Théorème de Pythagore : cours de maths en 4ème à imprimer en PDF.

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Mis à jour le 29 mai 2025

📚Cours de Mathématiques4ème • collège
Théorème de Pythagore
⏱️Temps de lecture : 5 min
🎯Difficulté : Intermédiaire
📚Cycle 4
📋Prérequis : Programme 5ème maîtrisé
📄Format PDF disponible gratuitement

Le fameux théorème de Pythagore à travers un cours de maths en 4ème complet qui vous permettra d’assimiler la partie directe et réciproque. L’élève devra être capable de donner l’égalité de Pythagore dans un triangle rectangle et de calculer la valeur d’une troisième longueur. Réciproquement, il devra être capable d’affirmer si un triangle possède un angle droit connaissant la valeur des trois longueurs en quatrième.

Pythagore Pythagore est né à Samos vers 580 av J.C et il est décédé vers 495 av J.C .

Il était pluridisciplinaire, il s’intéressait à la philosophie, aux mathématiques, aux sciences et à l’astronomie.

Il participa aux jeux olympiques à l’âge de 17 ans et remporta toutes les épreuves du pugilat (ancêtre de la boxe).

I. La partie directe du théorème de Pythagore :

1.Vocabulaire sur le triangle rectangle :

triangle rectangle abc

2.Activité d’introduction :

Activité théorème Pythagore

3.Partie directe du théorème de Pythagore :

Propriété :

triangle rectangle Si ABC est un triangle rectangle en B alors AC^2=AB^2+BC^2.

On dit que «le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents à l’angle droit».

Remarque :

La partie directe du théorème de Pythagore nous permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle en connaissant la valeur des longueurs des deux autres côtés.

Exemples :

1.Soit un triangle rectangle IKJ rectangle en K tel que KI=6 cm et KJ = 11 cm.

Calculer la valeur de IJ. Arrondir le résultat au dixième.

exercice pythagore

Le triangle KIJ est rectangle en K.

Je peux appliquer la partie directe du théorème de Pythagore :

IJ^2=KJ^2+KI^2\\IJ^2=11^2+6^2

Les puissances sont prioritaires car elles contiennent des multiplications.

IJ^2=121+36\\IJ^2=157\\IJ=\sqrt{157}\\IJ\approx\,12,5\,cm

2.Soit un triangle rectangle ABC rectangle en B tel que AC=6,5 cm et AB = 4 cm.

Calculer la valeur de BC. Arrondir le résultat au dixième.

exercice Pythagore

Le triangle ABC est rectangle en B.

Je peux appliquer la partie directe du théorème:

AC^2=AB^2+BC^2\\6,5^2=4^2+BC^2

42,25=16+BC^2 \\BC^2=42,25-16\\BC^2=26,25\\BC=\sqrt{26,25}\\BC\approx\,5,1\,cm

4.Puzzle de Pythagore et signification géométrique du théorème :

puzzle de Pythagore

théorème Pythagore

théorème Pyrhagore

Remarque :

Le théorème de Pythagore signifie que si un triangle est rectangle alors la somme des aires des deux petits carrés est égale à l’aire du grand carré.

II. Réciproque du théorème de Pythagore :

Propriété :

triangle rectangle Soit ABC un triangle tel que [AC] soit son plus long côté.

Si AC^2=AB^2+BC^2 alors ABC est un triangle rectangle en B .

Remarque :

La partie réciproque du théorème nous permet de vérifier si un triangle est rectangle connaissant la longueur de ses trois côtés.

Exemple :

Soit KJP un triangle tel que KJ = 7,2 cm, JP = 6,5 cm et KP = 9,7 cm.

Ce triangle est-il rectangle ?

exercice réciproque Pythagore

  1. Le côté le plus long est [KP].
  2. Calculons séparément :KP^2=9,7^2=94,09\,cm^2
    et
    KJ^2+JP^2=7,2^2+6,5^2=51,84+42,25=94,09\,cm^2
  3.  Nous avons KP^2=\,KJ^2+JP^2, par conséquent la partie réciproque du théorème de Pythagore  est  vérifiée donc le triangle KJP est rectangle en J.

