\\C=x^2+3x+6$

Propriété (simple distributivité) :

Pour tous nombres relatifs k,a et , nous avons :

Preuve :

Exemples :

En utilisant la simple distributivité, développer les expressions littérales suivantes :

$A=5(x+2)=5\times\,x+5\times\,2=5x+10\\B=2(y-4)=2x-8\\C=5(2p-3)=5\times\,2p-5\times\,3=10p-15\\D=4(r-1)+4r+9=4r-4+4r+9=8r+5$

Développer et réduire des expressions :

$A=7(x+3)\\A=7\times\,x+7\times\,3\\A=7x+21$ $B=2(z-5)\\B=2\times\,z-2\times\,5\\B=2z-10$ $C=3(x+4)+7x-6\\C=3\times\,x+3\times\,4+7x-6\\C=3x+12+7x-6\\C=10x+6$

Calcul d’expression et substitution :

Calculer la valeur de A pour x=2 puis, pour x=5 .

$A=7x+3\\A=7\times\,2+3\\A=14+3\\A=17$ $A=7x+3\\A=7\times\,5+3\\A=35+3\\A=38$

Test d’égalité :

L’égalité suivante est-elle vérifiée pour x=4 ?

Calculons séparément :

$3x-2\\=3\times\,4-2\\=12-2\\=10$ $7x+1\\=7\times\,4+1\\=28+1\\=29$

Nous en concluons que l’égalité n’est pas vérifiée lorsque x=4 .

III.Carte mentale sur le calcul littéral :

Également, également, Ensuite, Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Calcul littéral (Wikipédia).

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