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Triangle : cours en 5ème en PDF.

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I Les triangles  :

1.Définition et vocabulaire :

Définition :
En mathématiques, un triangle est une forme géométrique bidimensionnelle formée par trois segments de droite qui se croisent en trois points, appelés sommets. Ils peuvent être classés en fonction de la longueur de leurs côtés et de la mesure de leurs angles.
Ils sont utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques, des sciences et de l’ingénierie. Ils sont importants en géométrie, en trigonométrie et en calcul, et ils sont utilisés pour modéliser et résoudre des problèmes en physique, en chimie et dans d’autres sciences. Ils ont également des applications pratiques en architecture, en construction et en design, où ils sont utilisés pour créer et analyser des structures et des formes.

2.Les triangles particuliers :

triangles particuliers

II. L’inégalité triangulaire :

1.Activité d’introduction :

activité inégalité triangulaire

2.Inégalité triangulaire :

Propriété :

Soit ABC tel que [BC] soit le côté le plus long.

ABC est constructible lorsque BC\leq\,\,AB+AC.

triangle abc

Remarques :

  • Le chemin le plus court est la ligne droite.
  • La somme des deux plus petites longueurs dans un triangle est toujours supérieure ou égale à la plus grande longueur.
  • Si BC=\,AB+AC alors le triangle est plat et par conséquent, les points A,B et C sont alignés.

Exemples :

On considère les trois triangles suivants :

ABC tel que AB = 7 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.

EFD tel que EF = 3 cm, FD = 2 cm et ED = 5 cm.

GHI tel que GH = 6 cm, GI = 3 cm et HI = 2 cm.

Lesquels  sont constructibles?

Dans ABC, BC+AC=4+5=9>7 donc ABC est constructible.

Dans EFD, EF+FD=3+2=5=ED.

Il y a égalité donc c’est un triangle plat et les sommets E,F et D sont alignés.

Dans GHI, HI+GI=2+3=5<6 donc GHI n’est pas constructible.

III. Les angles d’un triangle :

1.Activité introductive :

activité somme angles

2.Somme des angles d’un triangle :

Propriété :
Pour tout triangle ABC, nous avons \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}.

angle triangle abc

Propriété :
Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure, chaque angle mesure \widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{L}=180: \,3=60^{\circ}.

triangle équilatéral

Exemple :

Dans EFG, nous avons \widehat{F}=36^{\circ} et \widehat{G}\,=27^{\circ}.

Quelle est la mesure de l’angle \widehat{E} ?

\widehat{E}=180-(36+27)=180-63=117^{\circ}.

Propriété :

Soit ABC isocèle en C, les angles à la base ont la même mesure. Nous avons \widehat{A}=\widehat{B}.

triangle isocèle

IV. Le cercle circonscrit à un triangle :

1. La médiatrice d’un segment :

Définition :

Soit [AB] un segment.

La médiatrice d’un segment [AB] est la droite :

  • perpendiculaire à [AB];
  • passant par le milieu du segment [AB].

Médiatrice

2.Le cercle circonscrit :

Propriété :

Tout point M situé sur la médiatrice d’un segment [AB] est équidistant des extrémités A et B.

Nous avons AM = MB.

médiatrice segment

Propriété :
Dans un triangle ABC, les trois médiatrices sont concourantes en un point O appelé le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

cercle circonscrit triangle

Preuve :

O appartient à la médiatrice de [AB] donc OA=OB;

O appartient à la médiatrice de [BC] donc OB=OC;

par conséquent OA=OB=OC donc O est sur le cercle qui passe par les sommets du triangle ABC.

V. Carte mentale sur le triangle :

carte mentale triangle

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