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Puissances de 10 et d’un nombre relatif : cours en 4ème en PDF

cours quatrieme

Lors des années précédentes, vous avez abordé certaines puissances, notamment celles de 2 et 3

Exemple :

5^2=5\times  ,5=25  se lit 5 au carré.

2^3=2\times  ,2\times  ,2=8 se lit 2 au cube.

I.Les puissances d’un nombre relatif :

1.Cas où l’exposant est positif :

Définition :

Pour tout entier positif n non nul et tout nombre entier a :

définition puissances 1

a^0=1 ( par convention)

n est appelé l’exposant.

a^n  se lit a puissance n  ou a exposant n.

Exemples :

4^3=\,4\times  \,4\times  \,4=\,64

3^5=3\times  \,3\times  \,3\times  \,3\times  \,3=243

10^4=10\times   \,10\times  \, 10\times  \, 10=10\,000

2.Cas où l’exposant est négatif :

Définition de l’inverse d’une puissance :

Pour tout entier positif n non nul et tout nombre entier a :\frac{1}{a^n}=a^{-n}.

définition puissances 2

 Exemples :

3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}

5^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{5\times  \,5\times  \,5}=\frac{1}{125}

Remarque :

En l’absence de parenthèses, les puissances sont prioritaires par rapport aux quatre opérations.

Exemple :

Calculer.

A=5+3^2\\\,A=5+9\\A=14      A=2\times  \,5^3\\\,A=2\times  \,5\times  \,5\times  \,5\\A=2\times  \,125\\A=250

3.Produit de puissances :

Propriété :

On considère a un nombre relatif et m, n deux entiers.a^m\times  \,a^n=a^{m+n}

Preuve :

\underbrace{a\times  \,a\times  \,a\times  \,.....\times  \,a}\times  \underbrace{\,a\times  \,a\times  \,a...\times  \,a}=\underbrace{a\times  \,a\times  \,a\times  \,.....\times  \,a}=a^{m+n}

m fois                       n fois                      (m+n) fois

Exemples :

Calculer les produits de puissances.

A=7^2\times  ,7^4=7^{2+4}=7^6

B=(-3)^5\times  ,(-3)^3=(-3)^{5+3}=(-3)^8

4.Puissance de puissances :

Propriété :

On considère a un nombre relatif et m, n deux entiers.(a^m)\,^n=a^{m\times  \,n}

Exemples :

Calculer les expressions numériques.

A=(5^4)^{-2}=5^{4\times  \,(-2)}=5^{-8}

B=(9^2)^3=9^{2\times  ,3}=9^6

5.Quotient de puissances :

Propriété :

On considère a un nombre relatif non nul et m, n deux entiers.\frac{\,a^m\,}{\,a\,^n}=a^{m-\,n}

Preuve :

\frac{,a^m,}{,a,^n}=,a^m\times  ,\frac{1}{a^n}=a^m\times  ,a^{-n}=a^{m+(-n)}=a^{m-n}

Exemples :

Calculer les quotients.

\frac{(-7)^2}{(-7)^6}=(-7)^{2-6}=(-7)^{-4}

\frac{5^6}{5^3}=5^{6-3}=5^{3}

Remarque :

Nous avons dit au début de la leçon que a^0=1 par convention.

Nous allons expliquer d’où provient cette formule.

\frac{a^m}{a^m}=1  mais, nous avons aussi \frac{a^m}{a^m}=a^{,m-m}=a^0.

Par conséquent, a^0=1.

II. Cas particuliers : les puissances de 10.

1.Formules et puissances de 10 :

Nous retrouvons les mêmes formules en prenant a=10.

Propriétés :
  • 10^n=10\times  \,10\times  \,10\times  \,...\times  \,10\times  \,10   (n fois)
  • 10^0=1
  • \frac{1}{10^n}=10^{-n}  (inverse d’une puissance)
  • (10^m)\,^n=10^{m\times  \,n}  (puissance de puissance)
  • 10^m\times  \,10^n=10^{m+n}   (produit de puissances)
  • \frac{\,10^m\,}{\,10^n}=10^{m-\,n}   (quotient de puissances)

Exemples :

Effectuer les calculs.

A=10^3=10\times  ,10\times  ,10=1\,000

B=10^5=10\times  ,10\times  ,10\times  ,10\times  ,10=100\,000

C=10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}=0,01

D=10^{-4}=\frac{1}{10^4}=\frac{1}{10\,000}=0,000\,1

E=2\times  \,10^3+3\times  \,10^2=2\times  \,1\,000+3\times  \,100=2\,000+300=2\,300

F=\frac{10^{-3}}{10^{-5}}=10^{-3-(-5)}=10^{-3+5}=10^{,2}=100

2.L’écriture (ou notation) scientifique d’un nombre :

Définition :

On considère x un nombre relatif.

Il existe un entier relatif non nul a et  un entier n tel que :

x=a\times  \, 10^n    avec  1\leq\,\,a<10.

Cette écriture est appelée écriture scientifique ( ou notation scientifique) du nombre a .

Exemples :

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

A=0,000\,\,002\,56=2,56\times  \,10^{-6}

B=975\,632,568\,47=9,756\,325\,684\,7\,\times  \,10^{5}

C=0,753=7,53\times  \,10^{-1}

D=9\,876,61\times  ,10^{-9}=9,876\,61\times  \,10^{3}\times  \,10^{-9}=9,876\,61\times  \,10^{-6}

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