Théorème de Pythagore : cours de maths en 4ème

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Le fameux théorème de Pythagore à travers un cours de maths en 4ème complet qui vous permettra d’assimiler la partie directe et réciproque. L’élève devra être capable de donner l’égalité de Pythagore dans un triangle rectangle et de calculer la valeur d’une troisième longueur. Réciproquement, il devra être capable d’affirmer si un triangle possède un angle droit connaissant la valeur des trois longueurs en quatrième.

Pythagore Pythagore est né à Samos vers 580 av J.C et il est décédé vers 495 av J.C .

Il était pluridisciplinaire, il s’intéressait à la philosophie, aux mathématiques, aux sciences et à l’astronomie.

Il participa aux jeux olympiques à l’âge de 17 ans et remporta toutes les épreuves du pugilat (ancêtre de la boxe).

I. La partie directe du théorème de Pythagore :

1.Vocabulaire sur le triangle rectangle :

triangle rectangle abc

2.Activité d’introduction :

Activité théorème Pythagore

3.Partie directe du théorème de Pythagore :

Propriété :

triangle rectangle Si ABC est un triangle rectangle en B alors AC^2=AB^2+BC^2.

On dit que «le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents à l’angle droit».

Remarque :

La partie directe du théorème de Pythagore nous permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle en connaissant la valeur des longueurs des deux autres côtés.

Exemples :

1.Soit un triangle rectangle IKJ rectangle en K tel que KI=6 cm et KJ = 11 cm.

Calculer la valeur de IJ. Arrondir le résultat au dixième.

exercice pythagore

Le triangle KIJ est rectangle en K.

Je peux appliquer la partie directe du théorème de Pythagore :

IJ^2=KJ^2+KI^2\\IJ^2=11^2+6^2

Les puissances sont prioritaires car elles contiennent des multiplications.

IJ^2=121+36\\IJ^2=157\\IJ=\sqrt{157}\\IJ\approx\,12,5\,cm

2.Soit un triangle rectangle ABC rectangle en B tel que AC=6,5 cm et AB = 4 cm.

Calculer la valeur de BC. Arrondir le résultat au dixième.

exercice Pythagore

Le triangle ABC est rectangle en B.

Je peux appliquer la partie directe du théorème:

AC^2=AB^2+BC^2\\6,5^2=4^2+BC^2

42,25=16+BC^2 \\BC^2=42,25-16\\BC^2=26,25\\BC=\sqrt{26,25}\\BC\approx\,5,1\,cm

4.Puzzle de Pythagore et signification géométrique du théorème :

puzzle de Pythagore

théorème Pythagore

théorème Pyrhagore

Remarque :

Le théorème de Pythagore signifie que si un triangle est rectangle alors la somme des aires des deux petits carrés est égale à l’aire du grand carré.

II. Réciproque du théorème de Pythagore :

Propriété :

triangle rectangle Soit ABC un triangle tel que [AC] soit son plus long côté.

Si AC^2=AB^2+BC^2 alors ABC est un triangle rectangle en B .

Remarque :

La partie réciproque du théorème nous permet de vérifier si un triangle est rectangle connaissant la longueur de ses trois côtés.

Exemple :

Soit KJP un triangle tel que KJ = 7,2 cm, JP = 6,5 cm et KP = 9,7 cm.

Ce triangle est-il rectangle ?

exercice réciproque Pythagore

  1. Le côté le plus long est [KP].
  2. Calculons séparément :KP^2=9,7^2=94,09\,cm^2
    et
    KJ^2+JP^2=7,2^2+6,5^2=51,84+42,25=94,09\,cm^2
  3.  Nous avons KP^2=\,KJ^2+JP^2, par conséquent la partie réciproque du théorème de Pythagore  est  vérifiée donc le triangle KJP est rectangle en J.

III. Carte mentale sur le théorème de Pythagore :

carte mentale théorème de Pythagore

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