Les équations et les problèmes : cours de maths en 4ème au programme de quatrième

Sommaire

I.Les équations du premier degré à une inconnue :

1.Activité d’introduction aux équations :

2.Définitions et vocabulaire :

Définition :

On considère quatre nombres relatifs a,b,c et d.

On appelle équation du premier degré à une inconnue, toute égalité du type : $ax+b=cx+d$ (avec $a\neq 0$ )
La lettre $x$ est l’inconnue de l’équation.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’égalité.
Si elles existant, chacune de ces valeurs est appelée solution de l’équation.
L’expression littérale située à gauche du signe = s’appelle le premier membre et celle située à droite s’appelle le second membre de l’équation.

Exemple :

Voici quelques équations :

$4z=3\\2t-1=6\\5x-3=4x+9$

3. Résolution d’équations du type x+a=b :

Propriété :

On ne change pas les solution d’une équation en ajoutant (ou retranchant) une même quantité à chaque membre de cette équation.

Règle :

Soient a et b deux nombres relatifs.L’équation $a+x=b$ équivaut à $x=b-a$ .

Exemple :

Résoudre les équations.

$x+5=9\\x+5-5=9-5\\x+0=4\\x=4$ $z-8=-12\\z-8+8=-12+8\\z=-4$

4. Résolution d’équations du type ax=b (avec a non nul) :

Propriété :

On ne change pas les solution d’une équation en multipliant (ou divisant) par un nombre non nul chaque membre d’une équation .

Règle :

Soient a et b deux nombres relatifs tel que $a\neq 0$ .L’équation $ax=b$ équivaut à $x=\frac{b}{a}$ .

Exemple :

1.Résoudre les équations.

$3x=9\\\frac{3x}{3}=\frac{9}{3}\\1x=3\\x=3$ $-8m=-24\\ \frac{-8m}{-8}= \frac{-24}{-8}\\1m=4\\m=4$

2. Résoudre :

$3a-2=19\\3a-2+2=19+2\\3a=21\\\frac{3a}{3}=\frac{21}{3}\\a=7$

$5x+9=2x+7\\5x=2x+7-9\\5x=2x-2\\5x-2x=-2\\3x=-2\\\frac{3x}{3}=\frac{-2}{3}\\\\x=-\frac{2}{3}$

II. Résolution de problèmes et équations :

1.Méthodologie :

2.Exemples de problèmes :

a. Le périmètre de ce rectangle est de 13 mètres, calculer la valeur de x.

Nous avons :

$2\times x+2\times (x+14)=43\\2\times x+2\times x+2\times 14 =43\\2 x+2 x+28 =43\\4x+28=43\\4x=43-28\\4x=15\\x=\frac{15}{4}\\x=3,75\,m$

$4\times 7+21=28+21=49$ et $4\times 2-5=8-5=3$

Les résultats ne sont pas égaux. Par conséquent, Jules et Julie n’ont pas pu entrer le nombre 4.

Notons $x$ le nombre entré au départ par Jules et Julie.

Jules a saisi : $7x+21$ .

Julie a saisi : $2x-5$ .

Nous obtenons l’équation :

$7x+21=2x-5\\7x=2x-5-21\\7x-2x=-26\\5x=-26\\x=\frac{-26}{4}\\x=-6,5$

Conclusion : Julie et Jules ont saisi le nombre – 6,5.

III.Carte mentale sur les équations :

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