Sujet du bac de maths 2022 : Centres étrangers, jour 2
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Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2022
Centres étrangers (Arabie saoudite, Bahreïn, Chypre, Éthiopie, Grèce, Israël, Jordanie, Koweït, Qatar, Roumanie et Turquie) — Sujet 2 — 12 mai 2022
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.
Exercice 1 (sujet de bac 2022, Centres étrangers, jour 2) 7 points
Thème : Fonction exponentielle
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x}\]
Par ailleurs, on suppose que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f'\) sa fonction dérivée.
| a. \(f'(x) = \text{e}^{-x}\) | b. \(f'(x) = x\text{e}^{-x}\) |
| c. \(f'(x) = (1-x)\text{e}^{-x}\) | d. \(f'(x) = (1+x)\text{e}^{-x}\) |
2. Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle \([-3~;~1]\). En outre, on donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde \(f''\).
![Courbe de la dérivée seconde f'' sur l'intervalle [-3 ; 1] : elle s'annule en -3, -1 et 1, est positive sur [-3 ; -1] avec un maximum proche de 3 vers x = -2, puis négative sur [-1 ; 1] avec un minimum proche de -3 vers x = 0](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/2026/09/bac-2022-centres-etrangers-j2-ex1-q2-fsec.webp)
Ensuite, on peut alors affirmer que :
| a. La fonction \(f\) est convexe sur l'intervalle \([-1~;~1]\) | b. La fonction \(f\) est concave sur l'intervalle \([-2~;~0]\) |
| c. La fonction \(f'\) est décroissante sur l'intervalle \([-2~;~0]\) | d. La fonction \(f'\) admet un maximum en \(x = -1\) |
3. Désormais, on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x) = x^3\text{e}^{-x^2}\]
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\),
| a. \(F(x) = -\dfrac{1}{6}\left(x^3+1\right)\text{e}^{-x^2}\) | b. \(F(x) = -\dfrac{1}{4}x^4\text{e}^{-x^2}\) |
| c. \(F(x) = -\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)\text{e}^{-x^2}\) | d. \(F(x) = x^2\left(3-2x^2\right)\text{e}^{-x^2}\) |
4. Que vaut :
\[\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}\]
| a. \(-1\) | b. \(1\) |
| c. \(+\infty\) | d. n'existe pas |
5. Ensuite, on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \text{e}^{2x+1}\).
La seule primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) telle que \(F(0) = 1\) est la fonction :
| a. \(x \longmapsto 2\text{e}^{2x+1} - 2\text{e} + 1\) | b. \(x \longmapsto 2\text{e}^{2x+1} - \text{e}\) |
| c. \(x \longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1} - \dfrac{1}{2}\text{e} + 1\) | d. \(x \longmapsto \text{e}^{x^2+x}\) |
6. Dans un repère, on a tracé ci-dessous la courbe représentative d'une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur \([-2~;~4]\).
![Courbe d'une fonction f sur [-2 ; 4] : elle croît jusqu'au point (0 ; 1), décroît jusqu'à un minimum d'environ 0,5 en x = 2, puis croît fortement](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/2026/09/bac-2022-centres-etrangers-j2-ex1-q6-courbe-f.webp)
Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction \(f''\), dérivée seconde de \(f\) ?
Exercice 2 (sujet de bac 2022, Centres étrangers, jour 2) 7 points
Thèmes : Fonction logarithme et suite
Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par
\[f(x) = x\ln(x) + 1\]
Puis on note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère du plan.
1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(0\) ainsi que sa limite en \(+\infty\).
2. a. Par ailleurs, on admet que \(f\) est dérivable sur \(]0~;~+\infty[\) et on notera \(f'\) sa fonction dérivée.
Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif :
\[f'(x) = 1 + \ln(x).\]
b. En déduire le tableau de variation de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\). Par ailleurs, on y fera figurer la valeur exacte de l'extremum de \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\) et les limites.
c. Justifier que pour tout \(x \in ]0~;~1[\), \(f(x) \in ]0~;~1[\).
