Sujet du bac de maths 2022 : Amérique du Nord, jour 2
La solution rédigée question par question se trouve sur la page du corrigé ; gardez-la pour après votre propre recherche. D'autres épreuves attendent sur la page des sujets du bac de maths.
Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2022
Amérique du Nord — Jour 2 — 19 mai 2022
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.
Exercice 1 (sujet de bac 2022, Amérique du Nord, jour 2) 7 points
Thème : probabilités, suites
Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Par ailleurs, les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l'un ou l'autre des deux points de location.
Par ailleurs, on admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l'ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.
D'après une étude statistique :
- Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu'il se trouve au point A le matin suivant est égale à \(0{,}84\) ;
- Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu'il se trouve au point B le matin suivant est égale à \(0{,}76\).
À l'ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l'autre moitié au point B.
Ensuite, on considère un vélo de la société pris au hasard.
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on définit les évènements suivants :
- \(A_n\) : « le vélo se trouve au point A le \(n\)-ième matin »
- \(B_n\) : « le vélo se trouve au point B le \(n\)-ième matin ».
Exercice 1 (sujet de bac 2022, Amérique du Nord, jour 2) 7 points (suite)
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on note \(a_n\) la probabilité de l'évènement \(A_n\) et \(b_n\) la probabilité de l'évènement \(B_n\). Ainsi \(a_1 = 0{,}5\) et \(b_1 = 0{,}5\).
1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :
2. a. Calculer \(a_2\).
b. Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Puis calculer la probabilité qu'il se soit trouvé au point B le premier matin. Ensuite, la probabilité sera arrondie au millième.
Question 3
3. a. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les \(n\)-ième et \(n+1\)-ième matins.
b. Justifier que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(a_{n+1} = 0{,}6a_n + 0{,}24\).
4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(a_n = 0{,}6 - 0{,}1 \times 0{,}6^{n-1}\).
5. Déterminer la limite de la suite \((a_n)\) et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
6. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(a_n \geqslant 0{,}599\) et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
Exercice 2 (sujet de bac 2022, Amérique du Nord, jour 2) 7 points
Thème : fonctions, fonction exponentielle
Partie A
Soit \(p\) la fonction définie sur l'intervalle \([-3~;~4]\) par :
\[p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1\]
1. Déterminer les variations de la fonction \(p\) sur l'intervalle \([-3~;~4]\).
2. Justifier que l'équation \(p(x) = 0\) admet dans l'intervalle \([-3~;~4]\) une unique solution qui sera notée \(\alpha\).
3. Déterminer une valeur approchée du réel \(\alpha\) au dixième près.
4. Donner le tableau de signes de la fonction \(p\) sur l'intervalle \([-3~;~4]\).
Partie B
Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([-3~;~4]\) par :
\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + x^2}\]
Puis on note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1. a. Déterminer la dérivée de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([-3~;~4]\).
b. Justifier que la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.
2. Les concepteurs d'un toboggan utilisent la courbe \(\mathcal{C}_f\) comme profil d'un toboggan. Puis ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d'inflexion.
a. D'après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.
b. En outre, on admet que la fonction \(f''\), dérivée seconde de la fonction \(f\), a pour expression pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([-3~;~4]\) :
\[f''(x) = \dfrac{p(x)(x - 1)\text{e}^x}{\left(1 + x^2\right)^3}\]
où \(p\) est la fonction définie dans la partie A.
En utilisant l'expression précédente de \(f''\), répondre à la question : « le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». De plus, justifier.
Exercice 3 (sujet de bac 2022, Amérique du Nord, jour 2) 7 points
Thème : géométrie dans l'espace
Une exposition d'art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur 6 m, de longueur 8 m et de hauteur 4 m.
Elle est représentée par le parallélépipède rectangle OBCDEFGH où OB = 6 m, OD = 8 m et OE = 4 m.
Ensuite, on utilise le repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\) tel que \(\overrightarrow{\imath} = \dfrac16\overrightarrow{\text{OB}}\), \(\overrightarrow{\jmath} = \dfrac18\overrightarrow{\text{OD}}\) et \(\overrightarrow{k} = \dfrac14\overrightarrow{\text{OE}}\).
Dans ce repère on a, en particulier C(6 ; 8 ; 0), F(6 ; 0 ; 4) et G(6 ; 8 ; 4).
Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle ART qui a pour sommets A(6 ; 0 ; 2), R(6 ; 3 ; 4) et T(3 ; 0 ; 4). Enfin, S est le point de coordonnées \(\left(3~;~\dfrac52~;~0\right)\).
1. a. Vérifier que le triangle ART est isocèle en A.
b. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{AR}} \cdot \overrightarrow{\text{AT}}\).
c. En déduire une valeur approchée à \(0{,}1\) degré près de l'angle \(\widehat{\text{RAT}}\).
2. a. Justifier que le vecteur \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (ART).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (ART).
3. Un rayon laser dirigé vers le triangle ART est émis du plancher à partir du point S. Ensuite, en outre, on admet que ce rayon est orthogonal au plan (ART).
