Corrigé du bac de maths 2026 : Centres étrangers, jour 1

Le texte complet de l'épreuve est disponible sur la page de l'énoncé. Pour continuer l'entraînement, voyez les autres annales du bac de maths.

Corrigé de l’exercice 1 (bac 2026, Centres étrangers, jour 1) 5 points

Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Partie A

1. Compléter l'arbre pondéré.

Au premier niveau, on place la provenance de la lame : \(P(A)=0{,}6\) et \(P(B)=0{,}12\). Comme A, B et C se partagent tout le stock, \(P(C)=1-0{,}6-0{,}12=0{,}28\). Au second niveau, on lit les taux de conformité, qui sont des probabilités conditionnelles : \(P_A(T)=0{,}9\), \(P_B(T)=0{,}95\), \(P_C(T)=0{,}85\). Les branches vers \(\overline{T}\) s'obtiennent par complément à 1, puisque la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1.

• \(A\) avec probabilité \(0{,}6\) : puis \(T\) avec \(0{,}9\) et \(\overline{T}\) avec \(0{,}1\) ;
• \(B\) avec probabilité \(0{,}12\) : puis \(T\) avec \(0{,}95\) et \(\overline{T}\) avec \(0{,}05\) ;
• \(C\) avec probabilité \(0{,}28\) : puis \(T\) avec \(0{,}85\) et \(\overline{T}\) avec \(0{,}15\).

Arbre complété : \(0{,}6\) ; \(0{,}12\) ; \(0{,}28\) au premier niveau, puis \(0{,}9/0{,}1\), \(0{,}95/0{,}05\) et \(0{,}85/0{,}15\).

2. Calculer \(P(A \cap \overline{T})\) et l'interpréter.

La probabilité d'une intersection se lit le long d'un chemin de l'arbre : on multiplie les probabilités des branches parcourues.

\[P(A \cap \overline{T}) = P(A) \times P_A(\overline{T}) = 0{,}6 \times 0{,}1 = 0{,}06.\]

Autrement dit, 6 % des lames du stock viennent du fournisseur A et échouent au test de conformité.

En conclusion : \(P(A \cap \overline{T}) = 0{,}06\) ; la probabilité que la lame testée provienne de A et ne soit pas conforme est 0,06.

3. Montrer que \(P(T)=0{,}892\).

Les évènements \(A\), \(B\), \(C\) forment une partition de l'univers (chaque lame a un et un seul fournisseur). La formule des probabilités totales donne donc :

\[P(T) = P(A)P_A(T) + P(B)P_B(T) + P(C)P_C(T) = 0{,}6 \times 0{,}9 + 0{,}12 \times 0{,}95 + 0{,}28 \times 0{,}85.\]

Ensuite, on calcule chaque terme : \(0{,}54 + 0{,}114 + 0{,}238 = 0{,}892\).

En conclusion : \(P(T) = 0{,}892\).

Question 4

4. Probabilité que la lame vienne de B sachant qu'elle n'est pas conforme.

Alors, on cherche \(P_{\overline{T}}(B)\), c'est-à-dire qu'on « remonte » l'arbre. Ensuite, on revient à la définition d'une probabilité conditionnelle. D'une part \(P(\overline{T}) = 1 - 0{,}892 = 0{,}108\). D'autre part \(P(B \cap \overline{T}) = 0{,}12 \times 0{,}05 = 0{,}006\). Ainsi :

\[P_{\overline{T}}(B) = \dfrac{P(B \cap \overline{T})}{P(\overline{T})} = \dfrac{0{,}006}{0{,}108} = \dfrac{1}{18} \approx 0{,}0556.\]

En conclusion : \(P_{\overline{T}}(B) \approx 0{,}056\) au millième.

Partie B

1. Paramètres de la loi binomiale.

Tester une lame est une épreuve de Bernoulli dont le « succès » est « la lame n'est pas conforme », de probabilité 0,108. Le prélèvement de 75 lames étant assimilé à un tirage avec remise, on répète cette épreuve 75 fois de façon identique et indépendante, et \(X\) compte les succès.

En conclusion : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(75 ; 0{,}108)\).

