Corrigé du bac de maths 2026 : Amérique du Nord, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2026, Amérique du Nord, jour 2) 4 points

Arbre pondéré, probabilités totales et conditionnelles, loi binomiale, espérance et variance d'une fréquence, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Partie A

1. Compléter l'arbre pondéré.

Ensuite, on traduit l'énoncé : 60 % des tomates viennent de A, donc \(P(A) = 0{,}6\) et, puisque B est l'évènement contraire, \(P(B) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\). Parmi les tomates de A, 95 % sont commercialisables : \(P_A(C) = 0{,}95\), d'où \(P_A(\overline{C}) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05\). Les branches issues de B ne sont pas demandées (elles font l'objet de la question 2. b.).

• Branche vers \(A\) : \(0{,}6\)
  • de \(A\) vers \(C\) : \(0{,}95\)
  • de \(A\) vers \(\overline{C}\) : \(0{,}05\)
• Branche vers \(B\) : \(0{,}4\)
  • de \(B\) vers \(C\) et vers \(\overline{C}\) : pas de pointillés à compléter

En conclusion : \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}4\), \(P_A(C) = 0{,}95\) et \(P_A(\overline{C}) = 0{,}05\).

2. a) Probabilité que la tomate soit commercialisable et vienne de A.

Alors, on cherche la probabilité de l'intersection \(A \cap C\). Ensuite, on suit le chemin « A puis C » de l'arbre en multipliant les probabilités rencontrées :

\[P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C) = 0{,}6 \times 0{,}95 = 0{,}57.\]

En conclusion : \(P(A \cap C) = 0{,}57\).

b) Montrer que \(P_B(C) = 0{,}85\).

Les évènements \(A\) et \(B\) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales s'écrit donc \(P(C) = P(A \cap C) + P(B \cap C)\). L'énoncé donne \(P(C) = 0{,}91\), on en tire :

\[P(B \cap C) = 0{,}91 - 0{,}57 = 0{,}34.\]

Par définition d'une probabilité conditionnelle :

\[P_B(C) = \dfrac{P(B \cap C)}{P(B)} = \dfrac{0{,}34}{0{,}4} = 0{,}85.\]

En conclusion : \(P_B(C) = 0{,}85\).

Question 2 c

c) Sachant la tomate non commercialisable, est-elle deux fois moins souvent issue de A que de B ?

Il faut comparer \(P_{\overline{C}}(A)\) et \(P_{\overline{C}}(B)\). Par ailleurs, on commence par les intersections :

\(P(A \cap \overline{C}) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03\) et \(P(B \cap \overline{C}) = P(B) \times P_B(\overline{C}) = 0{,}4 \times (1 - 0{,}85) = 0{,}4 \times 0{,}15 = 0{,}06\).

Alors, on vérifie au passage que leur somme vaut \(P(\overline{C}) = 1 - 0{,}91 = 0{,}09\). Ensuite :

\[P_{\overline{C}}(A) = \dfrac{0{,}03}{0{,}09} = \dfrac{1}{3} \quad \text{et} \quad P_{\overline{C}}(B) = \dfrac{0{,}06}{0{,}09} = \dfrac{2}{3}.\]

Donc on a bien \(P_{\overline{C}}(A) = \dfrac{1}{2} \times P_{\overline{C}}(B)\) : une tomate abîmée a deux fois moins de chances de venir de A que de B.

En conclusion : \(P_{\overline{C}}(A) = \dfrac{1}{3}\) et \(P_{\overline{C}}(B) = \dfrac{2}{3}\), le responsable des achats a raison.

Partie B

1. a) Paramètres de la loi binomiale de \(X\).

Ensuite, on répète 15 fois, de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), la même épreuve de Bernoulli dont le succès est « la tomate n'est pas commercialisable », de probabilité \(0{,}09\). \(X\) compte les succès.

En conclusion : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 15\) et \(p = 0{,}09\).

b) Probabilité d'exactement deux tomates non commercialisables.

Alors, on applique la formule de la loi binomiale :

\[P(X = 2) = \binom{15}{2} \times 0{,}09^2 \times 0{,}91^{13} = 105 \times 0{,}0081 \times 0{,}91^{13} \approx 0{,}2496.\]

En conclusion : \(P(X = 2) \approx 0{,}250\).

c) Probabilité d'au plus deux tomates non commercialisables.

