Nombres relatifs : cours de maths en 4ème à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

📚Cours de Mathématiques4ème • collège

Nombres relatifs

⏱️Temps de lecture : 5 min

🎯Difficulté : Intermédiaire

📚Cycle 4

📋Prérequis : Programme 5ème maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Les nombres relatifs à travers un cours de maths en 4ème complet et qui vous permettra d’assimiler les définitions, les propriétés et les théorèmes.
Avant d’aborder cette leçon, il faut avoir acquis le cours sur les nombres relatifs de l’année précédente portant sur les définitions, le vocabulaire et l’addition et la soustraction. L’élève devra être capable d’effectuer des calculs en utilisant les quatre opérations(addition, soustraction, multiplication et division) mais également, savoir appliquer la règle des signes afin de pouvoir résoudre des problèmes ou de calculer la valeur d’une expression numérique en quatrième.

I. Multiplication :

1.Activité d’introduction :

2.Produit de deux nombres relatifs :

Règle des signes :

Règle pour le produit de relatifs :

Pour effectuer le produit de deux nombres relatifs :

on applique la règle des signes (le produit de deux nombres de même signe est positif et le produit de deux nombres de signes contraires est négatif);
on calcule le produit des parties numériques (distances à zéro).

Exemples :

Calculer les produit suivants :

$A=(-3)\times \,(+5)\\A=-3\times \,5\\A=-15$

$B=(-7)\times \,(-8)\\B=+7\times \,8\\B=56$

$C=(+6)\times \,(-4)\\C=-6\times \,4\\C=-24$

3.Généralisation de la règle des signes :

Règle :

Le produit de plusieurs nombres relatifs sera de signe :

positif si il y a un nombre pair de facteurs négatifs;
négatif si il y a un nombre impair de facteurs négatifs.

Exemple :

Déterminer le signe des produits suivants :

$A=(-5)\times \,(-2)\times \,(+7)\times \,(+9)\times \,(-6)\times \,(+3)$

A est négatif car il y a 3 facteurs négatifs et 3 est un chiffre impair.

$B=(-6)\times \,(+4)\times \,(+7)\times \,(-7)\times \,(-5)\times \,(+2)\times \,(+5)\times \,(-8)$

B est positif car il y a 4 facteurs négatifs et 4 est un chiffre pair.

$C=\underbrace{(-3)\times \,(-3)\times \,(-3)\times ...\times \,(-3)\times \,(-3)}$

fois

C est négatif car il y a 513 facteurs négatifs et 513 est un nombre impair.

II. Division :

Règle :

Pour effectuer le quotient avec un diviseur non nul :

on applique la règle des signes;
on calcule le quotient des parties numériques ( distances à zéro).

Exemples :

Calculer les quotients suivants :

$A=7\,: \,3,5=2$

$B=(-36): \,(+9)=-36: \,9=-4$

$C=\frac{-21}{-7}=+\frac{21}{7}=+3$

$D=-\frac{\,4}{-3}=+\frac{4}{3}$

III.Carte mentale sur les opérations avec les nombres relatifs :

Autre version de cette leçon

I. Addition et soustraction

1.Addition de deux nombres relatifs

Propriété :

La somme de deux Nbre. Rel. (Nbre. Rel.) ayant le même signe est un Nbre. Rel. dont le signe reste inchangé et dont la partie numérique est la somme des parties numériques de ces deux nombres;
La somme de deux Nbre. Rel. de signes contraires a pour signe celui du nombre ayant la plus grande partie numérique et a pour partie numérique la différence entre les deux parties numériques.

Exemples :

$A=\,(-2)\,+\,(-3)\\A\,=\,-\,(2+3)\\A\,=\,-5$

$B\,=\,(-5)\,+\,(+7)\\B\,=\,+\,(7-5)\\B\,=\,+\,2$

2.Soustraction de deux nombres relatifs

Définition :

L’opposé d’un Nbre. Rel. est le nombre ayant la même partie numérique et un signe différent.

Exemple :

L’opposé de – 7,2 est + 7,2.

Propriété :

Soustraire un nombre relatif, c’est lui ajouter son opposé.

