Triangle : cours de maths en 5ème au programme de cinquième

Sommaire

I Les triangles :

1.Définition et vocabulaire :

Définition :

Un triangle est un polygone qui possède trois côtés.

2.Les triangles particuliers :

II.L’inégalité triangulaire :

1.Activité d’introduction :

2.Inégalité triangulaire :

Propriété :

Soit ABC un triangle tel que [BC] soit le côté le plus long.Un triangle ABC est constructible lorsque $BC\leq AB+AC$ .

Remarques :

Le chemin le plus court est la ligne droite.
La somme des deux plus petites longueurs dans un triangle est toujours supérieure ou égale à la plus grande longueur.
Si $BC= AB+AC$ alors le triangle est plat et par conséquent, les points A,B et C sont alignés.

Exemples :

On considère les trois triangles suivants :

ABC tel que AB = 7 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.

EFD tel que EF = 3 cm, FD = 2 cm et ED = 5 cm.

GHI tel que GH = 6 cm, GI = 3 cm et HI = 2 cm.

Parmi ces triangles, lesquels sont constructibles?

Dans ABC, $BC+AC=4+5=9>7$ donc ABC est constructible.

Dans EFD, $EF+FD=3+2=5=ED$ . Il y a égalité donc c’est un triangle plat et les sommets E,F et D sont alignés.

Dans GHI, $HI+GI=2+3=5<6$ donc GHI n’est pas constructible.

III.Les angles d’un triangle :

1.Activité introductive :

2.Somme des angles d’un triangle :

Propriété :

Pour tout triangle ABC, nous avons $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ .

Propriété :

Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure, chaque angle mesure $\widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{L}=180\div 3=60^{\circ}$ .

Exemple :

Dans un triangle EFG, nous avons $\widehat{F}=36^{\circ}$ et $\widehat{G} =27^{\circ}$ .

Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{E}$ ?

$\widehat{E}=180-(36+27)=180-63=117^{\circ}$ .

Propriété :

Soit ABC un triangle isocèle en C, les angles à la base ont la même mesure. Nous avons $\widehat{A}=\widehat{B}$ .

IV. Le cercle circonscrit à un triangle :

1. La médiatrice d’un segment :

Définition :

Soit [AB] un segment.La médiatrice d’un segment [AB] est la droite :

perpendiculaire à [AB];
passant par le milieu du segment [AB].

2.Le cercle circonscrit :

Propriété :

Tout point M situé sur la médiatrice d’un segment [AB] est équidistant des extrémités A et B.Nous avons AM = MB.

Propriété :

Dans un triangle ABC, les trois médiatrice sont concourantes en un point O appelé le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Preuve :

O appartient à la médiatrice de [AB] donc OA=OB;

O appartient à la médiatrice de [BC] donc OB=OC;

par conséquent OA=OB=OC donc O est sur le cercle qui passe par les sommets du triangle ABC.

V.Carte mentale sur le triangle :

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