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Fractions : addition, soustraction, multiplication et division

cours quatrieme

I.Addition et soustraction de deux fractions :

1.Cas où le dénominateur est le même :

Règle 1 :

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur, il faut :

  • conserver le dénominateur en commun;
  • additionner ( ou soustraire) les numérateurs.

On considère a,b et c trois nombres relatifs tels que b\neq 0 .

\frac{a}{b}+ \frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}  et \frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}

Exemples :

Calculer.

\frac{5}{3}+\frac{8}{3}=\frac{5+8}{3}=\frac{13}{3}

\frac{5}{3}- \frac{8}{3}=\frac{5-8}{3}=\frac{-3}{3}=-1

2.Cas où le dénominateur est différent :

Règle 2 :

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n’ayant pas le même dénominateur, il faut :

  • réduire ces fractions au même dénominateur;
  • appliquer la règle précédente.

On considère a, b, c et d quatre nombres relatifs tels que b\neq 0 et c\neq 0

\frac{a}{b}+ \frac{c}{d}=\frac{ a\times   d+b\times   c}{b\times   d} et \frac{a}{b}- \frac{c}{d}=\frac{ a\times   d-b\times   c}{b\times   d}

Exemple :

Calculer

A=\frac{7}{5}+\frac{8}{3}\\A=\frac{7\times   3}{5\times   3}+\frac{8\times   5}{3\times   5}\\A=\frac{21}{15}+\frac{40}{15}\\A=\frac{21+40}{15} \\A=\frac{61}{15}

B=\frac{7}{5}-\frac{8}{3}\\B=\frac{7\times   3}{5\times   3}-\frac{8\times   5}{3\times   5}\\B=\frac{21}{15}-\frac{40}{15}\\B=\frac{21-40}{15} \\B=-\frac{19}{15}

II. Multiplication de deux fractions :

Propriété :

Pour effectuer le produit de deux fractions, il faut :

  • multiplier les numérateurs entre eux;
  • multiplier les dénominateurs entre eux.

On considère quatre nombres relatifs a, b, c et d tels que b\neq 0 et d\neq 0.

\frac{a}{b} \times   \frac{c}{d}=\frac{a \times   c}{b \times   d} .

Exemples :

Calculer

A=\frac{3}{5}\times   \frac{4}{7}=\frac{3\times   4}{5\times   7}=\frac{12}{35}

B=\frac{-2}{3}\times   \frac{-5}{-4}=-\frac{2\times   5}{3\times   4}=-\frac{10}{12}=-\frac{10:  2}{12 :  2}=-\frac{5}{6}

III. Division de deux fractions :

Définition :

Soit x un nombre relatif non nul.
L’inverse de x est   \frac{1}{x}.

Propriété :

Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse.

On considère a, b, c et d quatre nombres relatifs avec b\neq 0 , b\neq 0 et d \neq 0.

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times   \frac{d}{c}

Exemples :

Diviser par \frac{1}{2}, c’est multiplier par son inverse qui est \frac{2}{1}=2.

\frac{\frac{5}{4}}{\frac{7}{3}}=\frac{5}{4}\times   \frac{3}{7}=\frac{5\times   3}{4\times   7}=\frac{15}{28}

\frac{\frac{-7}{4}}{\frac{-2}{5}}=\frac{-7}{4}\times   \frac{5}{-2}=\frac{-7\times   5}{4\times   (-2)}=\frac{-35}{-8}=\frac{35}{8}

IV. Carte mentale sur les fractions :

carte mentale opérations sur les fractions

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