Sujet du bac de maths 2022 : Liban, jour 2
Entraînez-vous en temps limité, puis comparez avec la correction complète. Toutes les annales depuis 2020 sont listées sur notre page consacrée au bac de maths.
Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2022
Centres étrangers groupe 1 (Liban, Madagascar…) — Sujet 2 — 19 mai 2022
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points). À Madagascar, chaque exercice est noté sur 6 points ; la clarté et la précision de l'argumentation ainsi que la qualité de la rédaction sont notées sur 2 points.
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.
Sujet commun à l'Afrique du Sud, la Bulgarie, les Comores, Djibouti, le Kenya, le Liban, la Lituanie, Madagascar, le Mozambique et l'Ukraine.
Exercice 1 (sujet de bac 2022, Liban, jour 2) 6 points
Thème : Probabilités
Les résultats seront arrondis si besoin à \( 10^{-4} \) près.
Une étude statistique réalisée dans une entreprise fournit les informations suivantes :
- 48 % des salariés sont des femmes. Parmi elles, 16,5 % exercent une profession de cadre ;
- 52 % des salariés sont des hommes. Parmi eux, 21,5 % exercent une profession de cadre.
Désormais, on choisit une personne au hasard parmi les salariés. Ensuite, on considère les évènements suivants :
- \( F \) : « la personne choisie est une femme » ;
- \( C \) : « la personne choisie exerce une profession de cadre ».
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre.
3. a. Démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à \( 0{,}191 \).
b. Les évènements \( F \) et \( C \) sont-ils indépendants ? Justifier.
4. Calculer la probabilité de \( F \) sachant \( C \), notée \( P_C(F) \). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Puis on choisit au hasard un échantillon de 15 salariés. Le grand nombre de salariés dans l'entreprise permet d'assimiler ce choix à un tirage avec remise.
Désormais, on note \( X \) la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l'échantillon de 15 salariés.
Par ailleurs, on rappelle que la probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit un cadre est égale à \( 0{,}191 \).
a. Justifier que \( X \) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Question 5 b
b. Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au plus 1 cadre.
c. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire \( X \).
6. Soit \( n \) un entier naturel.
Puis on considère dans cette question un échantillon de \( n \) salariés.
Quelle doit être la valeur minimale de \( n \) pour que la probabilité qu'il y ait au moins un cadre au sein de l'échantillon soit supérieure ou égale à \( 0{,}99 \) ?
Exercice 2 (sujet de bac 2022, Liban, jour 2) 6 points
Thème : Géométrie dans l'espace
Désormais, on considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.
Par ailleurs, on munit l'espace du repère orthonormé \( \left(\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}}\right) \).
1. a. Justifier que les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires.
b. Justifier que la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH).
c. En déduire que la droite (ED) est orthogonale au plan (AGH).
2. Donner les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{\text{ED}} \).
Déduire de la question 1. c. qu'une équation cartésienne du plan (AGH) est :
\[ y - z = 0. \]
3. Puis on désigne par L le point de coordonnées \( \left(\dfrac{2}{3}\,;\,1\,;\,0\right) \).
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EL).
b. Déterminer l'intersection de la droite (EL) et du plan (AGH).
c. Démontrer que le projeté orthogonal du point L sur le plan (AGH) est le point K de coordonnées \( \left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right) \).
d. Montrer que la distance du point L au plan (AGH) est égale à \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \).
e. Déterminer le volume du tétraèdre LAGH.
En outre, on rappelle que le volume \( V \) d'un tétraèdre est donné par la formule :
\[ V = \dfrac{1}{3} \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}. \]
Exercice 3 (sujet de bac 2022, Liban, jour 2) 6 points
Thème : Fonctions ; Suites
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
1. Soit \( g \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( g(x) = x^{1000} + x \).
Ensuite, on peut affirmer que :
a. la fonction \( g \) est concave sur \( \mathbb{R} \).
b. la fonction \( g \) est convexe sur \( \mathbb{R} \).
c. la fonction \( g \) possède exactement un point d'inflexion.
d. la fonction \( g \) possède exactement deux points d'inflexion.
