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Triangle : cours de maths en 5ème au programme de cinquième

cours cinquieme

I Les triangles  :

1.Définition et vocabulaire :

Définition :

Un triangle est un polygone qui possède trois côtés.

2.Les triangles particuliers :

triangles particuliers

II.L’inégalité triangulaire :

1.Activité d’introduction :

activité inégalité triangulaire

2.Inégalité triangulaire :

Propriété :

Soit ABC un triangle tel que [BC] soit le côté le plus long.

Un triangle ABC est constructible lorsque BC\leq\, AB+AC.

triangle abc

Remarques :

  • Le chemin le plus court est la ligne droite.
  • La somme des deux plus petites longueurs dans un triangle est toujours supérieure ou égale à la plus grande longueur.
  • Si BC= AB+AC alors le triangle est plat et par conséquent, les points A,B et C sont alignés.

Exemples :

On considère les trois triangles suivants :

ABC tel que AB = 7 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.

EFD tel que EF = 3 cm, FD = 2 cm et ED = 5 cm.

GHI tel que GH = 6 cm, GI = 3 cm et HI = 2 cm.

Parmi ces triangles, lesquels  sont constructibles?

Dans ABC, BC+AC=4+5=9>7 donc ABC est constructible.

Dans EFD, EF+FD=3+2=5=ED.

Il y a égalité donc c’est un triangle plat et les sommets E,F et D sont alignés.

Dans GHI, HI+GI=2+3=5<6 donc GHI n’est pas constructible.

III. Les angles d’un triangle :

1.Activité introductive :

activité somme angles

2.Somme des angles d’un triangle :

Propriété :

Pour tout triangle ABC, nous avons \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}.

angle triangle abc

Propriété :

Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure, chaque angle mesure \widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{L}=180:  3=60^{\circ}.

triangle équilatéral

Exemple :

Dans un triangle EFG, nous avons \widehat{F}=36^{\circ} et \widehat{G} =27^{\circ}.

Quelle est la mesure de l’angle \widehat{E} ?

\widehat{E}=180-(36+27)=180-63=117^{\circ}.

Propriété :

Soit ABC un triangle isocèle en C, les angles à la base ont la même mesure. Nous avons \widehat{A}=\widehat{B}.

triangle isocèle

IV. Le cercle circonscrit à un triangle :

1. La médiatrice d’un segment :

Définition :

Soit [AB] un segment.

La médiatrice d’un segment [AB] est la droite :

  • perpendiculaire à [AB];
  • passant par le milieu du segment [AB].

Médiatrice

2.Le cercle circonscrit :

Propriété :

Tout point M situé sur la médiatrice d’un segment [AB] est équidistant des extrémités A et B.

Nous avons AM = MB.

médiatrice segment

Propriété :

Dans un triangle ABC, les trois médiatrices sont concourantes en un point O appelé le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

cercle circonscrit triangle

Preuve :

O appartient à la médiatrice de [AB] donc OA=OB;

O appartient à la médiatrice de [BC] donc OB=OC;

par conséquent OA=OB=OC donc O est sur le cercle qui passe par les sommets du triangle ABC.

V. Carte mentale sur le triangle :

carte mentale triangle

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