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Quatrième · fiche 2 sur 12

Fractions : division et enchaînements

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. Cette phrase résume la seule nouveauté du chapitre.

L'essentiel en trois points

  1. L'inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$, à condition que $a$ et $b$ soient non nuls.
  2. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
  3. Zéro n'a pas d'inverse : on ne divise jamais par zéro.

L'inverse

À savoir — définition

Deux nombres sont inverses si leur produit vaut $1$. L'inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$ ; celui de $5$ est $\dfrac{1}{5}$.

Piège à éviter

Ne confondez pas opposé et inverse : l'opposé de $\dfrac34$ est $-\dfrac34$ (somme nulle), son inverse est $\dfrac43$ (produit égal à $1$).

Diviser

Règle — la règle

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$.

Exemple guidé

$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{8} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$.

Astuce

Simplifiez avant de multiplier : $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}$ devient $\dfrac{1}{1} \times \dfrac{2}{3}$ en barrant $3$ avec $9$ et $4$ avec $8$.

Fractions étagées

Comment faire — lire une fraction de fractions

La barre de fraction principale est une division. $\dfrac{\ \frac{2}{3}\ }{\frac{5}{6}} = \dfrac{2}{3} \div \dfrac{5}{6} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{4}{5}$.

Enchaîner

Comment faire — l'ordre des opérations

La barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule entièrement le numérateur, entièrement le dénominateur, puis on divise.

$\dfrac{3 + 5}{2 \times 4} = \dfrac{8}{8} = 1$.

Piège à éviter

Simplifier « en diagonale » dans une somme est faux : dans $\dfrac{3+5}{2\times4}$, on ne peut pas barrer le $4$ avec le $8$ tant que le numérateur n'est pas réduit à un produit.

Vérifiez que vous savez faire

  • donner l'inverse d'un nombre ou d'une fraction
  • distinguer opposé et inverse
  • diviser deux fractions
  • calculer une fraction étagée
  • respecter la barre de fraction comme une parenthèse

On nous pose souvent ces questions

Comment diviser par une fraction ?

On multiplie par son inverse. Diviser par trois quarts revient à multiplier par quatre tiers.

Quelle différence entre l'opposé et l'inverse ?

L'opposé s'ajoute pour donner zéro, l'inverse se multiplie pour donner un. L'opposé de trois quarts est moins trois quarts, son inverse est quatre tiers.

Zéro a-t-il un inverse ?

Non. Aucun nombre multiplié par zéro ne donne 1, et l'on ne divise jamais par zéro.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

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