Mise à jour le 19 décembre 2019 | cours 4ème

Puissances de 10 et d’un nombre relatif : cours en 4ème en PDF

Lors des années précédentes, vous avez abordé certaines puissances, notamment celles de 2 et 3

Exemple :

$5^2=5\times 5=25$ se lit 5 au carré.

$2^3=2\times 2\times 2=8$ se lit 2 au cube.

Sommaire

I.Les puissances d’un nombre relatif :

1.Cas où l’exposant est positif :

Définition :

Pour tout entier positif $n$ non nul et tout nombre entier a :

$a^0=1$ ( par convention)

n est appelé l’exposant.

$a^n$ se lit a puissance n ou a exposant n.

Exemples :

$4^3= 4\times 4\times 4= 64$

$3^5=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243$

$10^4=10\times 10\times 10\times 10=10\,000$

2.Cas où l’exposant est négatif :

Définition de l’inverse d’une puissance :

Pour tout entier positif $n$ non nul et tout nombre entier a : $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ .

Exemples :

$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$

$5^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{5\times 5\times 5}=\frac{1}{125}$

Remarque :

En l’absence de parenthèses, les puissances sont prioritaires par rapport aux quatre opérations.

Exemple :

Calculer.

$A=5+3^2\\ A=5+9\\A=14$ $A=2\times 5^3\\ A=2\times 5\times 5\times 5\\A=2\times 125\\A=250$

3.Produit de puissances :

Propriété :

On considère $a$ un nombre relatif et $m$ , $n$ deux entiers. $a^m\times a^n=a^{m+n}$

Preuve :

$\underbrace{a\times a\times a\times .....\times a}\times\underbrace{ a\times a\times a...\times a}$ = $\underbrace{a\times a\times a\times .....\times a}$ = $a^{m+n}$

m fois n fois (m+n) fois

Exemples :

Calculer les produits de puissances.

$A=7^2\times 7^4=7^{2+4}=7^6$

$B=(-3)^5\times (-3)^3=(-3)^{5+3}=(-3)^8$

4.Puissance de puissances :

Propriété :

On considère $a$ un nombre relatif et $m$ , $n$ deux entiers. $(a^m) ^n=a^{m\times n}$

Exemples :

Calculer les expressions numériques.

$A=(5^4)^{-2}=5^{4\times (-2)}=5^{-8}$

$B=(9^2)^3=9^{2\times 3}=9^6$

5.Quotient de puissances :

Propriété :

On considère $a$ un nombre relatif non nul et $m$ , $n$ deux entiers. $\frac{ a^m }{ a ^n}=a^{m- n}$

Preuve :

$\frac{ a^m }{ a ^n}= a^m\times \frac{1}{a^n}=a^m\times a^{-n}=a^{m+(-n)}=a^{m-n}$

Exemples :

Calculer les quotients.

$\frac{(-7)^2}{(-7)^6}=(-7)^{2-6}=(-7)^{-4}$

$\frac{5^6}{5^3}=5^{6-3}=5^{3}$

Remarque :

Nous avons dit au début de la leçon que $a^0=1$ par convention.

Nous allons expliquer d’où provient cette formule.

$\frac{a^m}{a^m}=1$ mais, nous avons aussi $\frac{a^m}{a^m}=a^{ m-m}=a^0$ .

Par conséquent, $a^0=1$ .

II.Cas particuliers : les puissances de 10.

1.Formules et puissances de 10 :

Nous retrouvons les mêmes formules en prenant $a=10$ .

Propriétés :

$10^n=10\times 10\times 10\times ...\times 10\times 10$ (n fois)
$10^0=1$
$\frac{1}{10^n}=10^{-n}$ (inverse d’une puissance)
$(10^m) ^n=10^{m\times n}$ (puissance de puissance)
$10^m\times 10^n=10^{m+n}$ (produit de puissances)
$\frac{ 10^m }{ 10^n}=10^{m- n}$ (quotient de puissances)

Exemples :

Effectuer les calculs.

$A=10^3=10\times 10\times 10=1\,000$

$B=10^5=10\times 10\times 10\times 10\times 10=100\,000$

$C=10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}=0,01$

$D=10^{-4}=\frac{1}{10^4}=\frac{1}{10\,000}=0,000\,1$

$E=2\times 10^3+3\times 10^2=2\times 1\,000+3\times 100=2\,000+300=2\,300$

$F=\frac{10^{-3}}{10^{-5}}=10^{-3-(-5)}=10^{-3+5}=10^{ 2}=100$

2.L’écriture (ou notation) scientifique d’un nombre :

Définition :

On considère x un nombre relatif.Il existe un entier relatif non nul a et un entier $n$ tel que :

$x=a$ avec $1\leq a<10$ .

Cette écriture est appelée écriture scientifique ( ou notation scientifique) du nombre a .

Exemples :

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

$A=0,000\, 002\,56=2,56\times 10^{-6}$

$B=9 75\,632,568\,47=9,756\,325\,684\,7 \times 10^{5}$

$C=0,753=7,53\times 10^{-1}$

$D=9\,876,61\times 10^{-9}=9,876\,61\times 10^{3}\times 10^{-9}=9,876\,61\times 10^{-6}$

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