III. Carte mentale sur le théorème de Pythagore :

carte mentale théorème de Pythagore
Autre version de cette leçon

I. Vocabulaire du triangle rectangle

Définition :
  •  Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit;
  • Le coté le plus long d’un triangle rectangle, qui est le côté opposé à l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse.

Exemple :

  • DEF est un triangle rectangle en F;
  • [ED] est l’hypoténuse : c’est le plus long côté du triangle rectangle;
  • Les deux côtés adjacents à l’angle droit sont [FD] et [FE], ils sont perpendiculaires.

Triangle rectangle EFD

II. Partie directe du théorème de Pythagore

1.Théorème de Pythagore

Théorème :

Si un triangle est rectangle alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés adjacents à l’angle droit.

Exemple :

ABC est un triangle rectangle en A donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons :  BC^2=AC^2+AB^2.

Triangle rectangle ABC

2. Calcul de la longueur de l’hypoténuse

Exemple :

Soit KLM un triangle rectangle en L tel que KL = 24 cm, LM = 10 cm.

Calculer KM.

Le triangle KLM est rectangle en L donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

KM^2=KL^2+LM^2\\KM^2=24^2+10^2\\KM^2=576+100\\KM^2=676\\KM=\sqrt{676}\\KM=24\,cm

Triangle rectangle KLM

3. Calcul de la longueur d’un côté adjacent à l’angle droit

Exemple :

Soit NPR un triangle rectangle rectangle en N tel que PR = 7 cm et Nr = 6 cm.

Calculer NP (arrondir le résultat au dixième).

Le triangle PNR est rectangle donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

PR^2=PN^2+NR^2\\7^2=PN^2+6^2\\49=PN^2+36\\PN^2=49-36\\PN^2=13\\PN=\sqrt{13}\\PN\approx,3,6\,cm

Triangle rectangle PNR

4. Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle

Exemple :

Soit STU un triangle rectangle en U tel que ST = 9,5 cm; Su = 2,3 cm et UT = 9,2 cm.

Le plus grand côté est [ST].

Je calcule séparément :

ST^2=9,5^2=90,25\,cm^2

SU^2+UT^2=2,3^2+9,2^2=5,29+84,64=89,93\,cm^2

ST^2\neq\,SU^2+UT^2 donc le triangle SUT n’est pas rectangle.

Traingle SUT

III. Partie réciproque du théorème de Pythagore

1. Réciproque du théorème de Pythagore

Théorème :

Si, dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

Exemple :

ABC est un triangle tel que BC^2\,=\,AB^2\,+\,AC^2. Donc, d’après la partie réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en A.

Triangle ABC

2. Démontrer qu’un triangle est rectangle

Exemple :

Soit DEF un triangle tel que FD = 4 cm; FE = 5 cm et DE = 3 cm.

Le côté le plus long est [FE].

Je calcule séparément :

FE^2=5^2=25\,cm^2\\\,FD^2+DE^2=4^2+3^2=16+9=25\,cm^2

FE^2=FD^2+DE^2 donc le triangle FED est rectangle en D.

Triangle FDE

IV. Signification géométrique du théorème de Pythagore

Propriété :

Si DEF est un triangle rectangle en F alors DE²=EF²+DF².

{\color{Red}\,Aire_{carre\,rouge}}={\color{Blue}\,Aire_{carre\,bleu}}+{\color{Yellow}\,Aire_{carre\,jaune}}

signification géométrique du théorème de Pythagore

théorème Pythagore

signification théorème Pythagore

Application :

Une chèvre C est attachée à un piquet P  planté au coin d’un pré carré de 15 m de côté.

Quelle doit être, approximativement, la longueur de la corde pour que la chèvre puisse brouter tout le pré?

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