« Au plus deux » signifie \(X \leqslant 2\), c'est-à-dire \(X = 0\), \(X = 1\) ou \(X = 2\). La calculatrice (fonction de répartition binomiale) donne directement la somme, qu'on peut détailler : \(P(X = 0) \approx 0{,}2430\), \(P(X = 1) \approx 0{,}3605\) et \(P(X = 2) \approx 0{,}2496\).

En conclusion : \(P(X \leqslant 2) \approx 0{,}853\).

2. a) Espérance et variance de \(F_n\).

Pour une loi binomiale \(\mathcal{B}(n ; p)\), on sait que \(E(X_n) = np\) et \(V(X_n) = np(1-p)\). Ici \(E(X_n) = 0{,}09n\) et \(V(X_n) = n \times 0{,}09 \times 0{,}91 = 0{,}0819n\).

Comme \(F_n = \dfrac{1}{n} X_n\), la linéarité de l'espérance donne \(E(F_n) = \dfrac{1}{n} E(X_n)\), et la variance est multipliée par le carré du coefficient : \(V(F_n) = \dfrac{1}{n^2} V(X_n)\).

\[E(F_n) = \dfrac{0{,}09n}{n} = 0{,}09 \qquad V(F_n) = \dfrac{0{,}0819n}{n^2} = \dfrac{0{,}0819}{n}.\]

En conclusion : \(E(F_n) = 0{,}09\) et \(V(F_n) = \dfrac{0{,}0819}{n}\).

Question 2 b

b) Démontrer \(P(0{,}04 \lt F_n \lt 0{,}14) \geqslant 1 - \frac{32{,}76}{n}\).

L'intervalle \(]0{,}04 ; 0{,}14[\) est centré sur l'espérance \(0{,}09\), de demi-largeur \(0{,}05\). Donc :

\[0{,}04 \lt F_n \lt 0{,}14 \iff \left|F_n - 0{,}09\right| \lt 0{,}05.\]

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à \(F_n\) avec \(\delta = 0{,}05\), affirme que :

\[P\left(\left|F_n - 0{,}09\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant \dfrac{V(F_n)}{0{,}05^2} = \dfrac{0{,}0819}{0{,}0025\,n} = \dfrac{32{,}76}{n}.\]

Ensuite, on passe à l'évènement contraire : \(P\left(\left|F_n - 0{,}09\right| \lt 0{,}05\right) = 1 - P\left(\left|F_n - 0{,}09\right| \geqslant 0{,}05\right) \geqslant 1 - \dfrac{32{,}76}{n}\).

En conclusion : pour tout entier \(n \geqslant 1\), \(P(0{,}04 \lt F_n \lt 0{,}14) \geqslant 1 - \dfrac{32{,}76}{n}\).

c) 55 tomates abîmées sur 500 : est-ce conforme ?

Avec \(n = 500\), la minoration précédente vaut \(1 - \dfrac{32{,}76}{500} = 1 - 0{,}06552 = 0{,}93448\). Ainsi, dans plus de 93 % des échantillons de 500 tomates, la fréquence de tomates non commercialisables est strictement comprise entre 0,04 et 0,14.

La fréquence observée est \(f = \dfrac{55}{500} = 0{,}11\), qui appartient bien à \(]0{,}04 ; 0{,}14[\). Rien ne permet donc de soupçonner une anomalie.

En conclusion : la fréquence observée \(0{,}11\) est dans l'intervalle attendu avec une probabilité d'au moins \(0{,}934\) ; le résultat est conforme.

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2026, Amérique du Nord, jour 2) 6 points

Dérivée d'un quotient avec racine carrée, raisonnement par récurrence, théorème de la limite monotone, suite géométrique auxiliaire, algorithme Python, théorème des gendarmes

Partie A

1. Résoudre \(f(x) = x\).

Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{1+x^2} \gt 0\), donc l'équation équivaut à \(2x = x\sqrt{1+x^2}\), soit \(x\left(2 - \sqrt{1+x^2}\right) = 0\).

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est :

• soit \(x = 0\) ;
• soit \(\sqrt{1+x^2} = 2\), ce qui, les deux membres étant positifs, équivaut à \(1 + x^2 = 4\), c'est-à-dire \(x^2 = 3\), donc \(x = \sqrt{3}\) ou \(x = -\sqrt{3}\).

