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Aires et périmètres de figures : cours de maths en 5ème au programme de cinquième

cours cinquieme

0.Introduction :

Définition :

Le périmètre d’un polygone est la longueur de son contour.L’unité est le mètre (m).

Définition :

L’aire d’un polygone est la valeur de la superficie délimitée par le polygone.L’unité est le mètre carré (m²).

I.Le parallélogramme et les parallélogrammes particuliers :

1.Le parallélogramme :

Propriété :

Soit un parallélogramme tel que :B : longueur de la base du parallélogramme.

h: hauteur du parallélogramme.

L’aire A  est donnée par la formule : A=B\times   h

aire parallélogramme

2.Le rectangle :

Propriété :

Soit un rectangle de longueur L et de largeur l.

  • Le périmètre P  du rectangle est donné par la formule :  P=2\times   L+2\times   l ou P=2\times   (L+l).
  • L’aire A du rectangle est donné par la formule : A=L\times   l.

aire rectangle

Remarque :

Pour la formule du périmètre, nous retrouverons la propriété de la simple distributivité en calcul littéral.

P=2\times   (L+l)=2\times   L+2\times   l.

3.Le carré :

Propriété :

Soit un carré dont la longueur du côté est notée c.

  • Le périmètre P  du carré est donné par la formule :  P=4\times   c.
  • L’aire A du carré est donné par la formule : A=c\times   c=c^2.

aire carré

Remarque :

c^2=c\times   c se lit c au carré (5^2=5\times   5=25;7^2=7\times   7=49).

4.Le losange :

Propriété :

Soit un losange de grande diagonale D et de petite diagonale d.

L’aire du losange est donnée par la formule : A=\frac{D\times   d}{2}.

aire losange

II. Le triangle :

Propriété :

Soit un triangle ayant pour base B et pour hauteur h.

L’aire du triangle est donnée par la formule : A=\frac{B\times   h}{2}.

aire triangle

III.Le trapèze :

Propriété :

Soit un trapèze de grande base B, de petite base b et de hauteur h.

L’aire du trapèze est donnée par la formule : A=\frac{(B+b)\times   h}{2}.

aire trapèze

IV.Aire du disque et périmètre du cercle :

Propriété :

Soit (\varphi ) un cercle de rayon R.

  • Le périmètre du cercle est donné par la formule : P=2\times   \pi\times   R avec \pi\approx 3,14.
  • L’aire du disque est donnée par la formule : A=\pi\times   R^2.

aire disque

Remarque :

Le nombre \pi se lit pi (lettre de l’alphabet grec).

Moyen mnémotechnique :

Voici un moyen mnémotechnique pour retenir les premières décimales du nombre \pi.

nombre pi

Exemple :

Soit (\varphi ) un cercle de rayon 4 cm.

Calculer le périmètre du cercle, puis l’aire du disque (arrondir les résultats au dixième).

P=2\times   \pi\times   R=2\times   \pi\times   4=8\pi\approx 25,1\,cm.

A=\pi\times   R^2=\pi\times   4^2=16\pi\approx 50,3\,cm^2

V. Cartes mentales sur le périmètre et l’aire de figures géométriques :

carte mentale périmètre carte mentale aire

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