Puissances de 10 et d’un nombre relatif : cours de maths en 4ème à imprimer en PDF.
Mis à jour le 29 mai 2025
Lors des années précédentes, vous avez abordé certaines puissances, notamment celles de 2 et 3
Exemple :
se lit 5 au carré.
se lit 2 au cube.
I.Les puissances d’un nombre relatif :
1.Cas où l’exposant est positif :
Pour tout entier positif non nul et tout nombre entier a :
( par convention)
n est appelé l’exposant.
se lit a puissance n ou a exposant n.
Exemples :
2.Cas où l’exposant est négatif :
Pour tout entier positif non nul et tout nombre entier a :
.
Exemples :
Remarque :
En l’absence de parenthèses, les puissances sont prioritaires par rapport aux quatre opérations.
Exemple :
Calculer.
3.Produit de puissances :
On considère un nombre relatif et
,
deux entiers.
Preuve :
=
=
m fois n fois (m+n) fois
Exemples :
Calculer les produits de puissances.
4.Puissance de puissances :
On considère un nombre relatif et
,
deux entiers.
Exemples :
Calculer les expressions numériques.
5.Quotient de puissances :
On considère un nombre relatif non nul et
,
deux entiers.
Preuve :
Exemples :
Calculer les quotients.
Remarque :
Nous avons dit au début de la leçon que par convention.
Nous allons expliquer d’où provient cette formule.
mais, nous avons aussi
.
Par conséquent, .
II. Cas particuliers : les puissances de 10.
1.Formules et puissances de 10 :
Nous retrouvons les mêmes formules en prenant .
(n fois)
(inverse d’une puissance)
(puissance de puissance)
(produit de puissances)
(quotient de puissances)
Exemples :
Effectuer les calculs.
2.L’écriture (ou notation) scientifique d’un nombre :
On considère x un nombre relatif.
Il existe un entier relatif non nul a et un entier tel que :
avec
.
Cette écriture est appelée écriture scientifique ( ou notation scientifique) du nombre a .
Exemples :
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
Autre version de cette leçon
I. Puissance d’un nombre relatif
1.Exposant positif
On considère un nombre entier positif non nul n et un nombre relatif a.
avec
.
se lit a puissance n, l’entier n est appelé l’exposant.
Remarque :
Exemple :
2.Exposant négatif
On considère un nombre entier positif non nul n et un nombre relatif a.
.
Exemple :
Remarque :
L’inverse de a est soit
.
3. Règles de priorités
dans une expression ne comportant pas de parenthèses, les puissances sont prioritaires par rapport aux quatre opérations.
Exemple :
II.Puissances de 10
1.Définition des puissances de dix
On considère n un entier positif non nul.
avec
.
Exemple :
3.Formules des puissances
On considère deux entiers relatifs m et p.
.
Exemple :
Calculer la valeur des expressions suivantes :
III. Ecriture scientifique d’un nombre
1.Multiplier par une puissance de 10
On considère n un entier positif non nul.
Multiplier un nombre par revient à décaler la virgule de n rang(s) vers la droite.
Multiplier un nombre par revient à décaler la virgule de n rang(s) vers la gauche.
Exemple :
2.Notation ou écriture scientifique
Soit un nombre relatif et
un entier relatif.
Tout nombre décimal peut être écrit de manière unique sous la forme
avec
.
Cette unique écriture s’appelle l’écriture scientifique (ou encore notation scientifique).
Le nombre a est appelé mantisse du nombre .
Exemple :
- Age de la terre : 4 500 000 000 années =
années.
- Rayon d’un atome : 0,000 000 000 529 m =
m.
Applications :
1.Un vaisseau spatial a mis 20 ans pour faire le voyage planète X-Terre. Sachant que la planète X est située à 4,5 années-lumière de la Terre et qu’une année-lumière est égale à km, calculer la vitesse moyenne de ce vaisseau spatial exprimée en km par an.Donner l’écriture scientifique du résultat.
2. Ecrire le nombre suivant sous la forme du produit d’un entier par une puissance de 10, puis sans utiliser de puissance de 10 :
.
3. 170 000 milliards de milliards de milliards est un ordre de grandeur du nombre de manières de jouer les dix premiers coups d’une partie d’échec. Ecrire ce nombre en notation scientifique.
4. Donner un ordre de grandeur du nombre de petits déjeuners pris par un homme pendant toute sa vie sachant que la durée moyenne de vie est de 77 ans.
5. Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière pendant une année. La vitesse de la lumière est 300 000 km/s. Donner un ordre de grandeur d’une année-lumière.
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