cours cinquième

Priorités opératoires et calculs : cours de maths en 5ème

I. Les priorités opératoires et règles de calculs.

  1. Vocabulaire et définitions :

Définition 1 :

En mathématiques, nous disposons de quatre opérations :

  • l’addition (notée +);
  • la soustraction ( notée -);
  • la multiplication ( notée x);
  • la division (notée : ).

Vocabulaire :

  • Le résultat d’une addition s’appelle « la somme » et les éléments qui la forment s’appellent les « termes« .
  • Le résultat d’une soustraction s’appelle « la différence » et les éléments qui la forment s’appellent les « termes« .
  • Le résultat d’une multiplication s’appelle le produit et les éléments qui la forment s’appellent les « facteurs« .
  • Le résultat d’une division s’appelle le « quotient » et les éléments qui la forment s’appellent le « dividende » et le « diviseur« .

Exemples :

13+29=42  : 42 est la somme des termes 13 et 29.

53-38=15 : 15 est la différence des termes 53 et 38.

7\times  13= 91 : 91 est le produit des facteurs 7 et 13.

72:  18=4 : 4 est le quotient du dividende 72 et du diviseur 18.

2. Les priorités des différentes opérations :

Dans ce paragraphe, nous allons voir que certaines opérations sont prioritaires par rapport à d’autres.

a. Cas où l’expression ne contient que des additions et/ou des soustractions :

Propriété 1 :

L’addition et la soustraction ont le même pouvoir de priorité.

Règle 1 :

Si une expression numérique contient uniquement des additions et/ou des soustractions alors nous effectuons les calculs dans le sens de la lecture.

Exemples :

Calculer les expressions numériques suivantes :

A=7+19+23\\A=26+23\\A=49                    B=57-34-8\\B=23-8\\B=15            C=36-7+19-15\\C=29+19-15\\C=48-15\\C=33

b. Cas où l’expression ne contient que des multiplications et/ou des divisions :

Propriété 2 :

La multiplication et la division ont le même pouvoir de priorité.

Règle 2 :

Si une expression numérique contient uniquement des multiplications et/ou des divisions alors nous effectuons les calculs dans le sens de la lecture.

Exemples :

Calculer les expressions numériques suivantes :

A=5\times   7\times   3\\A=35\times   3\\A=105                  B=48:12:2\\B=4:2\\B=2

c. Expression contenant les 4 opérations :

Propriété 3 :

La multiplication et la division sont prioritaires par rapport à l’addition et à la soustraction.

Règle 3 :

Si une expression contient les quatre opérations, nous commençons par les multiplications et les divisions ( la première arrivant dans le sens de la lecture) puis, par les additions et les soustractions.

Exemples :

Déterminer la valeur des expressions numériques suivantes :

A=5+4\times   3\\A=5+12\\A=17        B=7+9\times   2-5\times   3+24:  6 \\B=7+18-15+4 \\B=25-15+4 \\B=10+4 \\B=14    C=3\times   7+99:  9-5\\C=21+11-5\\C=32-5\\C=27

II. Expressions contenant des parenthèses :

Règle 4 :

  • Si une expression contient des parenthèses, nous commençons par effectuer les calculs à l’intérieur des parenthèses puis, nous abordons les différentes opérations.
  • Si une expression contient des parenthèses emboîtées, nous débutons les calculs dans la parenthèse située la plus à l’intérieur.

Exemples :

Calculer les différentes expressions en respectant les priorités opératoires.

A=5\times    ( 7+9-4  )\\A=5\times    ( 16-4  )\\A=5\times   12\\A=60                B=5+3\times   [2+(7+9:  3)]\\B=5+3\times   [2+(7+3)]\\B=5+3\times   (2+10)\\B=5+3\times   12\\B=5+36\\B=41

III. Expressions contenant des fractions :

Propriété 4:

Dans une expression, nous pouvons remplacer le trait de fraction par une division et des parenthèses.

Exemples :

Calculer les différentes expressions.

A=\frac{7+5}{9-3}\\A=(7+5):  (9-3)\\A=12:  6\\A=2          B=\frac{8+3\times   2}{13-6}\\B=\frac{8+6}{13-6}\\B=\frac{14}{7}\\B=2


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