En conclusion : l'ensemble des solutions est \(\left\{-\sqrt{3} ; 0 ; \sqrt{3}\right\}\).

2. a) Vérifier l'expression de \(f'(x)\).

Par ailleurs, on écrit \(f = \dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = 2x\), \(u'(x) = 2\), et \(v(x) = \sqrt{1+x^2}\). La dérivée de \(\sqrt{w}\) étant \(\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}\), on obtient \(v'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\).

Avec \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) :

\[f'(x) = \dfrac{2\sqrt{1+x^2} - \dfrac{2x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}.\]

Ensuite, on réduit le numérateur au même dénominateur \(\sqrt{1+x^2}\) : il vaut \(\dfrac{2(1+x^2) - 2x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}}\). Il reste :

\[f'(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}.\]

En conclusion : pour tout réel \(x\), \(f'(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\).

b) Sens de variation de \(f\).

Le numérateur 2 est strictement positif, et le dénominateur est le produit de \(1 + x^2 \gt 0\) et d'une racine carrée strictement positive. Donc \(f'(x) \gt 0\) pour tout réel \(x\).

En conclusion : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Partie B

1. Récurrence : \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \lt \sqrt{3}\).

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \lt \sqrt{3}\) ».

Initialisation. \(u_0 = 1\) et \(u_1 = f(1) = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}414\). Comme \(1 \leqslant 1 \leqslant \sqrt{2} \lt \sqrt{3}\), la propriété \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie : \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \lt \sqrt{3}\). La fonction \(f\) étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle conserve l'ordre (et l'inégalité stricte) :

\[f(1) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \lt f\left(\sqrt{3}\right).\]

Or \(f(1) = \sqrt{2}\), \(f(u_n) = u_{n+1}\), \(f(u_{n+1}) = u_{n+2}\) et \(f\left(\sqrt{3}\right) = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \sqrt{3}\) (d'après la question A. 1). Donc on obtient \(\sqrt{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \lt \sqrt{3}\), et puisque \(1 \lt \sqrt{2}\), la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).

En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \lt \sqrt{3}\).

2. Convergence et limite de \((u_n)\).

La question précédente montre que \((u_n)\) est croissante (\(u_n \leqslant u_{n+1}\)) et majorée par \(\sqrt{3}\). D'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel \(\ell\).

En passant à la limite dans l'encadrement \(1 \leqslant u_n \leqslant \sqrt{3}\), on obtient \(1 \leqslant \ell \leqslant \sqrt{3}\).

La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (car dérivable) et \(u_{n+1} = f(u_n)\) ; en faisant tendre \(n\) vers \(+\infty\) des deux côtés, on obtient \(\ell = f(\ell)\). D'après la question A. 1, \(\ell\) vaut \(-\sqrt{3}\), 0 ou \(\sqrt{3}\) ; la seule valeur compatible avec \(\ell \geqslant 1\) est \(\sqrt{3}\).

En conclusion : la suite \((u_n)\) converge vers \(\sqrt{3}\).

Question 3 a

3. a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison 4.

Ensuite, on exprime d'abord \(u_{n+1}^2\) en fonction de \(u_n\) : \(u_{n+1}^2 = \left(\dfrac{2u_n}{\sqrt{1+u_n^2}}\right)^2 = \dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2}\).

Alors, on calcule alors le dénominateur de \(v_{n+1}\) :

\[3 - u_{n+1}^2 = \dfrac{3(1+u_n^2) - 4u_n^2}{1+u_n^2} = \dfrac{3 - u_n^2}{1+u_n^2}.\]

Par quotient, les facteurs \(1 + u_n^2\) se simplifient :

\[v_{n+1} = \dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2} \times \dfrac{1+u_n^2}{3 - u_n^2} = 4 \times \dfrac{u_n^2}{3 - u_n^2} = 4v_n.\]

Le premier terme vaut \(v_0 = \dfrac{1^2}{3 - 1^2} = \dfrac{1}{2}\).

En conclusion : \((v_n)\) est géométrique de raison 4 et de premier terme \(v_0 = 0{,}5\).

b) Expression de \(v_n\), puis de \(u_n\).

