Puissances de 10 et d’un nombre relatif : cours de maths en 4ème à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

📚Cours de Mathématiques4ème • collège

Puissances de 10 et d’un nombre relatif

⏱️Temps de lecture : 5 min

🎯Difficulté : Intermédiaire

📚Cycle 4

📋Prérequis : Programme 5ème maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Les puissances avec un cours de maths en 4ème complet à imprimer ou à télécharger en PDF. Cette leçon vous permettra d’assimiler les règles de calculs et les différentes définitions. L’élève devra connaître toutes les formulés puissance d’une puissance, l’inverse, le produit et le quotient) afin de calculer des expressions numériques. Être capable, également, de donner l’écriture scientifique d’un nombre donné. Un autre objectif sera de résoudre des problèmes de la vie courante faisant intervenir la puissance d’un nombre relatif ou de 10 en quatrième.

Lors des années précédentes, vous avez abordé certaines puissances, notamment celles de 2 et 3

Exemple :

$5^2=5\times ,5=25$ se lit 5 au carré.

$2^3=2\times ,2\times ,2=8$ se lit 2 au cube.

I.Les puissances d’un nombre relatif :

1.Cas où l’exposant est positif :

Définition :

Pour tout entier positif non nul et tout nombre entier a :

a^0=1 ( par convention)

n est appelé l’exposant.

a^n se lit a puissance n ou a exposant n.

Exemples :

$4^3=\,4\times \,4\times \,4=\,64$

$3^5=3\times \,3\times \,3\times \,3\times \,3=243$

$10^4=10\times \,10\times \, 10\times \, 10=10\,000$

2.Cas où l’exposant est négatif :

Définition de l’inverse d’une puissance :

Pour tout entier positif non nul et tout nombre entier a : $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ .

Exemples :

$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$

$5^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{5\times \,5\times \,5}=\frac{1}{125}$

Remarque :

En l’absence de parenthèses, les puissances sont prioritaires par rapport aux quatre opérations.

Exemple :

Calculer.

$A=5+3^2\\\,A=5+9\\A=14$ $A=2\times \,5^3\\\,A=2\times \,5\times \,5\times \,5\\A=2\times \,125\\A=250$

3.Produit de puissances :

Propriété :

On considère un nombre relatif et , deux entiers. $a^m\times \,a^n=a^{m+n}$

Preuve :

$\underbrace{a\times \,a\times \,a\times \,.....\times \,a}\times \underbrace{\,a\times \,a\times \,a...\times \,a}$ = $\underbrace{a\times \,a\times \,a\times \,.....\times \,a}$ = $a^{m+n}$

m fois n fois (m+n) fois

Exemples :

Calculer les produits de puissances.

$A=7^2\times ,7^4=7^{2+4}=7^6$

$B=(-3)^5\times ,(-3)^3=(-3)^{5+3}=(-3)^8$

4.Puissance de puissances :

Propriété :

On considère un nombre relatif et , deux entiers. $(a^m)\,^n=a^{m\times \,n}$

Exemples :

Calculer les expressions numériques.

$A=(5^4)^{-2}=5^{4\times \,(-2)}=5^{-8}$

$B=(9^2)^3=9^{2\times ,3}=9^6$

5.Quotient de puissances :

Propriété :

On considère un nombre relatif non nul et , deux entiers. $\frac{\,a^m\,}{\,a\,^n}=a^{m-\,n}$

Preuve :

$\frac{,a^m,}{,a,^n}=,a^m\times ,\frac{1}{a^n}=a^m\times ,a^{-n}=a^{m+(-n)}=a^{m-n}$

Exemples :

Calculer les quotients.

$\frac{(-7)^2}{(-7)^6}=(-7)^{2-6}=(-7)^{-4}$

$\frac{5^6}{5^3}=5^{6-3}=5^{3}$

Remarque :

Nous avons dit au début de la leçon que par convention.

Nous allons expliquer d’où provient cette formule.

$\frac{a^m}{a^m}=1$ mais, nous avons aussi $\frac{a^m}{a^m}=a^{,m-m}=a^0$ .

Par conséquent, .

II. Cas particuliers : les puissances de 10.

1.Formules et puissances de 10 :

Nous retrouvons les mêmes formules en prenant .

Propriétés :

$10^n=10\times \,10\times \,10\times \,...\times \,10\times \,10$ (n fois)
$\frac{1}{10^n}=10^{-n}$ (inverse d’une puissance)
$(10^m)\,^n=10^{m\times \,n}$ (puissance de puissance)
$10^m\times \,10^n=10^{m+n}$ (produit de puissances)
$\frac{\,10^m\,}{\,10^n}=10^{m-\,n}$ (quotient de puissances)

Exemples :

Effectuer les calculs.

$A=10^3=10\times ,10\times ,10=1\,000$

$B=10^5=10\times ,10\times ,10\times ,10\times ,10=100\,000$

$C=10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}=0,01$

$D=10^{-4}=\frac{1}{10^4}=\frac{1}{10\,000}=0,000\,1$

$E=2\times \,10^3+3\times \,10^2=2\times \,1\,000+3\times \,100=2\,000+300=2\,300$

$F=\frac{10^{-3}}{10^{-5}}=10^{-3-(-5)}=10^{-3+5}=10^{,2}=100$

2.L’écriture (ou notation) scientifique d’un nombre :

Définition :

On considère x un nombre relatif.

