Théorème de Pythagore : cours de maths en 4ème au programme de quatrième

Sommaire

O.Introduction :

Pythagore est né à Samos vers 580 av J.C et il est décédé vers 495 av J.C .

Il était pluridisciplinaire, il s’intéressait à la philosophie, aux mathématiques, aux sciences et à l’astronomie.

Il participa aux jeux olympiques à l’âge de 17 ans et remporta toutes les épreuves du pugilat (ancêtre de la boxe).

I.La partie directe du théorème de Pythagore :

1.Vocabulaire sur le triangle rectangle :

2.Activité d’introduction :

3.Partie directe du théorème de Pythagore :

Propriété :

Si ABC est un triangle rectangle en A alors $BC^2=AB^2+AC^2$ .On dit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents à l’angle droit.

Remarque :

La partie directe du théorème de Pythagore nous permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle en connaissant la valeur des longueurs des deux autres côtés.

Exemples :

1.Soit un triangle rectangle IKJ rectangle en K tel que KI=6 cm et KJ = 11 cm.

Calculer la valeur de IJ. Arrondir le résultat au dixième.

Le triangle KIJ est rectangle en K.

Je peux appliquer la partie directe du théorème de Pythagore :

$IJ^2=KJ^2+KI^2\\IJ^2=11^2+6^2$

Les puissances sont prioritaires car elles contiennent des multiplications.

$IJ^2=121+36\\IJ^2=157\\IJ=\sqrt{157}\\IJ\approx 12,5\,cm$

2.Soit un triangle rectangle ABC rectangle en B tel que AC=6,5 cm et AB = 4 cm.

Calculer la valeur de BC. Arrondir le résultat au dixième.

Le triangle ABC est rectangle en B.

Je peux appliquer la partie directe du théorème de Pythagore :

$AC^2=AB^2+BC^2\\6,5^2=4^2+BC^2$

$42,25=16+BC^2\\BC^2=42,25-16\\BC^2=42,25-16\\BC^2=26,25\\BC=\sqrt{26,25}\\BC\approx 5,1\,cm$

4.Puzzle de Pythagore et signification géométrique du théorème :

Remarque :

Le théorème de Pythagore signifie que si un triangle est rectangle alors la somme des aires des deux petits carrés est égale à l’aire du grand carré.

II.Réciproque du théorème de Pythagore :

Propriété :

Soit ABC un triangle rectangle tel que [AC] soit son plus long côté.Si $BC^2=AB^2+AC^2$ alors ABC est un triangle rectangle en A .

Remarque :

La partie réciproque du théorème de Pythagore nous permet de vérifier si un triangle est rectangle connaissant la longueur de ses trois côtés.

Exemple :

Soit KJP un triangle tel que KJ = 7,2 cm, JP = 6,5 cm et KP = 9,7 cm.

Ce triangle est-il rectangle ?

Le côté le plus long est [KP].

Calculons séparément :

$KP^2=9,7^2=94,09\,cm^2$ et $KJ^2+JP^2=7,2^2+6,5^2=51,84+42,25=94,09\,cm^2$

Nous avons $KP^2= KJ^2+JP^2$ , par conséquent la partie réciproque du théorème de Pythagore est vérifiée donc le triangle KJP est rectangle en J.

III.Carte mentale sur le théorème de Pythagore :

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