2. Calculer \(P(X=6)\).

Ensuite, on applique la formule de la loi binomiale :

\[P(X=6) = \binom{75}{6} \times 0{,}108^{6} \times 0{,}892^{69} \approx 0{,}12014.\]

La calculatrice (fonction binomFdp ou équivalent) confirme cette valeur.

En conclusion : \(P(X=6) \approx 0{,}120\).

3. L'équipementier a-t-il raison d'annoncer \(P(X \gt 8) \lt 0{,}5\) ?

« Strictement plus de 8 » signifie \(X \geqslant 9\). Ensuite, on passe par l'évènement contraire, que la calculatrice sait traiter avec la fonction de répartition :

\[P(X \gt 8) = 1 - P(X \leqslant 8) \approx 1 - 0{,}5779 = 0{,}4221.\]

Cette probabilité est bien inférieure à 0,5 : l'affirmation est exacte.

En conclusion : \(P(X \gt 8) \approx 0{,}422 \lt 0{,}5\), l'équipementier a raison.

Partie C

1. Espérance et variance de \(M_n\).

Chaque \(X_i\) suit la même loi que \(X\), donc \(\mathrm{E}(X_i) = 75 \times 0{,}108 = 8{,}1\) et \(\mathrm{V}(X_i) = 75 \times 0{,}108 \times 0{,}892 = 7{,}2252\).

Par linéarité de l'espérance : \(\mathrm{E}(M_n) = \dfrac{1}{n}\left(\mathrm{E}(X_1)+\cdots+\mathrm{E}(X_n)\right) = \dfrac{n \times 8{,}1}{n} = 8{,}1\).

Pour la variance, on utilise l'indépendance des \(X_i\) (la variance d'une somme de variables indépendantes est la somme des variances) et \(\mathrm{V}(aY)=a^2\mathrm{V}(Y)\) :

\[\mathrm{V}(M_n) = \dfrac{1}{n^2}\left(\mathrm{V}(X_1)+\cdots+\mathrm{V}(X_n)\right) = \dfrac{n \times 7{,}2252}{n^2} = \dfrac{7{,}2252}{n}.\]

En conclusion : \(\mathrm{E}(M_n) = 8{,}1\) et \(\mathrm{V}(M_n) = \dfrac{7{,}2252}{n}\).

2. Justifier \(P(|M_n - 8{,}1| \geqslant 2) \leqslant \frac{1{,}8063}{n}\).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que, pour toute variable aléatoire \(Y\) et tout réel \(\delta \gt 0\), \(P\left(|Y - \mathrm{E}(Y)| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{\mathrm{V}(Y)}{\delta^2}\). Par ailleurs, on l'applique à \(Y = M_n\), d'espérance 8,1, avec \(\delta = 2\) :

\[P\left(|M_n - 8{,}1| \geqslant 2\right) \leqslant \dfrac{7{,}2252}{n \times 2^2} = \dfrac{1{,}8063}{n}.\]

En conclusion : l'inégalité découle de Bienaymé-Tchebychev avec \(\delta = 2\), car \(7{,}2252 / 4 = 1{,}8063\).

3. Trouver \(n\) tel que \(P(|M_n - 8{,}1| \lt 2) \geqslant 0{,}95\), puis interpréter.

L'évènement \(|M_n - 8{,}1| \lt 2\) est le contraire de \(|M_n - 8{,}1| \geqslant 2\). Avec la question précédente :

\[P\left(|M_n - 8{,}1| \lt 2\right) = 1 - P\left(|M_n - 8{,}1| \geqslant 2\right) \geqslant 1 - \dfrac{1{,}8063}{n}.\]

Il suffit donc que \(1 - \dfrac{1{,}8063}{n} \geqslant 0{,}95\), soit \(\dfrac{1{,}8063}{n} \leqslant 0{,}05\), c'est-à-dire \(n \geqslant \dfrac{1{,}8063}{0{,}05} = 36{,}126\). Le plus petit entier qui convient est 37.

Interprétation : dès que l'équipementier participe à au moins 37 compétitions, le nombre moyen de lames non conformes par échantillon de 75 est strictement compris entre 6,1 et 10,1 avec une probabilité d'au moins 95 %.

