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Les équations et les problèmes : cours de maths en 4ème au programme de quatrième

cours quatrieme

I.Les équations du premier degré à une inconnue :

1.Activité d’introduction aux équations :

activité sur les équations

2.Définitions et vocabulaire :

Définition :

On considère quatre nombres relatifs a,b,c et d.

  • On appelle équation du premier degré à une inconnue, toute égalité du type :ax+b=cx+d    (avec a\neq 0)
  • La lettre x est l’inconnue de l’équation.
  • Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’égalité.
  • Si elles existent, chacune de ces valeurs est appelée solution de l’équation.
  • L’expression littérale située à gauche du signe = s’appelle le premier membre et celle située à droite s’appelle le second membre de l’équation.

Exemples :

Voici quelques équations :

4z=3\\2t-1=6\\5x-3=4x+9

3. Résolution d’équations du type  x+a=b :

Propriété :

On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant (ou retranchant) une même quantité à chaque membre de cette équation.

Règle :

Soient a et b deux nombres relatifs. L’équation a+x=b équivaut à  x=b-a.

Exemple :

Résoudre les équations.

x+5=9\\x+5-5=9-5\\x+0=4\\x=4                                z-8=-12\\z-8+8=-12+8\\z=-4

4. Résolution d’équations du type  ax=b (avec a non nul) :

Propriété :

On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant (ou divisant) par un nombre non nul chaque membre d’une équation .

Règle :

Soient a et b deux nombres relatifs tel que a\neq 0.L’équation ax=b équivaut à  x=\frac{b}{a}.

Exemple :

1.Résoudre les équations.

3x=9\\\frac{3x}{3}=\frac{9}{3}\\1x=3\\x=3                              

2. Résoudre :

3a-2=19\\3a-2+2=19+2\\3a=21\\\frac{3a}{3}=\frac{21}{3}\\a=7

5x+9=2x+7\\5x=2x+7-9\\5x=2x-2\\5x-2x=-2\\3x=-2\\\frac{3x}{3}=\frac{-2}{3}\\\\x=-\frac{2}{3}

II. Résolution de problèmes et équations :

1.Méthodologie :

Les équations et problèmes

2.Exemples de problèmes :

a. Le périmètre de ce rectangle est de 43 mètres, calculer la valeur de x.

rectangle équation problème

Nous avons :

2\times   x+2\times   (x+14)=43\\2\times   x+2\times   x+2\times   14 =43\\2 x+2 x+28 =43\\4x+28=43\\4x=43-28\\4x=15\\x=\frac{15}{4}\\x=3,75\,m

b.

exercices équations

4\times   7+21=28+21=49   et 4\times   2-5=8-5=3

Les résultats ne sont pas égaux. Par conséquent, Jules et Julie n’ont pas pu entrer le nombre 4.

Notons x le nombre entré au départ par Jules et Julie.

Jules a saisi  : 7x+21.

Julie a saisi  : 2x-5.

Nous obtenons l’équation :

7x+21=2x-5\\7x=2x-5-21\\7x-2x=-26\\5x=-26\\x=\frac{-26}{5}\\x=-5,2

Conclusion : Julie et Jules ont saisi le nombre – 5,2.

III. Carte mentale sur les équations :

carte mentale équations

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