Aller au contenu Maths PDF : cours, exercices, QCM, géométrie et calcul, du CM1 à la terminale
Maths PDF Accueil

Quatrième · fiche 5 sur 12

Équations du premier degré

Résoudre, c'est isoler l'inconnue en effectuant la même opération sur les deux membres. Le contrôle final n'est pas facultatif.

L'essentiel en trois points

  1. On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
  2. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
  3. Une solution se vérifie toujours dans l'équation de départ, pas dans une ligne intermédiaire.

Résoudre pas à pas

Comment faire — la méthode

1. Développer et réduire chaque membre.
2. Rassembler les termes en $x$ d'un côté, les constantes de l'autre.
3. Diviser par le coefficient de $x$.
4. Vérifier.

Exemple guidé

$3(x-2) = 5x + 4$

$3x - 6 = 5x + 4$, donc $3x - 5x = 4 + 6$, soit $-2x = 10$ et $x = -5$.

Vérification : à gauche $3(-5-2) = -21$ ; à droite $5(-5)+4 = -21$.

Piège à éviter

Diviser par un coefficient négatif change le signe du résultat. Ici $-2x = 10$ donne $x = -5$, pas $x = 5$.

Les équations-produits

Règle — un produit nul

$A \times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou $B = 0$.

Exemple guidé

$(x-3)(2x+8) = 0$ donne $x - 3 = 0$ ou $2x + 8 = 0$, donc $x = 3$ ou $x = -4$. L'équation a deux solutions.

Piège à éviter

Cette propriété ne vaut que pour un produit égal à zéro. De $(x-3)(2x+8) = 5$, on ne peut rien conclure de la sorte : il faut développer.

Mettre en équation

Comment faire — les quatre étapes

1. Choisir et nommer l'inconnue.
2. Traduire l'énoncé par une égalité.
3. Résoudre.
4. Répondre par une phrase et vérifier la vraisemblance.

Exemple guidé

Un père a $38$ ans, son fils $10$ ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le double de celui du fils ?

Soit $x$ ce nombre d'années : $38 + x = 2(10 + x)$, donc $38 + x = 20 + 2x$, d'où $x = 18$. Dans $18$ ans, le père aura $56$ ans et le fils $28$ ans.

Vérifiez que vous savez faire

  • résoudre une équation avec parenthèses
  • gérer un coefficient négatif devant l'inconnue
  • résoudre une équation-produit nul
  • vérifier une solution dans l'équation de départ
  • traduire un problème par une équation

On nous pose souvent ces questions

Comment résoudre une équation avec des parenthèses ?

On développe d'abord chaque membre, on réduit, puis on rassemble les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre avant de diviser.

Qu'est-ce qu'une équation-produit ?

C'est une équation de la forme A fois B égale zéro. Elle se résout en écrivant que A est nul ou que B est nul, ce qui donne en général deux solutions.

Que se passe-t-il si l'on divise par un coefficient négatif ?

Le signe du résultat change. De moins deux x égale dix, on tire x égale moins cinq.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

Télécharger cette fiche en PDFVersion imprimable, sans la figure interactive.