2. Puis on considère une fonction \( f \) définie et dérivable sur \( \mathbb{R} \).
Désormais, on note \( f' \) sa fonction dérivée. Ensuite, on note \( \mathcal{C} \) la courbe représentative de \( f \). Puis on note \( \Gamma \) la courbe représentative de \( f' \). En outre, on a tracé ci-contre la courbe \( \Gamma \).
Ensuite, on note \( T \) la tangente à la courbe \( \mathcal{C} \) au point d'abscisse 0.
Par ailleurs, on peut affirmer que la tangente \( T \) est parallèle à la droite d'équation :
| a. \( y = x \) | b. \( y = 0 \) |
| c. \( y = 1 \) | d. \( x = 0 \) |
Question 3
3. Désormais, on considère la suite \( (u_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par \( u_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1} \).
Par ailleurs, on peut affirmer que la suite \( (u_n) \) est :
| a. majorée et non minorée. | b. minorée et non majorée. |
| c. bornée. | d. non majorée et non minorée. |
4. Soit \( k \) un nombre réel non nul.
Soit \( (v_n) \) une suite définie pour tout entier naturel \( n \).
Par ailleurs, on suppose que \( v_0 = k \) et que pour tout \( n \), on a \( v_n \times v_{n+1} \lt 0 \).
Par ailleurs, on peut affirmer que \( v_{10} \) est :
| a. positif. | b. négatif. |
| c. du signe de \( k \). | d. du signe de \( -k \). |
5. Ensuite, on considère la suite \( (w_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par :
\[ w_{n+1} = 2w_n - 4 \quad \text{et} \quad w_2 = 8. \]
Par ailleurs, on peut affirmer que :
| a. \( w_0 = 0 \) | b. \( w_0 = 5 \). |
| c. \( w_0 = 10 \). | d. Il n'est pas possible de calculer \( w_0 \). |
6. (Cette question ne fait pas partie du sujet donné à Madagascar.) On considère la suite \( (a_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par :
\[ a_{n+1} = \dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n + 1}\,a_n \quad \text{et} \quad a_0 = 1. \]
Ensuite, on peut affirmer que :
| a. la suite \( (a_n) \) est strictement croissante. | b. la suite \( (a_n) \) est strictement décroissante. |
| c. la suite \( (a_n) \) n'est pas monotone. | d. la suite \( (a_n) \) est constante. |
7. Une cellule se reproduit en se divisant en deux cellules identiques, qui se divisent à leur tour, et ainsi de suite.
Ensuite, on appelle temps de génération le temps nécessaire pour qu'une cellule donnée se divise en deux cellules.
Par ailleurs, on a mis en culture 1 cellule. Au bout de 4 heures, il y a environ 4 000 cellules.
Par ailleurs, on peut affirmer que le temps de génération est environ égal à :
| a. moins d'une minute. | b. 12 minutes. |
| c. 20 minutes. | d. 1 heure. |
Exercice 4 6 points
Thème : Fonctions, Fonction exponentielle, Fonction logarithme ; Suites
Partie A
On considère la fonction \( f \) définie pour tout réel \( x \) de \( ]0\,;\,1] \) par :
\[ f(x) = \text{e}^{-x} + \ln(x). \]
1. Calculer la limite de \( f \) en 0.
2. Par ailleurs, on admet que \( f \) est dérivable sur \( ]0\,;\,1] \). Puis on note \( f' \) sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout réel \( x \) appartenant à \( ]0\,;\,1] \), on a :
\[ f'(x) = \dfrac{1 - x\text{e}^{-x}}{x} \]
3. Justifier que, pour tout réel \( x \) appartenant à \( ]0\,;\,1] \), on a \( x\text{e}^{-x} \lt 1 \).
En déduire le tableau de variation de \( f \) sur \( ]0\,;\,1] \).