Il existe un entier relatif non nul a et un entier tel que :

$x=a\times \, 10^n$ avec $1\leq\,\,a<10$ .

Cette écriture est appelée écriture scientifique ( ou notation scientifique) du nombre a .

Exemples :

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

$A=0,000\,\,002\,56=2,56\times \,10^{-6}$

$B=975\,632,568\,47=9,756\,325\,684\,7\,\times \,10^{5}$

$C=0,753=7,53\times \,10^{-1}$

$D=9\,876,61\times ,10^{-9}=9,876\,61\times \,10^{3}\times \,10^{-9}=9,876\,61\times \,10^{-6}$

Autre version de cette leçon

I. Puissance d’un nombre relatif

1.Exposant positif

Définition :

On considère un nombre entier positif non nul n et un nombre relatif a.

$a^n=\,\underbrace{\,a\times \,a\times \,....a\,}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\,fois$ avec a^0=1 .

a^n se lit a puissance n, l’entier n est appelé l’exposant.

Remarque :

Exemple :

$2^4=2\times \,2\times \,2\times \,2=16$

$(-3)^5=(-3)\times \,(-3)\times \,(-3)\times \,(-3)\times \,(-3)=-3^5=-243$

2.Exposant négatif

Définition :

On considère un nombre entier positif non nul n et un nombre relatif a.

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ .

Exemple :

$5^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}$

Remarque :

L’inverse de a est $\frac{1}{a}$ soit $a^{-1}$ .

3. Règles de priorités

Propriété :

dans une expression ne comportant pas de parenthèses, les puissances sont prioritaires par rapport aux quatre opérations.

Exemple :

$A=7+2^3\times \,5=7+8\times \,5=7+40=47$

II.Puissances de 10

1.Définition des puissances de dix

Définition :

On considère n un entier positif non nul.

$10^n=\,\underbrace{10\times \,10\times \,....\times \,10\,}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\,fois$ avec 10^0=1 .

$10^{-n}=\frac{1}{10^n}$

Exemple :

$10^3=10\times \,10\times \,10=1\,000\\10^5=10\times \,10\times \,10\times \,10\times \,10=100\,000$

2.Vocabulaire

Définition :

Exemple :

$1\,kilogramme=10^3\,grammes$

$1\,Gigaoctet=10^9\,octets$

3.Formules des puissances

Propriété :

On considère deux entiers relatifs m et p.

$10^m\times \,10^p=10^{m+p}$

$(10^m)^p=10^{mp}$

$\frac{10^m}{10^p}=10^{m-p}$ .

Exemple :

Calculer la valeur des expressions suivantes :

$A=10^3\times \,10^4=10^{3+4}=10^7$

$B=\frac{10^3}{10^4}=10^{3-4}=10^{-1}$

III. Ecriture scientifique d’un nombre

1.Multiplier par une puissance de 10

Propriété :

On considère n un entier positif non nul.

Multiplier un nombre par 10^n revient à décaler la virgule de n rang(s) vers la droite.

Multiplier un nombre par $10^{-n}$ revient à décaler la virgule de n rang(s) vers la gauche.

Exemple :

$A=207,875\times \,10^2=20787,5\\B=0,0027589\times \,10^4=27,589$

2.Notation ou écriture scientifique

Définition :

Soit un nombre relatif et un entier relatif.

Tout nombre décimal peut être écrit de manière unique sous la forme $x=a\times \,10^n$ avec $1\leq\,\,a<10$ .

Cette unique écriture s’appelle l’écriture scientifique (ou encore notation scientifique).

Le nombre a est appelé mantisse du nombre .

Exemple :

Age de la terre : 4 500 000 000 années = $4,5\times \,10^9$ années.
Rayon d’un atome : 0,000 000 000 529 m = $5,29\times \,10^{-10}$ m.

Applications :

1.Un vaisseau spatial a mis 20 ans pour faire le voyage planète X-Terre. Sachant que la planète X est située à 4,5 années-lumière de la Terre et qu’une année-lumière est égale à $9,5\,\times \,10^{12}$ km, calculer la vitesse moyenne de ce vaisseau spatial exprimée en km par an.Donner l’écriture scientifique du résultat.

2. Ecrire le nombre suivant sous la forme du produit d’un entier par une puissance de 10, puis sans utiliser de puissance de 10 :

$F\,=2\times \,10^{-4}\times \,3\times \,10^6$ .

3. 170 000 milliards de milliards de milliards est un ordre de grandeur du nombre de manières de jouer les dix premiers coups d’une partie d’échec. Ecrire ce nombre en notation scientifique.

4. Donner un ordre de grandeur du nombre de petits déjeuners pris par un homme pendant toute sa vie sachant que la durée moyenne de vie est de 77 ans.

5. Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière pendant une année. La vitesse de la lumière est 300 000 km/s. Donner un ordre de grandeur d’une année-lumière.

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