Sujet du bac de maths 2022 : France, jour 2

La solution rédigée question par question se trouve sur la page du corrigé ; gardez-la pour après votre propre recherche. D'autres épreuves attendent sur la page des sujets du bac de maths.

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 (sujet de bac 2022, France, jour 2) 7 points

Thème : probabilités

Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.

Dans l'état d'Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.

Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :

• Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.
• Si le coyote n'est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.

Partie A

Des vétérinaires capturent un coyote d'Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l'ehrlichiose.

Désormais, on considère les évènements suivants :

• \(M\) : « le coyote est malade » ;
• \(T\) : « le test du coyote est positif ».

Ensuite, on note \(\overline{M}\) et \(\overline{T}\) respectivement les évènements contraires de \(M\) et \(T\).

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.

2. Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.

3. Démontrer que la probabilité de \(T\) est égale à \(0{,}694\).

4. Puis on appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.

Calculer la valeur prédictive positive du test. Par ailleurs, en outre, on arrondira le résultat au millième.

5. a. Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test » et calculer cette valeur en arrondissant au millième.

b. Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu'un coyote capturé au hasard présente un test positif est de \(0{,}694\).

1. Lorsqu'on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.

Ensuite, on note \(X\) la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.

a. Quelle est la loi de probabilité suivie par \(X\) ? Puis justifier et préciser ses paramètres.

b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. Ensuite, en outre, on arrondira le résultat au centième.

c. Un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Puis justifier la réponse.

2. Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d'un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux présente un test positif soit supérieure à \(0{,}99\) ?

Exercice 2 (sujet de bac 2022, France, jour 2) 7 points

Thèmes : fonctions numériques et suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. De plus, pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Ensuite, une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). Par ailleurs, la courbe de sa fonction dérivée \(f'\) est donnée ci-dessous.

Par ailleurs, on admet que \(f'\) admet un maximum en \(-\dfrac{3}{2}\) et que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées \(\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,0\right)\).

En outre, on rappelle que la courbe ci-dessous représente la fonction dérivée \(f'\) de \(f\).

Question 1 :

a. Puis, la fonction \(f\) admet un maximum en \(-\dfrac{3}{2}\) ;
b. La fonction \(f\) admet un maximum en \(-\dfrac{1}{2}\) ;
c. La fonction \(f\) admet un minimum en \(-\dfrac{1}{2}\) ;
d. Au point d'abscisse \(-1\), la courbe de la fonction \(f\) admet une tangente horizontale.

Question 2 :

a. La fonction \(f\) est convexe sur \(\left]-\infty\,;\,-\dfrac{3}{2}\right[\) ;
b. La fonction \(f\) est convexe sur \(\left]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[\) ;
c. La courbe \(\mathcal{C}_f\) représentant la fonction \(f\) n'admet pas de point d'inflexion ;
d. La fonction \(f\) est concave sur \(\left]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[\).

Question 3 :

La dérivée seconde \(f''\) de la fonction \(f\) vérifie :

Question 2 a

a. \(f''(x) \geqslant 0\) pour \(x \in \left]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[\) ;
b. \(f''(x) \geqslant 0\) pour \(x \in [-2\,;\,-1]\) ;
c. \(f''\left(-\dfrac{3}{2}\right) = 0\) ;
d. \(f''(-3) = 0\).

Question 4 :

Puis on considère trois suites \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\). Puis en outre, on sait que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n \leqslant v_n \leqslant w_n\) et de plus : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 1\) et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = 3\).

Ensuite, on peut alors affirmer que :

a. la suite \((v_n)\) converge ;
b. Si la suite \((u_n)\) est croissante alors la suite \((v_n)\) est minorée par \(u_0\) ;
c. \(1 \leqslant v_0 \leqslant 3\) ;
d. la suite \((v_n)\) diverge.

Question 5 :

Puis on considère une suite \((u_n)\) telle que, pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{n}\).