Pour une suite géométrique, \(v_n = v_0 \times q^n\), donc \(v_n = 0{,}5 \times 4^n\).

Ensuite, on inverse ensuite la relation \(v_n = \dfrac{u_n^2}{3 - u_n^2}\). En multipliant par \(3 - u_n^2\) (non nul, car \(u_n \lt \sqrt{3}\)) : \(3v_n - v_n u_n^2 = u_n^2\), donc \(3v_n = u_n^2(1 + v_n)\) et, comme \(1 + v_n \gt 0\) :

\[u_n^2 = \dfrac{3v_n}{1 + v_n} = \dfrac{3 \times 0{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n} = \dfrac{1{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n}.\]

Comme \(u_n \geqslant 1 \gt 0\), \(u_n\) est la racine carrée positive de ce quotient.

En conclusion : \(v_n = 0{,}5 \times 4^n\) et \(u_n = \sqrt{\dfrac{1{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n}}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Question 3 c

c) Limite de \((u_n)\) grâce à la formule.

Par ailleurs, on lève la forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\) en divisant numérateur et dénominateur par \(4^n\) :

\[\dfrac{1{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n} = \dfrac{1{,}5}{\left(\frac{1}{4}\right)^n + 0{,}5}.\]

Comme \(0 \lt \frac{1}{4} \lt 1\), \(\left(\frac{1}{4}\right)^n\) tend vers 0, donc ce quotient tend vers \(\dfrac{1{,}5}{0{,}5} = 3\). La fonction racine carrée étant continue en 3, \(u_n\) tend vers \(\sqrt{3}\), ce qui confirme la question 2.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{3}\).

Partie C

1. Compléter le script Python.

La variable u part de \(u_0 = 1\). À chaque passage dans la boucle, on ajoute d'abord le carré du terme courant à S, puis on calcule le terme suivant avec \(u_{i+1} = f(u_i)\), et on range la somme dans la liste. Au passage d'indice \(i\), S contient \(u_0^2 + \ldots + u_i^2 = S_{i+1}\) : la liste renvoyée est donc \([S_1, S_2, \ldots, S_p]\).

from math import*

def termes(p) :
    u = 1
    S=0
    L= [ ]
    for i in range(p) :
        S=S+u**2
        u= 2*u/sqrt(1+u**2)
        L.append(S)
    return L

En conclusion : on complète par u = 1, S=S+u**2 et u= 2*u/sqrt(1+u**2) (l'ordre des deux dernières lignes compte).

2. Montrer que \(n \leqslant S_n \leqslant 3n\).

Pour tout entier \(k\), les nombres \(1\), \(u_k\) et \(\sqrt{3}\) sont positifs et la fonction carré est croissante sur \([0 ; +\infty[\), donc \(1 \leqslant u_k \leqslant \sqrt{3}\) entraîne \(1 \leqslant u_k^2 \leqslant 3\).

Ensuite, on additionne ces \(n\) encadrements pour \(k\) allant de 0 à \(n - 1\) :

\[\underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{n \text{ termes}} \leqslant u_0^2 + \ldots + u_{n-1}^2 \leqslant \underbrace{3 + 3 + \ldots + 3}_{n \text{ termes}}.\]

En conclusion : pour tout entier \(n \geqslant 1\), \(n \leqslant S_n \leqslant 3n\).

3. Limites de \(S_n\) et de \(\frac{S_n}{n^2}\).

Donc on a \(S_n \geqslant n\) et \(n\) tend vers \(+\infty\) ; par comparaison, \(S_n\) tend vers \(+\infty\).

En divisant l'encadrement par \(n^2 \gt 0\) : \(\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{S_n}{n^2} \leqslant \dfrac{3}{n}\). Les deux bornes tendent vers 0, donc d'après le théorème des gendarmes, \(\dfrac{S_n}{n^2}\) tend vers 0.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{S_n}{n^2} = 0\).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2026, Amérique du Nord, jour 2) 5 points

Représentation paramétrique d'une droite, équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal, produit scalaire, volume d'un tétraèdre, distance d'un point à un plan

1. C est sur \(\Delta\), A n'y est pas.

Pour \(t = 0\), la représentation paramétrique donne \((1 ; 1 ; 1)\) : ce sont les coordonnées de C, donc \(\text{C} \in \Delta\).

