Triangle : cours de maths en 5ème au programme de cinquième

Mise à jour le 15 mars 2021

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Sommaire

1 I Les triangles :
- 1.1 1.Définition et vocabulaire :
- 1.2 2.Les triangles particuliers :
2 II.L’inégalité triangulaire :
- 2.1 1.Activité d’introduction :
- 2.2 2.Inégalité triangulaire :
3 III.Les angles d’un triangle :
- 3.1 1.Activité introductive :
- 3.2 2.Somme des angles d’un triangle :
4 IV. Le cercle circonscrit à un triangle :
- 4.1 1. La médiatrice d’un segment :
- 4.2 2.Le cercle circonscrit :
5 V. Carte mentale sur le triangle :

I Les triangles :

1.Définition et vocabulaire :

Définition :

Un triangle est un polygone qui possède trois côtés.

2.Les triangles particuliers :

II.L’inégalité triangulaire :

1.Activité d’introduction :

2.Inégalité triangulaire :

Propriété :

Soit ABC un triangle tel que [BC] soit le côté le plus long.Un triangle ABC est constructible lorsque $BC\leq\, AB+AC$ .

Remarques :

Le chemin le plus court est la ligne droite.
La somme des deux plus petites longueurs dans un triangle est toujours supérieure ou égale à la plus grande longueur.
Si alors le triangle est plat et par conséquent, les points A,B et C sont alignés.

Exemples :

On considère les trois triangles suivants :

ABC tel que AB = 7 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.

EFD tel que EF = 3 cm, FD = 2 cm et ED = 5 cm.

GHI tel que GH = 6 cm, GI = 3 cm et HI = 2 cm.

Parmi ces triangles, lesquels sont constructibles?

Dans ABC, donc ABC est constructible.

Dans EFD, . Il y a égalité donc c’est un triangle plat et les sommets E,F et D sont alignés.

Dans GHI, donc GHI n’est pas constructible.

III.Les angles d’un triangle :

1.Activité introductive :

2.Somme des angles d’un triangle :

Propriété :

Pour tout triangle ABC, nous avons $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ .

Propriété :

Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure, chaque angle mesure $\widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{L}=180: 3=60^{\circ}$ .

Exemple :

Dans un triangle EFG, nous avons $\widehat{F}=36^{\circ}$ et $\widehat{G} =27^{\circ}$ .

Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{E}$ ?

$\widehat{E}=180-(36+27)=180-63=117^{\circ}$ .

Propriété :

Soit ABC un triangle isocèle en C, les angles à la base ont la même mesure. Nous avons $\widehat{A}=\widehat{B}$ .

IV. Le cercle circonscrit à un triangle :

1. La médiatrice d’un segment :

Définition :

Soit [AB] un segment.

La médiatrice d’un segment [AB] est la droite :

perpendiculaire à [AB];
passant par le milieu du segment [AB].

2.Le cercle circonscrit :

Propriété :

Tout point M situé sur la médiatrice d’un segment [AB] est équidistant des extrémités A et B.

Nous avons AM = MB.

Propriété :

Dans un triangle ABC, les trois médiatrices sont concourantes en un point O appelé le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Preuve :

O appartient à la médiatrice de [AB] donc OA=OB;

O appartient à la médiatrice de [BC] donc OB=OC;

par conséquent OA=OB=OC donc O est sur le cercle qui passe par les sommets du triangle ABC.

V. Carte mentale sur le triangle :

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