Ensuite, on peut alors affirmer que :

a. la suite \((u_n)\) diverge ;
b. la suite \((u_n)\) converge ;
c. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\) ;
d. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 1\).

Question 6 :

Ensuite, on considère \((u_n)\) une suite réelle telle que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(n \lt u_n \lt n+1\).

Ensuite, on peut affirmer que :

a. Il existe un entier naturel \(N\) tel que \(u_N\) est un entier ;
b. la suite \((u_n)\) est croissante ;
c. la suite \((u_n)\) est convergente ;
d. La suite \((u_n)\) n'a pas de limite.

Exercice 3 (sujet de bac 2022, France, jour 2) 7 points

Thème : géométrie dans l'espace

Désormais, on considère un cube ABCDEFGH et on appelle K le milieu du segment [BC].

Ensuite, on se place dans le repère \(\left(\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}}\right)\) et on considère le tétraèdre EFGK.

En outre, on rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par :

\[V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h\]

où \(\mathcal{B}\) désigne l'aire d'une base et \(h\) la hauteur relative à cette base.

1. Préciser les coordonnées des points E, F, G et K.

2. Montrer que le vecteur \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\) est orthogonal au plan (EGK).

3. Démontrer que le plan (EGK) admet pour équation cartésienne : \(2x - 2y + z - 1 = 0\).

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\) orthogonale au plan (EGK) passant par F.

5. Montrer que le projeté orthogonal L de F sur le plan (EGK) a pour coordonnées \(\left(\dfrac{5}{9}\,;\,\dfrac{4}{9}\,;\,\dfrac{7}{9}\right)\).

6. Justifier que la longueur LF est égale à \(\dfrac{2}{3}\).

7. Calculer l'aire du triangle EFG. Ensuite, en déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à \(\dfrac{1}{6}\).

8. Déduire des questions précédentes l'aire du triangle EGK.

9. Désormais, on considère les points P milieu du segment [EG], M milieu du segment [EK] et N milieu du segment [GK]. Puis déterminer le volume du tétraèdre FPMN.

Exercice 4 (sujet de bac 2022, France, jour 2) 7 points

Thèmes : fonctions numériques, fonction exponentielle

Partie A : études de deux fonctions

On considère les deux fonctions \(f\) et \(g\) définies sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x) = 0{,}06\left(-x^2 + 13{,}7x\right) \quad \text{et} \quad g(x) = (-0{,}15x + 2{,}2)\text{e}^{0{,}2x} - 2{,}2.\]

En outre, on admet que les fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables et on note \(f'\) et \(g'\) leurs fonctions dérivées respectives.

1. Par ailleurs, on donne le tableau de variations complet de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\).

a. Justifier la limite de \(f\) en \(+\infty\).

b. Justifier les variations de la fonction \(f\).

c. Résoudre l'équation \(f(x) = 0\).

2. a. Déterminer la limite de \(g\) en \(+\infty\).

b. Démontrer que, pour tout réel \(x\) appartenant à \([0\,;\,+\infty[\) on a : \(g'(x) = (-0{,}03x + 0{,}29)\text{e}^{0{,}2x}\).

c. Étudier les variations de la fonction \(g\) et dresser son tableau de variations sur \([0\,;\,+\infty[\).

Préciser une valeur approchée à \(10^{-2}\) près du maximum de \(g\).

d. Montrer que l'équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution non nulle et déterminer, à \(10^{-2}\) près, une valeur approchée de cette solution.

Partie B : trajectoires d’une balle de golf

Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf.

Par ailleurs, on souhaite exploiter les fonctions \(f\) et \(g\) étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. Par ailleurs, on suppose que le terrain est parfaitement plat.

En outre, on admettra ici que \(13{,}7\) est la valeur qui annule la fonction \(f\) et une approximation de la valeur qui annule la fonction \(g\).