Pour A(4 ; 2 ; 2), il faudrait un même réel \(t\) avec \(1 + 2t = 4\) et \(1 + t = 2\). La première égalité donne \(t = 1{,}5\), la deuxième \(t = 1\) : c'est impossible.

En conclusion : \(\text{C} \in \Delta\) et \(\text{A} \notin \Delta\).

2. a) Équation cartésienne de \(\mathcal{P}\).

Ensuite, on lit sur la représentation paramétrique un vecteur directeur de \(\Delta\) : \(\vec{u}(2 ; 1 ; 2)\). Le plan \(\mathcal{P}\) étant perpendiculaire à \(\Delta\), \(\vec{u}\) est un vecteur normal à \(\mathcal{P}\), qui admet donc une équation de la forme \(2x + y + 2z + d = 0\).

Le point A appartient à \(\mathcal{P}\) : \(2 \times 4 + 2 + 2 \times 2 + d = 0\), soit \(14 + d = 0\), donc \(d = -14\).

En conclusion : \(\mathcal{P} : 2x + y + 2z - 14 = 0\).

b) B est dans \(\mathcal{P}\), C n'y est pas.

Pour B(5 ; −2 ; 3) : \(2 \times 5 + (-2) + 2 \times 3 - 14 = 10 - 2 + 6 - 14 = 0\), donc \(\text{B} \in \mathcal{P}\).

Pour C(1 ; 1 ; 1) : \(2 + 1 + 2 - 14 = -9 \neq 0\), donc \(\text{C} \notin \mathcal{P}\).

En conclusion : \(\text{B} \in \mathcal{P}\) et \(\text{C} \notin \mathcal{P}\).

Question 3 a

3. a) D est le projeté orthogonal de C sur \(\mathcal{P}\).

Il suffit de vérifier deux choses : D est dans \(\mathcal{P}\), et la droite (CD) est orthogonale à \(\mathcal{P}\).

• \(2 \times 3 + 2 + 2 \times 3 - 14 = 0\), donc \(\text{D} \in \mathcal{P}\).
• \(\overrightarrow{\text{CD}}(2 ; 1 ; 2) = \vec{u}\) : le vecteur \(\overrightarrow{\text{CD}}\) est normal à \(\mathcal{P}\). (D est d'ailleurs le point de \(\Delta\) de paramètre \(t = 1\).)

En conclusion : D est le projeté orthogonal de C sur \(\mathcal{P}\).

b) A, B, C, D ne sont pas coplanaires.

Les points A, B et D sont dans \(\mathcal{P}\). Ils ne sont pas alignés : \(\overrightarrow{\text{AB}}(1 ; -4 ; 1)\) et \(\overrightarrow{\text{AD}}(-1 ; 0 ; 1)\) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\overrightarrow{\text{AD}}\) est nulle, pas celle de \(\overrightarrow{\text{AB}}\)). Le seul plan contenant A, B et D est donc \(\mathcal{P}\). Comme C n'est pas dans \(\mathcal{P}\), aucun plan ne contient les quatre points.

En conclusion : A, B, C et D ne sont pas coplanaires ; ABCD est un vrai tétraèdre.

c) Produit scalaire \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AD}}\).

Dans un repère orthonormé, on additionne les produits des coordonnées :

\[\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AD}} = 1 \times (-1) + (-4) \times 0 + 1 \times 1 = 0.\]

En conclusion : \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AD}} = 0\) : le triangle ABD est rectangle en A.

d) Volume du tétraèdre ABCD.

Par ailleurs, on prend pour base le triangle ABD, situé dans \(\mathcal{P}\). La hauteur associée est la distance de C à \(\mathcal{P}\), c'est-à-dire CD puisque D est le projeté orthogonal de C.

• \(\text{AB} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) et \(\text{AD} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\) ;
• ABD étant rectangle en A, son aire vaut \(\dfrac{\text{AB} \times \text{AD}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = 3\) ;
• \(\text{CD} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3\).

\[V = \dfrac{1}{3} \times 3 \times 3 = 3.\]

En conclusion : le volume du tétraèdre ABCD est 3 unités de volume.

Question 4 a

4. a) Coordonnées de H.

Puis on note H le point proposé. Il faut vérifier que H est sur (BC) et que \(\overrightarrow{\text{AH}}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{\text{BC}}\).