En conclusion : à partir de \(n = 37\), \(P(|M_n - 8{,}1| \lt 2) \geqslant 0{,}95\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2026, Centres étrangers, jour 1) 5 points

Équation différentielle, étude de fonction, limite par encadrement, raisonnement par récurrence, somme géométrique

1. Affirmation 1 : \(f(x)=4\text{e}^{-x}+\cos(x)+\sin(x)\) est solution de \(y'+y=2\cos(x)\).

Pour vérifier qu'une fonction est solution, on la dérive et on remplace dans l'équation. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x) = -4\text{e}^{-x} - \sin(x) + \cos(x)\). En ajoutant \(f(x)\) :

\[f'(x) + f(x) = -4\text{e}^{-x} - \sin(x) + \cos(x) + 4\text{e}^{-x} + \cos(x) + \sin(x) = 2\cos(x).\]

L'égalité est vraie pour tout réel \(x\).

Affirmation 1 : VRAIE.

2. Affirmation 2 : les courbes de \(x \mapsto 2x\) et de \(\sin\) n'ont qu'un point commun.

Les abscisses des points d'intersection sont les solutions de \(2x = \sin(x)\). Ensuite, on étudie donc la différence \(h(x) = 2x - \sin(x)\) sur \(\mathbb{R}\). Elle est dérivable et \(h'(x) = 2 - \cos(x)\). Comme \(\cos(x) \leqslant 1\), on a \(h'(x) \geqslant 1 \gt 0\) : la fonction \(h\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle s'annule donc au plus une fois. Or \(h(0) = 0 - \sin(0) = 0\). L'équation \(h(x)=0\) a donc exactement une solution, \(x=0\), et le seul point commun est l'origine du repère.

Affirmation 2 : VRAIE (unique point d'intersection : l'origine).

3. Affirmation 3 : la suite \((v_n)\) diverge.

Le terme \(\sin(n)\) n'a pas de limite, mais il est borné : c'est le cas typique d'un encadrement. Pour tout entier naturel \(n\), \(-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1\), donc, en divisant par \(n+1 \gt 0\) :

\[\dfrac{2n-1}{n+1} \leqslant v_n \leqslant \dfrac{2n+1}{n+1}.\]

En écrivant \(\dfrac{2n-1}{n+1} = 2 - \dfrac{3}{n+1}\) et \(\dfrac{2n+1}{n+1} = 2 - \dfrac{1}{n+1}\), on voit que les deux bornes tendent vers 2 quand \(n \to +\infty\). Par le théorème des gendarmes, \((v_n)\) converge vers 2 : elle ne diverge pas.

Affirmation 3 : FAUSSE, car \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 2\).

Question 4

4. Affirmation 4 : \(u_n = n^2\) pour tout \(n \geqslant 1\).

Par ailleurs, on raisonne par récurrence sur \(n \geqslant 1\), avec la propriété \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n = n^2\) ».

Initialisation : \(u_1 = 1\) et \(1^2 = 1\), donc \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité : on fixe \(n \geqslant 1\) et on suppose \(u_n = n^2\). Alors, par la relation de récurrence, \(u_{n+1} = n^2 + 2n + 1\), qui est le développement de \((n+1)^2\). Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier \(n \geqslant 1\).

Affirmation 4 : VRAIE.

5. Affirmation 5 : \(\lim S_n = \frac{\text{e}}{\text{e}-1}\).

Ensuite, on reconnaît une suite géométrique : \(u_n = \text{e}^{-n} = \left(\text{e}^{-1}\right)^n\), de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(q = \text{e}^{-1}\), avec \(q \neq 1\). La somme de ses \(n+1\) premiers termes vaut :

\[S_n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = \dfrac{1 - \text{e}^{-(n+1)}}{1 - \text{e}^{-1}}.\]

Comme \(0 \lt \text{e}^{-1} \lt 1\), \(\left(\text{e}^{-1}\right)^{n+1}\) tend vers 0, donc \(S_n\) tend vers \(\dfrac{1}{1 - \text{e}^{-1}}\). En multipliant numérateur et dénominateur par \(\text{e}\), on obtient \(\dfrac{\text{e}}{\text{e} - 1}\).