Par ailleurs, on donne ci-dessous les représentations graphiques de \(f\) et \(g\) sur l'intervalle \([0\,;\,13{,}7]\).

Pour \(x\) représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec \(0 \lt x \lt 13{,}7\)), \(f(x)\) (ou \(g(x)\) selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ \(0{,}914\) mètre).

Ensuite, on appelle « angle de décollage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (\(\mathcal{C}_f\) ou \(\mathcal{C}_g\) selon le modèle) en son point d'abscisse \(0\). De plus, une mesure de l'angle de décollage de la balle est un nombre réel \(d\) tel que \(\tan(d)\) est égal au coefficient directeur de cette tangente.

De même, on appelle « angle d'atterrissage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (\(\mathcal{C}_f\) ou \(\mathcal{C}_g\) selon le modèle) en son point d'abscisse \(13{,}7\). Ensuite, une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel \(a\) tel que \(\tan(a)\) est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.

Tous les angles sont mesurés en degré.

Le schéma illustre les angles de décollage et d'atterrissage associés à la courbe \(\mathcal{C}_f\) :

Le schéma illustre les angles de décollage et d'atterrissage associés à la courbe \(\mathcal{C}_g\) :

Question 1

1. Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, \(x\) représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et \(f(x)\) la hauteur correspondante de la balle.

Selon ce modèle :

a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?

b. Vérifier que \(f'(0) = 0{,}822\).

c. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).

d. Quelle propriété graphique de la courbe \(\mathcal{C}_f\) permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux ?

2. Seconde modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, \(x\) représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et \(g(x)\) la hauteur correspondante de la balle.

Selon ce modèle :

a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?

Par ailleurs, on précise que \(g'(0) = 0{,}29\) et \(g'(13{,}7) \approx -1{,}87\).

b. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).

c. Justifier que \(62\) est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.

Question 1 (suite)

Tableau : extrait d'une feuille de calcul donnant une mesure en degré d'un angle quand on connait sa tangente :

Partie C : interrogation des modèles

À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants :

Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? Par ailleurs, la réponse sera justifiée.

Voir le corrigé détaillé : bac de maths 2022, France, jour 2

Présentation du sujet de bac 2022, France, jour 2

Le sujet de bac 2022, France, jour 2 du 12 mai 2022 réunit quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (7 points) traite : arbre pondéré, probabilités totales, probabilités conditionnelles, loi binomiale, logarithme. Ensuite, l'exercice 2 (7 points) porte sur : lecture graphique d'une dérivée, variations, convexité, point d'inflexion, suites minorées et majorées, convergence monotone. Puis, l'exercice 3 (7 points) aborde : coordonnées dans un cube, vecteur normal, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal, volumes de tétraèdres. Enfin, l'exercice 4 (7 points) traite : fonction polynôme du second degré, fonction exponentielle, dérivée d'un produit, théorème des valeurs intermédiaires, nombre dérivé et tangente, modélisation.

Pour gérer le temps, lisez d'abord l'énoncé en entier, puis commencez par l'exercice qui vous inspire le plus. Ensuite, visez environ 85 minutes pour l'exercice 1, le plus lourd du sujet. Enfin, ne restez jamais bloqué plus de dix minutes sur une question : admettez-la et passez à la suite.

Méthodes utiles pour le sujet de bac 2022, France, jour 2

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Puis en probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.

Une fois l'épreuve terminée, comparez vos réponses avec la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.

Les autres sujets de 2022

• France, jour 1
• Amérique du Nord, jour 1
• Amérique du Nord, jour 2
• Centres étrangers, jour 1
• Centres étrangers, jour 2
• Liban, jour 1
• Liban, jour 2
• France, septembre, jour 1
• France, septembre, jour 2

Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.

Télécharger ou imprimer cette fiche «sujet du bac de maths 2022 : France, jour 2» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

 Maths PDF c'est 16 200 914 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.