Triangle : cours de maths en 5ème à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

📚Cours de Mathématiques5ème • collège

Triangle

⏱️Temps de lecture : 6 min

🎯Difficulté : Intermédiaire

📚Cycle 4

📋Prérequis : Programme 6ème maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Le triangle à travers un cours de maths en 5ème en PDF. Nous aborderons sa définition ainsi que les triangles particuliers : rectangle, isocèle, équilatéral, rectangle isocèle. L’élève devra être capable de le construire à l’aide du matériel de géométrie (règle, compas, rapporteur ou équerre). La définition et les propriétés de certaines droites particulières comme la médiatrice, la médiane, la bissectrice et la hauteur d’un triangle. Construire le cercle circonscrit à un triangle et pouvoir justifier si un triangle est constructible connaissant la valeur de ses trois longueurs en utilisant l’inégalité triangulaire en cinquième.

I Les triangles :

1.Définition et vocabulaire :

Définition :

Un triangle est une forme géométrique formée par trois segments de droite qui se croisent en trois points, appelés sommets. Ils peuvent être classés en fonction de la longueur de leurs côtés et de la mesure de leurs angles.

Remarque :

Ils sont utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques, des sciences et de l’ingénierie. Ils sont importants en géométrie, en trigonométrie et en calcul, et ils sont utilisés pour modéliser et résoudre des problèmes en physique, en chimie et dans d’autres sciences. Ils ont également des applications pratiques en architecture, en construction et en design, où ils sont utilisés pour créer et analyser des structures et des formes.

2.Les triangles particuliers :

II. L’inégalité triangulaire :

1.Activité d’introduction :

2.Inégalité triangulaire :

Propriété :

Soit ABC tel que [BC] soit le côté le plus long.

ABC est constructible lorsque $BC\leq\,\,AB+AC$ .

Remarques :

Le chemin le plus court est la ligne droite.
La somme des deux plus petites longueurs dans un triangle est toujours supérieure ou égale à la plus grande longueur.
Si $BC=\,AB+AC$ alors le triangle est plat et par conséquent, les points A,B et C sont alignés.

Exemples :

On considère les trois triangles suivants :

ABC tel que AB = 7 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.

EFD tel que EF = 3 cm, FD = 2 cm et ED = 5 cm.

GHI tel que GH = 6 cm, GI = 3 cm et HI = 2 cm.

Lesquels sont constructibles?

Dans ABC, donc ABC est constructible.

Dans EFD, .

Il y a égalité donc c’est un triangle plat et les sommets E,F et D sont alignés.

Dans GHI, donc GHI n’est pas constructible.

III. Les angles d’un triangle :

1.Activité introductive :

Production d’un élève :

2.Somme des angles d’un triangle :

Propriété :

Pour tout triangle ABC, nous avons $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ .

Propriété :

Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure, chaque angle mesure $\widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{L}=180: \,3=60^{\circ}$

Exemple :

Dans EFG, nous avons $\widehat{F}=36^{\circ}$ et $\widehat{G}\,=27^{\circ}$ .

Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{E}$ ?

$\widehat{E}=180-(36+27)=180-63=117^{\circ}$ .

Propriété :

Soit ABC isocèle en C, les angles à la base ont la même mesure. Nous avons $\widehat{A}=\widehat{B}$ .

IV. Le cercle circonscrit à un triangle :

1. La médiatrice d’un segment :

Définition :

Soit [AB] un segment.

La médiatrice d’un segment [AB] est la droite :

perpendiculaire à [AB];
passant par le milieu du segment [AB].

2.Le cercle circonscrit :

Propriété :

Tout point M situé sur la médiatrice d’un segment [AB] est équidistant des extrémités A et B.

Nous avons AM = MB.

Propriété :

Dans un triangle ABC, les trois médiatrices sont concourantes en un point O appelé le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Preuve :

O appartient à la médiatrice de [AB] donc OA=OB;

O appartient à la médiatrice de [BC] donc OB=OC;

par conséquent OA=OB=OC donc O est sur le cercle qui passe par les sommets du triangle ABC.

V. Carte mentale sur le triangle :

Autre version de cette leçon

I. Propriétés dans un triangles

1.L’inégalité triangulaire

Définition :

La hauteur d’un triangle est la droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire à son côté opposé.

Propriété : (inégalité triangulaire).

Pour tout triangle ABC, nous avons $BC\leq\,\,AB+AC$ .
Un triangle est constructible lorsque la plus grande longueur est inférieure ou égale à la somme des deux plus petites longueurs.

Remarque :

On peut interpréter l’inégalité $BC\leq\,\,AB+AC$ en remarquant que le chemin le plus court est toujours la ligne droite.

Propriété :

Un point A appartient au segment [BC] équivaut à BC=BA +AC.

Lorsqu’il y a égalité dans l’inégalité triangulaire, le triangle ABC est tout de même constructible et est un triangle plat.

2. Somme des mesures des angles de triangles

Exemple :

Dans le triangle ci-dessous, on sait que :

$\widehat{GDF}=54^{\circ}$ et $\widehat{GFD}=21^{\circ}$ .

La somme des mesures du triangle GDF est égale à 180°, donc :

$\widehat{GDF}+\widehat{GFD}+\widehat{DGF}=180^{\circ}\\54^{\circ}+21^{\circ}+\widehat{DGF}=180^{\circ}\\75^{\circ}+\widehat{DGF}=180^{\circ}\\\widehat{DGF}=180^{\circ}-75^{\circ}\\\widehat{DGF}=105\,^{\circ}$

II. Construction de triangles

1.Cas d’égalité de triangles

Définition :

Deux triangles sont dits isométriques (ou semblables) si leurs côtés sont deux à deux de même longueur.

Exemple :

Les triangles ABC, DEF, GIH et JKL sont isométriques.

Ils sont superposables par glissement et/ou par retournement.

Propriété :

Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure, deux à deux, alors ces deux triangles sont isométriques.

Exemple :

AB=DE.

Le côté [AB] est compris entre les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{CBA}$ .

Le côté [DE] est compris entre les angles $\widehat{FED}$ et $\widehat{EDF}$ .

De plus, $\widehat{CAB}=\widehat{FED}$ et $\widehat{CBA}=\widehat{EDF}$ .

Donc les triangles ABC et EDF sont isométriques.

Propriété :

Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux cotés qui ont la même longueur alors ces deux triangles sont isométriques (ou semblables).

Exemple :

$\widehat{CAB}=\widehat{FED}$

L’angle $\widehat{CAB}=\widehat{FED}$ est compris entre les côtés [AC] et [AB].

L’angle $\widehat{CAB}=\widehat{FED}$ est compris entre les côtés [EF] et [ED].

De plus, AC=EF et AB=ED.

Donc les triangles ABC et DEF sont isométriques.

Propriété :

Deux triangles semblables (ou isométriques) ont des angles de même mesure et des aires égales.

Remarque :

Attention, la réciproque n’est pas forcément vraie.

Deux triangles peuvent avoir des angles de même mesure, deux à deux, sans pour autant être isométriques.
Deux triangles peuvent avoir la même aire sans pour autant être isométriques.

III. Les médiatrices d’un triangle

Propriété :

Les médiatrices d’un triangle ABC sont concourantes en un point O qui est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Remarque :

Le point O est équidistant des trois sommets A, B et C du triangle ABC.

IV. Les hauteurs d’un triangle

Propriété :

La hauteur d’un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire à son coté opposé.

Propriété :

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H appelé l’orthocentre du triangle.

Propriété :

Dans un triangle ABC, les trois hauteurs sont concourantes en un point H appelé l’orthocentre du triangle ABC.

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