Les équations et les problèmes : cours de maths en 4ème en PDF.

Sommaire

1 I. Les équations du premier degré à une inconnue :
2 II. Résolution de problèmes:
- 2.1 1.Méthodologie :
- 2.2 2.Exemples de problèmes :
3 III. Carte mentale sur les équations :

Les équations du premier degré, également connues sous le nom d’équations linéaires, sont des équations dans lesquelles l’exposant le plus élevé de la variable est 1. Elles peuvent être écrites sous la forme : ax + b = c

où « x » est la variable, « a » et « b » sont des constantes, et « c » est une valeur connue.

Le but de la résolution d’une équation du premier degré est de trouver la valeur de la variable « x » qui rend l’équation vraie. Pour ce faire, nous pouvons utiliser des techniques algébriques telles que l’isolation de la variable d’un côté de l’équation en effectuant la même opération des deux côtés.

I. Les équations du premier degré à une inconnue :

1.Activité d’introduction aux équations :

2.Définitions et vocabulaire :

Définition :

On considère quatre nombres relatifs a,b,c et d.

On appelle équation du premier degré à une inconnue, toute égalité du type : (avec $a\neq\,0$ )
La lettre est l’inconnue de l’équation.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’égalité.
Si elles existent, chacune de ces valeurs est appelée solution de l’équation.
L’expression littérale située à gauche du signe = s’appelle le premier membre et celle située à droite s’appelle le second membre de l’équation.

Exemples :

Voici quelques équations :

$4z=3\\2t-1=6\\5x-3=4x+9$

3. Résolution d’équations du type x+a=b :

Propriété :

On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant (ou retranchant) une même quantité à chaque membre de cette équation.

Règle :

Soient a et b deux nombres relatifs. L’équation a+x=b équivaut à x=b-a .

Exemple :

Résoudre les équations.

$x+5=9\\x+5-5=9-5\\x+0=4\\x=4$ $z-8=-12\\z-8+8=-12+8\\z=-4$

4. Résolution d’équations du type ax=b (avec a non nul) :

Propriété :

On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant (ou divisant) par un nombre non nul chaque membre d’une équation .

Règle :

Soient a et b deux nombres relatifs tel que $a\neq\,0$ .L’équation ax=b équivaut à $x=\frac{b}{a}$ .

Exemple :

1.Résoudre les équations.

$3x=9\\\frac{3x}{3}=\frac{9}{3}\\1x=3\\x=3$ $-8m=-24\\\,\frac{-8m}{-8}=\,\frac{-24}{-8}\\1m=3\\m=3$

2. Résoudre :

$3a-2=19\\3a-2+2=19+2\\3a=21\\\frac{3a}{3}=\frac{21}{3}\\a=7$

$5x+9=2x+7\\5x=2x+7-9\\5x=2x-2\\5x-2x=-2\\3x=-2\\\frac{3x}{3}=\frac{-2}{3}\\\\x=-\frac{2}{3}$

II. Résolution de problèmes:

1.Méthodologie :

2.Exemples de problèmes :

a. Le périmètre de ce rectangle est de 43 mètres, calculer la valeur de .

Soit : la largeur du rectangle ABCD exprimée en mètre.

Nous avons :

$2\times \,x+2\times \,(x+14)=43\\2\times \,x+2\times \,x+2\times \,14\,=43\\2\,x+2\,x+28\,=43\\4x+28=43\\4x=43-28\\4x=15\\x=\frac{15}{4}\\x=3,75\,m$

$4\times \,7+21=28+21=49$ et $4\times \,2-5=8-5=3$

Les résultats ne sont pas égaux. Par conséquent, Jules et Julie n’ont pas pu entrer le nombre 4.

Notons : le nombre entré au départ par Jules et Julie.

Jules a saisi : .

Julie a saisi : .

Nous obtenons l’équation :

$7x+21=2x-5\\7x=2x-5-21\\7x-2x=-26\\5x=-26\\x=\frac{-26}{5}\\x=-5,2$

Conclusion : Julie et Jules ont saisi le nombre – 5,2.

III. Carte mentale sur les équations :

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