4. Démontrer qu'il existe un unique réel \( \ell \) appartenant à \( ]0\,;\,1] \) tel que \( f(\ell) = 0 \).
Partie B
1. On définit deux suites \( (a_n) \) et \( (b_n) \) par :
\[ \left\{\begin{array}{l} a_0 = \dfrac{1}{10} \\ b_0 = 1 \end{array}\right. \quad \text{et, pour tout entier naturel } n, \quad \left\{\begin{array}{l} a_{n+1} = \text{e}^{-b_n} \\ b_{n+1} = \text{e}^{-a_n} \end{array}\right. \]
a. Calculer \( a_1 \) et \( b_1 \). Par ailleurs, on donnera des valeurs approchées à \( 10^{-2} \) près.
b. Ensuite, on considère ci-dessous la fonction termes, écrite en langage Python.
def termes (n) :
a=1/10
b=1
for k in range(0,n) :
c= ...
b = ...
a = c
return(a,b)
Recopier et compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la fonction termes calcule les termes des suites \( (a_n) \) et \( (b_n) \).
2. Par ailleurs, on rappelle que la fonction \( x \longmapsto \text{e}^{-x} \) est décroissante sur \( \mathbb{R} \).
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \( n \), on a :
\[ 0 \lt a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1 \]
b. En déduire que les suites \( (a_n) \) et \( (b_n) \) sont convergentes.
3. Désormais, on note \( A \) la limite de \( (a_n) \) et \( B \) la limite de \( (b_n) \).
Par ailleurs, on admet que \( A \) et \( B \) appartiennent à l'intervalle \( ]0\,;\,1] \), et que \( A = \text{e}^{-B} \) et \( B = \text{e}^{-A} \).
Question 3 a
a. Démontrer que \( f(A) = 0 \).
b. Déterminer \( A - B \).
Présentation du sujet de bac 2022, Liban, jour 2
Le sujet de bac 2022, Liban, jour 2 du 19 mai 2022 réunit quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (6 points) aborde : arbre pondéré, probabilités totales, indépendance, formule de Bayes, loi binomiale, inéquation avec logarithme. Ensuite, l'exercice 2 (6 points) traite : orthogonalité droite-plan, vecteur normal, équation cartésienne, représentation paramétrique, projeté orthogonal, volume d'un tétraèdre. Puis, l'exercice 3 (6 points) porte sur : qCM : convexité, lecture graphique d'une dérivée, suites bornées, signe des termes, suite arithmético-géométrique, monotonie, croissance exponentielle. Enfin, l'exercice 4 (6 points) aborde : limite avec logarithme, dérivée, tableau de variation, théorème des valeurs intermédiaires, suites définies par récurrence croisée, raisonnement par récurrence, convergence monotone.
Pour gérer le temps, lisez d'abord l'énoncé en entier, puis commencez par l'exercice qui vous inspire le plus. Ensuite, visez environ 70 minutes pour l'exercice 1, le plus lourd du sujet. Enfin, ne restez jamais bloqué plus de dix minutes sur une question : admettez-la et passez à la suite.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2022, Liban, jour 2
Dans un exercice de suites, calculez d'abord les premiers termes à la main. Ainsi, vous devinez le sens de variation avant de le démontrer par récurrence. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Pour une question de géométrie dans l'espace, faites un croquis même approximatif. En effet, il aide à voir si un point, une droite ou un plan est bien placé.
Après votre recherche, vérifiez votre copie grâce à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
Les autres sujets de 2022
- France, jour 1
- France, jour 2
- Amérique du Nord, jour 1
- Amérique du Nord, jour 2
- Centres étrangers, jour 1
- Centres étrangers, jour 2
- Liban, jour 1
- France, septembre, jour 1
- France, septembre, jour 2
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