Affirmation 5 : VRAIE.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2026, Centres étrangers, jour 1) 4 points

Géométrie repérée dans l'espace : produit scalaire, angle, vecteur normal, équation de plan, projeté orthogonal, droites coplanaires

1. Coordonnées de I, J et K.

Dans le repère \(\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)\), on a \(\text{E}(0 ; 0 ; 1)\), \(\text{F}(1 ; 0 ; 1)\), \(\text{H}(0 ; 1 ; 1)\) et \(\text{A}(0 ; 0 ; 0)\). Les coordonnées d'un milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités.

En conclusion : \(\text{I}\left(\frac{1}{2} ; 0 ; 1\right)\), \(\text{J}\left(0 ; \frac{1}{2} ; 1\right)\) et \(\text{K}\left(0 ; 0 ; \frac{1}{2}\right)\).

2. a) Calculer \(\overrightarrow{\text{AI}}\cdot\overrightarrow{\text{AJ}}\).

Le repère étant orthonormé, on utilise l'expression analytique. Ainsi, on a \(\overrightarrow{\text{AI}}\left(\frac{1}{2} ; 0 ; 1\right)\) et \(\overrightarrow{\text{AJ}}\left(0 ; \frac{1}{2} ; 1\right)\), d'où \(\overrightarrow{\text{AI}}\cdot\overrightarrow{\text{AJ}} = \frac{1}{2} \times 0 + 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times 1 = 1\).

En conclusion : \(\overrightarrow{\text{AI}}\cdot\overrightarrow{\text{AJ}} = 1\).

2. b) Mesure de l'angle \(\widehat{\text{IAJ}}\).

Ensuite, on confronte ce résultat à l'autre expression du produit scalaire : \(\overrightarrow{\text{AI}}\cdot\overrightarrow{\text{AJ}} = \text{AI} \times \text{AJ} \times \cos\widehat{\text{IAJ}}\). Les deux longueurs sont égales : \(\text{AI} = \text{AJ} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\), donc \(\text{AI} \times \text{AJ} = \frac{5}{4}\). Donc on en tire \(\cos\widehat{\text{IAJ}} = \dfrac{1}{5/4} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\), puis, à la calculatrice, \(\widehat{\text{IAJ}} = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87^\circ\).

En conclusion : \(\widehat{\text{IAJ}} \approx 36{,}9^\circ\).

3. a) Montrer que \(\overrightarrow{\text{KC}}\) est normal au plan (AIJ).

Un vecteur est normal à un plan dès qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Avec \(\text{C}(1 ; 1 ; 0)\), on obtient \(\overrightarrow{\text{KC}}\left(1 ; 1 ; -\frac{1}{2}\right)\). Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AI}}\) et \(\overrightarrow{\text{AJ}}\) ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de l'un est nulle, pas celle de l'autre, alors que leurs troisièmes coordonnées sont égales). Ensuite, on calcule :

\[\overrightarrow{\text{KC}}\cdot\overrightarrow{\text{AI}} = \tfrac{1}{2} + 0 - \tfrac{1}{2} = 0 \qquad \overrightarrow{\text{KC}}\cdot\overrightarrow{\text{AJ}} = 0 + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} = 0.\]

En conclusion : \(\overrightarrow{\text{KC}}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{\text{AI}}\) et \(\overrightarrow{\text{AJ}}\), c'est donc un vecteur normal au plan (AIJ).

Question 3 b

3. b) Équation cartésienne du plan (AIJ).

Un plan de vecteur normal \(\overrightarrow{n}(a ; b ; c)\) admet une équation \(ax + by + cz + d = 0\). Avec \(\overrightarrow{\text{KC}}\), cela donne \(x + y - \frac{1}{2}z + d = 0\). Le point A(0 ; 0 ; 0) appartient au plan, donc \(d = 0\).

En conclusion : (AIJ) a pour équation \(x + y - \dfrac{1}{2}z = 0\).

4. a) Coordonnées du projeté orthogonal L de C sur (AIJ).