Ainsi, on a \(\overrightarrow{\text{BC}}(-4 ; 3 ; -2)\) et \(\overrightarrow{\text{BH}}\left(\dfrac{73}{29} - 5 ; \dfrac{-4}{29} + 2 ; \dfrac{51}{29} - 3\right) = \left(\dfrac{-72}{29} ; \dfrac{54}{29} ; \dfrac{-36}{29}\right)\). Chaque coordonnée est celle de \(\overrightarrow{\text{BC}}\) multipliée par \(\dfrac{18}{29}\) : \(\overrightarrow{\text{BH}} = \dfrac{18}{29}\overrightarrow{\text{BC}}\), donc H appartient à la droite (BC).

Ensuite \(\overrightarrow{\text{AH}}\left(\dfrac{73}{29} - 4 ; \dfrac{-4}{29} - 2 ; \dfrac{51}{29} - 2\right) = \left(\dfrac{-43}{29} ; \dfrac{-62}{29} ; \dfrac{-7}{29}\right)\), et :

\[\overrightarrow{\text{AH}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = \dfrac{(-43)(-4) + (-62) \times 3 + (-7)(-2)}{29} = \dfrac{172 - 186 + 14}{29} = 0.\]

En conclusion : H est sur (BC) et (AH) est perpendiculaire à (BC) ; H a bien pour coordonnées \(\left(\dfrac{73}{29} ; \dfrac{-4}{29} ; \dfrac{51}{29}\right)\).

b) Aire du triangle ABC.

[AH] est la hauteur issue de A dans le triangle ABC, relative à la base [BC]. Alors, on calcule les deux longueurs :

• \(\text{BC} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}\) ;
• \(\text{AH}^2 = \dfrac{43^2 + 62^2 + 7^2}{29^2} = \dfrac{1849 + 3844 + 49}{841} = \dfrac{5742}{841} = \dfrac{198}{29}\), donc \(\text{AH} = \sqrt{\dfrac{198}{29}}\).

\[\mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{BC} \times \text{AH}}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{29 \times \dfrac{198}{29}} = \dfrac{\sqrt{198}}{2} = \dfrac{\sqrt{9 \times 22}}{2} = \dfrac{3\sqrt{22}}{2}.\]

En conclusion : l'aire du triangle ABC vaut \(\dfrac{3\sqrt{22}}{2}\) unités d'aire.

c) Distance de D au plan (ABC).

Puis on calcule le volume du même tétraèdre en prenant cette fois ABC comme base : la hauteur correspondante \(h\) est la distance de D au plan (ABC). Le volume ne dépend pas de la base choisie, donc :

\[3 = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{22}}{2} \times h = \dfrac{\sqrt{22}}{2}\,h \quad \text{d'où} \quad h = \dfrac{6}{\sqrt{22}} = \dfrac{6\sqrt{22}}{22} = \dfrac{3\sqrt{22}}{11}.\]

En conclusion : la distance de D au plan (ABC) est \(\dfrac{3\sqrt{22}}{11} \approx 1{,}28\).

Corrigé de l’exercice 4 (bac 2026, Amérique du Nord, jour 2) 5 points

Fonction logarithme, croissances comparées, composition de limites, dérivée d'un produit, tableau de signes, théorème des valeurs intermédiaires, intégration par parties

1. Limite de \(f\) en \(+\infty\).

Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\ln x\) tend vers \(+\infty\), donc \((\ln x)^2\) aussi. Par produit avec \(x\) qui tend vers \(+\infty\), aucune forme indéterminée n'apparaît.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

2. a) Montrer que \(f(x) = 4\left(g(\sqrt{x})\right)^2\).

Pour \(x \gt 0\), on a \(\ln\sqrt{x} = \ln\left(x^{1/2}\right) = \dfrac{1}{2}\ln x\), donc \(g\left(\sqrt{x}\right) = \sqrt{x} \times \dfrac{1}{2}\ln x\). En élevant au carré, \(\left(\sqrt{x}\right)^2 = x\) :

\[4\left(g\left(\sqrt{x}\right)\right)^2 = 4 \times x \times \dfrac{1}{4}(\ln x)^2 = x(\ln x)^2 = f(x).\]

En conclusion : pour tout \(x \gt 0\), \(f(x) = 4\left(g\left(\sqrt{x}\right)\right)^2\).

b) Limite de \(f\) en 0.

