cours quatrième

Puissances de 10 et d’un nombre relatif : cours en 4ème en PDF

Lors des années précédentes, vous avez abordé certaines puissances, notamment celles de 2 et 3

Exemple :

5^2=5\times   5=25  se lit 5 au carré.

2^3=2\times   2\times   2=8 se lit 2 au cube.

I.Les puissances d’un nombre relatif :

1.Cas où l’exposant est positif :

Définition :

Pour tout entier positif n non nul et tout nombre entier a :

définition puissances 1

a^0=1 ( par convention)

n est appelé l’exposant.

a^n  se lit a puissance n  ou a exposant n.

Exemples :

4^3= 4\times   4\times   4= 64

3^5=3\times   3\times   3\times   3\times   3=243

2.Cas où l’exposant est négatif :

Définition de l’inverse d’une puissance :

Pour tout entier positif n non nul et tout nombre entier a :\frac{1}{a^n}=a^{-n}.

définition puissances 2

 Exemples :

3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}

5^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{5\times   5\times   5}=\frac{1}{125}

Remarque :

En l’absence de parenthèses, les puissances sont prioritaires par rapport aux quatre opérations.

Exemple :

Calculer.

A=5+3^2\\ A=5+9\\A=14      A=2\times   5^3\\ A=2\times   5\times   5\times   5\\A=2\times   125\\A=250

3.Produit de puissances :

Propriété :

On considère a un nombre relatif et m, n deux entiers.a^m\times   a^n=a^{m+n}

Preuve :

\underbrace{a\times   a\times   a\times   .....\times   a}\times  \underbrace{ a\times   a\times   a...\times   a}=\underbrace{a\times   a\times   a\times   .....\times   a}=a^{m+n}

m fois                       n fois                      (m+n) fois

Exemples :

Calculer les produits de puissances.

A=7^2\times   7^4=7^{2+4}=7^6

B=(-3)^5\times   (-3)^3=(-3)^{5+3}=(-3)^8

4.Puissance de puissances :

Propriété :

On considère a un nombre relatif et m, n deux entiers.(a^m) ^n=a^{m\times   n}

Exemples :

Calculer les expressions numériques.

A=(5^4)^{-2}=5^{4\times   (-2)}=5^{-8}

B=(9^2)^3=9^{2\times   3}=9^6

5.Quotient de puissances :

Propriété :

On considère a un nombre relatif non nul et m, n deux entiers.\frac{ a^m }{ a ^n}=a^{m- n}

Preuve :

\frac{ a^m }{ a ^n}= a^m\times   \frac{1}{a^n}=a^m\times   a^{-n}=a^{m+(-n)}=a^{m-n}

Exemples :

Calculer les quotients.

\frac{(-7)^2}{(-7)^6}=(-7)^{2-6}=(-7)^{-4}

\frac{5^6}{5^3}=5^{6-3}=5^{3}

Remarque :

Nous avons dit au début de la leçon que a^0=1 par convention.

Nous allons expliquer d’où provient cette formule.

\frac{a^m}{a^m}=1  mais, nous avons aussi \frac{a^m}{a^m}=a^{ m-m}=a^0.

Par conséquent, a^0=1.

II. Cas particuliers : les puissances de 10.

1.Formules et puissances de 10 :

Nous retrouvons les mêmes formules en prenant a=10.

Propriétés :

  • 10^n=10\times   10\times   10\times   ...\times   10\times   10   (n fois)
  • 10^0=1
  • \frac{1}{10^n}=10^{-n}  (inverse d’une puissance)
  • (10^m) ^n=10^{m\times   n}  (puissance de puissance)
  • 10^m\times   10^n=10^{m+n}   (produit de puissances)
  • \frac{ 10^m }{ 10^n}=10^{m- n}   (quotient de puissances)

Exemples :

Effectuer les calculs.

A=10^3=10\times   10\times   10=1\,000

B=10^5=10\times   10\times   10\times   10\times   10=100\,000

C=10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}=0,01

D=10^{-4}=\frac{1}{10^4}=\frac{1}{10\,000}=0,000\,1

F=\frac{10^{-3}}{10^{-5}}=10^{-3-(-5)}=10^{-3+5}=10^{ 2}=100

2.L’écriture (ou notation) scientifique d’un nombre :

Définition :

On considère x un nombre relatif.

Il existe un entier relatif non nul a et  un entier n tel que :

    avec  1\leq\, a<10.

Cette écriture est appelée écriture scientifique ( ou notation scientifique) du nombre a .

Exemples :

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

A=0,000\, 002\,56=2,56\times   10^{-6}

B=9 75\,632,568\,47=9,756\,325\,684\,7 \times   10^{5}

C=0,753=7,53\times   10^{-1}

D=9\,876,61\times   10^{-9}=9,876\,61\times   10^{3}\times   10^{-9}=9,876\,61\times   10^{-6}


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