Question 3 a
a. Soit \(\Delta\) la droite orthogonale au plan (ART) et passant par le point S.
Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) :
\[\left\{\begin{array}{l}x = 3 + 2k\\y = \dfrac52 - 2k\\z = 3k\end{array}\right.,\ \text{avec } k \in \mathbb{R}.\]
b. Soit L le point d'intersection de la droite \(\Delta\), avec le plan (ART).
Démontrer que L a pour coordonnées \(\left(5~;~\dfrac12~;~3\right)\).
4. L'artiste installe un rail représenté par le segment [DK] où K est le milieu du segment [EH].
Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point N du segment [DK] et il oriente ce second rayon laser vers le point S.
a. Montrer que, pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0~;~1]\), le point N de coordonnées \((0~;~8 - 4t~;~4t)\) est un point du segment [DK].
b. Calculer les coordonnées exactes du point N tel que les deux rayons laser représentés par les segments [SL] et [SN] soient perpendiculaires.
Exercice 4 7 points
Thème : fonction logarithme népérien, probabilités
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend six questions. Par ailleurs, les six questions sont indépendantes. Puis pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Ensuite, le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Question 1
Le réel \(a\) défini par \(a = \ln(9) + \ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) + \ln\left(\dfrac19\right)\) est égal à :
| a. \(1 - \dfrac12\ln(3)\) | b. \(\dfrac12\ln(3)\) | c. \(3\ln(3) + \dfrac12\) | d. \(-\dfrac12\ln(3)\) |
Question 2
Désormais, on note \((E)\) l'équation suivante \(\ln x + \ln(x - 10) = \ln 3 + \ln 7\) d'inconnue le réel \(x\).
a. 3 est solution de \((E)\).
b. \(5 - \sqrt{46}\) est solution de \((E)\).
c. L'équation \((E)\) admet une unique solution réelle.
d. L'équation \((E)\) admet deux solutions réelles.
Question 3
La fonction \(f\) est définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par l'expression \(f(x) = x^2(-1 + \ln x)\).
Ensuite, on note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
a. Pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0~;~+\infty[\), \(f'(x) = 2x + \dfrac1x\).
b. La fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\).
c. \(f'\left(\sqrt{\text{e}}\right)\) est différent de \(0\).
d. La droite d'équation \(y = -\dfrac12\text{e}\) est tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(\sqrt{\text{e}}\).
Question 4
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. Puis on tire successivement et avec remise 5 jetons du sac.
Exercice 4 7 points (suite)
La probabilité de tirer exactement 2 jetons jaunes, arrondie au millième, est :
| a. \(0{,}683\) | b. \(0{,}346\) | c. \(0{,}230\) | d. \(0{,}165\) |
Question 5
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. Désormais, on tire successivement et avec remise 5 jetons du sac.
La probabilité de tirer au moins un jeton jaune, arrondie au millième, est :
| a. \(0{,}078\) | b. \(0{,}259\) | c. \(0{,}337\) | d. \(0{,}922\) |
Question 6
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus.
Ensuite, on réalise l'expérience aléatoire suivante : on tire successivement et avec remise cinq jetons du sac.
Puis on note le nombre de jetons jaunes obtenus après ces cinq tirages.
Si on répète cette expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors, en moyenne, le nombre de jetons jaunes est égal à :
| a. \(0{,}4\) | b. \(1{,}2\) | c. \(2\) | d. \(2{,}5\) |
Présentation du sujet de bac 2022, Amérique du Nord, jour 2
Ce sujet de bac 2022, Amérique du Nord, jour 2 du 19 mai 2022 comporte quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (7 points) porte sur : arbre pondéré, probabilités totales, formule de Bayes, suite arithmético-géométrique, récurrence, limite, logarithme. Ensuite, l'exercice 2 (7 points) aborde : polynôme du troisième degré, théorème des valeurs intermédiaires, dérivée d'un quotient, tangente horizontale, convexité et points d'inflexion. Puis, l'exercice 3 (7 points) aborde : coordonnées dans l'espace, distances, produit scalaire et angle, vecteur normal, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique, intersection droite-plan, orthogonalité. Enfin, l'exercice 4 (7 points) traite : propriétés algébriques du logarithme, équation avec ln et domaine, dérivée et tangente, loi binomiale et espérance.
En pratique, chronométrez-vous dès le départ, car le temps file vite. Par exemple, l'exercice 1 vaut 7 points, donc il mérite environ 85 minutes. Par ailleurs, une question admise peut toujours servir pour la suite.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2022, Amérique du Nord, jour 2
Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. Puis pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.
Quand vous avez fini, passez à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
Les autres sujets de 2022
- France, jour 1
- France, jour 2
- Amérique du Nord, jour 1
- Centres étrangers, jour 1
- Centres étrangers, jour 2
- Liban, jour 1
- Liban, jour 2
- France, septembre, jour 1
- France, septembre, jour 2
Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.
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