Quatrième · fiche 3 sur 12

Puissances et notation scientifique

Q: Que vaut un nombre à la puissance zéro ?

Il vaut 1, pour tout nombre non nul. C'est une convention cohérente avec la formule de division des puissances.

Q: Un exposant négatif donne-t-il un nombre négatif ?

Non. Dix puissance moins trois vaut 0,001, un nombre positif très petit. Le signe de l'exposant indique un sens, pas un signe.

Q: Qu'est-ce que la notation scientifique ?

C'est l'écriture d'un nombre sous la forme a multiplié par une puissance de dix, où a possède un seul chiffre non nul avant la virgule. Ainsi 45 300 s'écrit 4,53 fois dix puissance 4.

Une puissance abrège une multiplication répétée. Les quatre formules du chapitre ne sont que des conséquences de cette définition.

L'essentiel en trois points

$a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$, et $a^0 = 1$ pour tout $a$ non nul.
$10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$ : un exposant négatif désigne un nombre petit, pas un nombre négatif.
La notation scientifique s'écrit $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$.

Définition

À savoir — puissance d'un nombre

$a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ facteurs}}$ pour $n$ entier positif.

Par convention, $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ pour tout $a \neq 0$.

Règle — exposant négatif

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. Ainsi $10^{-3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001$.

Piège à éviter

$10^{-3}$ n'est pas un nombre négatif : c'est un nombre positif très petit. Le signe de l'exposant indique un sens, pas un signe.

Les formules

Règle — les quatre règles

$a^m \times a^n = a^{m+n}$ ; $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; $(a^m)^n = a^{m \times n}$ ; $(a \times b)^n = a^n \times b^n$.

Astuce

Ces formules exigent la même base. $2^3 \times 5^3$ ne se simplifie pas en additionnant les exposants, mais se regroupe en $(2\times5)^3 = 10^3$.

Exemple guidé

$\dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2} = \dfrac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$.

Les puissances de 10

À savoir — lecture rapide

$10^n$ s'écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros. $10^{-n}$ s'écrit $0{,}0\ldots01$ avec $n$ chiffres après la virgule.

La notation scientifique

Règle — la forme imposée

Un nombre est en notation scientifique s'il s'écrit $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ et $n$ entier relatif.

Exemple guidé

$45\,300 = 4{,}53 \times 10^4$ et $0{,}00072 = 7{,}2 \times 10^{-4}$.

Piège à éviter

$45{,}3 \times 10^3$ est une écriture correcte mais pas scientifique : le nombre devant la puissance doit avoir un seul chiffre non nul avant la virgule.

Vérifiez que vous savez faire

calculer une puissance et connaître $a^0 = 1$
interpréter un exposant négatif
appliquer les formules sur les puissances de même base
écrire un nombre en notation scientifique
comparer deux nombres écrits avec des puissances de 10

On nous pose souvent ces questions

Que vaut un nombre à la puissance zéro ?

Il vaut 1, pour tout nombre non nul. C'est une convention cohérente avec la formule de division des puissances.

Un exposant négatif donne-t-il un nombre négatif ?

Non. Dix puissance moins trois vaut 0,001, un nombre positif très petit. Le signe de l'exposant indique un sens, pas un signe.

Qu'est-ce que la notation scientifique ?

C'est l'écriture d'un nombre sous la forme a multiplié par une puissance de dix, où a possède un seul chiffre non nul avant la virgule. Ainsi 45 300 s'écrit 4,53 fois dix puissance 4.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

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