Exemples :

$A=\,(+11)-(-13)\\A\,=\,(+\,11)\,+\,(+\,13)\\A\,=\,+\,24$

$B\,=\,(-\,27)\,-\,(+\,15)\\B\,=\,(-\,27)\,+\,(\,-15)\\B\,=\,-\,42$

II. Multiplication de deux nombres relatifs

1.Produit de deux nombres relatifs

Propriété : (règle des signes)

Le produit de deux Nbre. Rel. est un Nbre. Rel. ayant comme partie numérique le produit des deux parties et numérique, et un signe :

positif si les deux Nbre. Rel. ont le même signe;
négatif si les deux Nbre. Rel. ont des signes différents.

Exemples :

$A\,=\,(\,-\,4\,)\,\times \,(-\,5\,)\,=\,+\,20\\B\,=\,(\,+\,7\,)\,\times \,(\,-\,6)\,=\,-\,42\\C\,=\,(\,-3\,)\,\times \,(\,+\,9\,)\,=\,-\,27\\D\,=\,(\,+\,5)\,\times \,(\,+\,6)\,=\,+\,30$

Propriété :

Multiplier un nb relatif par – 1 revient à prendre son opposé.

Exemples :

$A\,=\,(\,-\,29\,)\,\times \,(-\,1\,)\,=\,+\,29\\B\,=\,(\,+\,17\,)\,\times \,(\,-\,1)\,=\,-\,17$

Remarque :

cela signifie que pour tout Nbre. Rel. , a x ( – 1 ) = – a.

2.Multiplication de plusieurs nombres relatifs

Propriété : (généralité de la règle des signes)

Le produit de plusieurs nombres relatifs est :

positif si il y a un nombre pair de facteurs négatifs;
négatif si il y a un nombre impair de facteurs.

Remarque :

Cette propriété est la généralisation de la règle des signes.

Exemples :

$A=\,(\,-5\,)\,\times \,(\,-9)\,\times \,(\,+\,2)\,\times \,(-69)\,\times \,(+\,37)$

Il y a trois signes – et 3 est un nombre impair donc la produit A est de signe négatif.

$B=\underbrace{(-1)\times \,(-1)\times \,(-1)\times \,.....\times \,(-1)}_{158fois}$

Il y a 158 signes – et 158 est un nombre pair donc B est de signe positif.

3. Nombre relatif inverse

Propriété :

Deux Nbre. Rel. sont des nombres relatifs inverses si leur produit est égal à 1.

Soit a et b deux Nbre. Rel.

a et b sont dits « inverses » si et seulement si $a\,\times \,b\,=\,-1$ .

Exemples :

L’inverse de 5 est $\frac{1}{5}$ car $5\times \,\frac{1}{5}=1$ ;
L’inverse de $\frac{7}{3}$ est $\frac{3}{7}$ car $\frac{7}{3}\times \,\frac{3}{7}=\frac{21}{21}=1$ .

IV. Division de deux nombres relatifs

Propriété :

Le quotient de deux nombre relatifs, si il existe, est un Nbre. Rel. ayant pour partie numérique le quotient des deux parties numériques et pour signe :

positif si les deux nombres relatifs sont de même signe;
négatif si les deux nombres relatifs sont de signes différents.

Exemple :

$A=\frac{+65}{-5}=-13$

$B\,=\,(-\,22\,)\,:\,(\,-2\,)\,=\,+\,11.$

V. Expressions numériques et enchaînements d’opérations

Méthode :

On effectue en premier les calculs dans les parenthèses les plus intérieures.

Puis, on calcule les puissances éventuelles.

On effectue ensuite les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

Si il y a plusieurs multiplications et divisions qui se suivent, on effectue les calculs dans le sens de la lecture.

Si il y a plusieurs additions ou soustractions successives, on effectue les calculs dans le sens de la lecture également.

Applications :

Déterminer la valeur des expressions suivantes :

$A\,=\,(+27)\,-\,(+53)\,+\,(-2,9)\,-\,(+13,7)\\B\,=\,(-25)\,-\,(-47)\,-\,(-17,7)\,-\,(+3,4)\\C\,=\,(-13)\,-\,(+55)\,+\,17\,-\,32\,+\,56\,-\,32\,+\,12,87\\D\,=\,(-26\,)+\,(+\,75)\,-\,(+\,6)\,+\,(-\,27)\,-\,(-\,48)$

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