3. a. Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse 1.
b. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).
c. En déduire que pour tout réel \(x\) strictement positif :
\[f(x) \geqslant x\]
4. Puis on définit la suite \(\left(u_n\right)\) par son premier terme \(u_0\) élément de l'intervalle \(]0~;~1[\) et pour tout entier naturel \(n\) :
\[u_{n+1} = f\left(u_n\right)\]
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(0 \lt u_n \lt 1\).
b. Déduire de la question 3. c. la croissance de la suite \(\left(u_n\right)\).
Question 4 c
c. En déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.
Exercice 3 7 points
Thème : Géométrie dans l'espace
L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\).
Désormais, on considère les points
\[\text{A}(3~;~-2~;~2),\quad \text{B}(6~;~1~;~5),\quad \text{C}(6~;~-2~;~-1)\quad \text{et D}(0~;~4~;~-1).\]
Par ailleurs, on rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule :
\[V = \dfrac{1}{3}\mathcal{A} \times h\]
où \(\mathcal{A}\) est l'aire de la base et \(h\) la hauteur correspondante.
1. Démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
b. Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).
c. En déduire le volume du tétraèdre ABCD.
3. Puis on considère le point H(5 ; 0 ; 1).
a. Montrer qu'il existe des réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\overrightarrow{\text{BH}} = \alpha\overrightarrow{\text{BC}} + \beta\overrightarrow{\text{BD}}\).
b. Démontrer que H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).
c. En déduire la distance du point A au plan (BCD).
4. Déduire des questions précédentes l'aire du triangle BCD.
Exercice 4 7 points
Thème : Probabilités
Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.
Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.
Ensuite, on établit la règle de jeu suivante :
- un joueur perd 9 euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche ;
- un joueur perd 1 euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire ;
- un joueur gagne 5 euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.
1. Ensuite, on considère que l'urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs.
a. Modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
b. Calculer la probabilité de perdre 9 € sur une partie.
2. Puis on considère maintenant que l'urne contient 3 jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. Désormais, on appellera \(N\) le nombre de jetons noirs.
a. Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.
Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
b. Résoudre l'inéquation pour \(x\) réel :
\[-x^2 + 30x - 81 \gt 0\]
c. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l'urne doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.
d. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d'obtenir un gain moyen maximal ?
3. Ensuite, on observe 10 joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. En outre, on suppose que 7 jetons noirs ont été placés dans l'urne (avec 3 jetons blancs).
Quelle est la probabilité d'avoir au moins 1 joueur gagnant 5 euros ?
Présentation du sujet de bac 2022, Centres étrangers, jour 2
Le sujet de bac 2022, Centres étrangers, jour 2 du 12 mai 2022 compte quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (7 points) aborde : qCM : dérivée d'un quotient, convexité et dérivée seconde, primitives, limite d'un quotient d'exponentielles. Ensuite, l'exercice 2 (7 points) traite : fonction : limites, variations, tangente, convexité ; suite récurrente, récurrence, convergence monotone. Puis, l'exercice 3 (7 points) porte sur : géométrie dans l'espace : coplanarité, produit scalaire, droite orthogonale à un plan, projeté orthogonal, volume du tétraèdre. Enfin, l'exercice 4 (7 points) aborde : probabilités : arbre pondéré, tirages avec remise, loi d'une variable aléatoire, espérance, second degré, loi binomiale.
Pour gérer le temps, lisez d'abord l'énoncé en entier, puis commencez par l'exercice qui vous inspire le plus. Ensuite, visez environ 85 minutes pour l'exercice 1, le plus lourd du sujet. Enfin, ne restez jamais bloqué plus de dix minutes sur une question : admettez-la et passez à la suite.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2022, Centres étrangers, jour 2
Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. En probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.
Une fois l'épreuve terminée, comparez vos réponses avec la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
Les autres sujets de 2022
- France, jour 1
- France, jour 2
- Amérique du Nord, jour 1
- Amérique du Nord, jour 2
- Centres étrangers, jour 1
- Liban, jour 1
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- France, septembre, jour 1
- France, septembre, jour 2
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