La forme directe « \(0 \times \infty\) » est indéterminée, d'où l'intérêt de l'écriture précédente. Ensuite, on compose :

• \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0^+\) ;
• par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{X \to 0^+} X\ln X = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} g\left(\sqrt{x}\right) = 0\) ;
• la fonction \(Y \mapsto 4Y^2\) étant continue en 0, \(4\left(g\left(\sqrt{x}\right)\right)^2\) tend vers 0.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0\).

3. a) Calcul de \(f'(x)\).

Alors, on dérive le produit \(u \times v\) avec \(u(x) = x\) et \(v(x) = (\ln x)^2\). Donc on a \(u'(x) = 1\) et, par la formule \((w^2)' = 2ww'\), \(v'(x) = 2\ln x \times \dfrac{1}{x}\). Donc :

\[f'(x) = 1 \times (\ln x)^2 + x \times \dfrac{2\ln x}{x} = (\ln x)^2 + 2\ln x = (\ln x)(2 + \ln x).\]

En conclusion : sur \(]0 ; +\infty[\), \(f'(x) = (\ln x)(2 + \ln x)\).

Question 3 b

b) Variations de \(f\).

Ensuite, on étudie le signe de chaque facteur :

• \(\ln x \gt 0 \iff x \gt 1\), et \(\ln x = 0\) pour \(x = 1\) ;
• \(2 + \ln x \gt 0 \iff \ln x \gt -2 \iff x \gt \text{e}^{-2}\), et \(2 + \ln x = 0\) pour \(x = \text{e}^{-2} \approx 0{,}135\).

Valeurs utiles : \(f\left(\text{e}^{-2}\right) = \text{e}^{-2} \times (-2)^2 = 4\text{e}^{-2}\) et \(f(1) = 1 \times 0^2 = 0\).

En conclusion : \(f\) est strictement croissante sur \(]0 ; \text{e}^{-2}]\), strictement décroissante sur \([\text{e}^{-2} ; 1]\) et strictement croissante sur \([1 ; +\infty[\).

c) Maximum de \(f\) sur \(]0 ; 1]\).

Sur \(]0 ; 1]\), \(f\) monte jusqu'en \(\text{e}^{-2}\) puis redescend jusqu'à \(f(1) = 0\) : elle atteint son maximum en \(x = \text{e}^{-2}\).

En conclusion : le maximum de \(f\) sur \(]0 ; 1]\) vaut \(4\text{e}^{-2} = \dfrac{4}{\text{e}^2} \approx 0{,}54\).

4. a) L'équation \(f(x) = 2\) a une unique solution.

Ensuite, on sépare l'intervalle en deux morceaux.

• Sur \(]0 ; 1]\) : pour tout \(x\), \(f(x) \leqslant 4\text{e}^{-2} \approx 0{,}54 \lt 2\), donc l'équation n'a aucune solution.
• Sur \([1 ; +\infty[\) : \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec \(f(1) = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). Comme 2 est compris entre 0 et \(+\infty\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'une unique solution dans cet intervalle.

En conclusion : l'équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0 ; +\infty[\), et \(\alpha \gt 1\).

b) Encadrement de \(\alpha\) d'amplitude 0,1.

Avec la calculatrice (tableau de valeurs par pas de 0,1) : \(f(2{,}4) \approx 1{,}84 \lt 2\) et \(f(2{,}5) \approx 2{,}10 \gt 2\). Comme \(f\) est croissante sur \([1 ; +\infty[\), \(\alpha\) est entre ces deux valeurs (numériquement, \(\alpha \approx 2{,}46\)).

En conclusion : \(2{,}4 \lt \alpha \lt 2{,}5\).

5. a) Interprétation géométrique de \(\int_a^1 f(x)\,\text{d}x\).

Sur \([a ; 1]\), la fonction \(f\) est continue et positive (un produit de \(x \gt 0\) et d'un carré). L'intégrale d'une fonction continue et positive mesure une aire.

En conclusion : \(\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x\) est l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x = a\) et \(x = 1\).

Question 5 b

b) Première intégration par parties.

Puis on pose \(u(x) = (\ln x)^2\), d'où \(u'(x) = \dfrac{2\ln x}{x}\), et \(v'(x) = x\), d'où \(v(x) = \dfrac{x^2}{2}\). Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([a ; 1]\). La formule \(\int_a^1 u v' = \left[uv\right]_a^1 - \int_a^1 u'v\) donne :

\[\int_a^1 x(\ln x)^2\,\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}(\ln x)^2\right]_a^1 - \int_a^1 \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{2\ln x}{x}\,\text{d}x.\]

Le crochet vaut \(\dfrac{1}{2} \times 0 - \dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2\), et dans l'intégrale \(\dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{2\ln x}{x} = x\ln x\).

En conclusion : \(\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 - \int_a^1 x\ln x\,\text{d}x\).

c) Deuxième intégration par parties.

Ensuite, on calcule \(\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x\) en posant cette fois \(u(x) = \ln x\), \(u'(x) = \dfrac{1}{x}\), et \(v'(x) = x\), \(v(x) = \dfrac{x^2}{2}\) :

\[\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_a^1 - \int_a^1 \dfrac{x}{2}\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}\ln a - \left[\dfrac{x^2}{4}\right]_a^1 = -\dfrac{a^2}{2}\ln a - \dfrac{1}{4} + \dfrac{a^2}{4}.\]

Par ailleurs, on reporte dans le résultat de la question b, en changeant les signes :

\[\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \dfrac{a^2}{2}\ln a + \dfrac{1}{4} - \dfrac{a^2}{4}.\]

En conclusion : l'égalité demandée est démontrée.

d) Limite de l'intégrale quand \(a\) tend vers 0.

Ensuite, on fait apparaître \(a\ln a\), dont la limite en 0 est connue (croissances comparées : \(\displaystyle\lim_{a \to 0^+} a\ln a = 0\)) :

• \(-\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 = -\dfrac{1}{2}(a\ln a)^2\) tend vers 0 ;
• \(\dfrac{a^2}{2}\ln a = \dfrac{a}{2} \times a\ln a\) tend vers \(0 \times 0 = 0\) ;
• \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{a^2}{4}\) tend vers \(\dfrac{1}{4}\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{a \to 0} \int_a^1 f(x)\,\text{d}x = \dfrac{1}{4}\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Pour inverser un conditionnement (\(P_{\overline{C}}(A)\)), calculer d'abord les intersections, puis diviser par la probabilité totale de l'évènement connu.
• Bienaymé-Tchebychev : repérer que l'intervalle est centré sur l'espérance, écrire l'écart \(\delta\), puis passer à l'évènement contraire.
• Une fonction strictement croissante conserve les inégalités : c'est le cœur de la récurrence \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \lt \sqrt{3}\), et la limite se trouve parmi les solutions de \(f(x) = x\).
• Pour la distance d'un point à un plan, calculer le volume d'un tétraèdre de deux façons avec deux bases différentes.
• En 0, les formes \(x(\ln x)^2\) ou \(a^2 \ln a\) se ramènent à \(X\ln X\) pour utiliser les croissances comparées.
• Dans une intégration par parties, dériver le logarithme et intégrer la puissance de \(x\).

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Ce que contient le corrigé du bac 2026, Amérique du Nord, jour 2

Ce corrigé du bac 2026, Amérique du Nord, jour 2 du 21 mai 2026 détaille les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (4 points) aborde : arbre pondéré, probabilités totales et conditionnelles, loi binomiale, espérance et variance d'une fréquence, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (6 points) porte sur : dérivée d'un quotient avec racine carrée, raisonnement par récurrence, théorème de la limite monotone, suite géométrique auxiliaire, algorithme Python, théorème des gendarmes. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) porte sur : représentation paramétrique d'une droite, équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal, produit scalaire, volume d'un tétraèdre, distance d'un point à un plan. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) traite : fonction logarithme, croissances comparées, composition de limites, dérivée d'un produit, tableau de signes, théorème des valeurs intermédiaires, intégration par parties.

Pour tirer profit de cette correction, traitez d'abord le sujet en temps limité. Puis corrigez-vous au stylo d'une autre couleur, question par question. Ainsi, vous repérez vite les chapitres à retravailler.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2026, Amérique du Nord, jour 2

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.

Pour travailler dans l'ordre, ouvrez d'abord l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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• Corrigé France, jour 2
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