L est l'intersection du plan avec la droite passant par C et dirigée par le vecteur normal \(\overrightarrow{\text{KC}}\). Une représentation paramétrique de cette droite est \(x = 1 + t\), \(y = 1 + t\), \(z = -\frac{1}{2}t\), avec \(t \in \mathbb{R}\). Par ailleurs, on reporte dans l'équation du plan :

\[(1 + t) + (1 + t) - \dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}t\right) = 0 \iff 2 + \dfrac{9}{4}t = 0 \iff t = -\dfrac{8}{9}.\]

Puis on remplace \(t\) par \(-\frac{8}{9}\) : \(x = y = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}\) et \(z = \frac{4}{9}\). Vérification : \(\frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{2}{9} = 0\).

En conclusion : \(\text{L}\left(\frac{1}{9} ; \frac{1}{9} ; \frac{4}{9}\right)\).

4. b) Distance de C au plan (AIJ).

Cette distance est la longueur CL, puisque L est le projeté orthogonal de C. Or \(\overrightarrow{\text{CL}} = -\frac{8}{9}\,\overrightarrow{\text{KC}}\) et \(\|\overrightarrow{\text{KC}}\| = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\). Donc :

\[\text{CL} = \dfrac{8}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{4}{3}.\]

En conclusion : la distance de C au plan (AIJ) vaut \(\dfrac{4}{3}\).

Question 5 a

5. a) Représentation paramétrique de (IM).

La droite (IM) passe par \(\text{I}\left(\frac{1}{2} ; 0 ; 1\right)\) et elle est dirigée par \(\overrightarrow{\text{IM}}\left(1 - \frac{1}{2} ; m - 0 ; 1 - 1\right) = \left(\frac{1}{2} ; m ; 0\right)\), qui est non nul. Un point de coordonnées \((x ; y ; z)\) est sur (IM) si et seulement s'il existe un réel \(s\) tel que \(x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}s\), \(y = 0 + ms\) et \(z = 1 + 0 \times s\).

En conclusion : on retrouve bien \(\begin{cases} x=\frac{1}{2} s+\frac{1}{2} \\ y=m s \\ z=1 \end{cases}\), \(s \in \mathbb{R}\).

5. b) (IM) et (KC) sont-elles coplanaires pour tout \(m\) ?

Deux droites sont coplanaires lorsqu'elles sont parallèles ou sécantes. Parallèles, elles ne le sont jamais : \(\overrightarrow{\text{IM}}\) a une troisième coordonnée nulle, pas \(\overrightarrow{\text{KC}}\), donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Reste à savoir si elles se coupent.

La droite (KC) passe par K et est dirigée par \(\overrightarrow{\text{KC}}\) : \(x = t\), \(y = t\), \(z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}t\). Tous les points de (IM) ont pour cote 1, donc un point commun vérifierait \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}t = 1\), soit \(t = -1\) : c'est le point \((-1 ; -1 ; 1)\). Il appartient à (IM) si \(\frac{1}{2}s + \frac{1}{2} = -1\), c'est-à-dire \(s = -3\), et si \(ms = -1\), soit \(-3m = -1\), donc \(m = \frac{1}{3}\).

Ainsi les droites ne sont sécantes (donc coplanaires) que pour \(m = \frac{1}{3}\). Pour toute autre valeur, par exemple \(m = 0\), elles ne sont ni parallèles ni sécantes : elles ne sont pas coplanaires.

En conclusion : non ; (IM) et (KC) sont coplanaires uniquement pour \(m = \dfrac{1}{3}\).

Corrigé de l’exercice 4 (bac 2026, Centres étrangers, jour 1) 6 points

Fonction logarithme, limites et asymptotes, variations, tangente, convexité, intégrale, méthode des rectangles en Python, intégration par parties

Partie A

1. a) Limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

En \(0^+\) : \(\ln(x) \to -\infty\) et \(\dfrac{1}{x^2} \to +\infty\). Le produit \(\ln(x) \times \dfrac{1}{x^2}\) tend donc vers \(-\infty\) (pas de forme indéterminée).

En \(+\infty\) : on a la forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\). Par ailleurs, on écrit \(f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x} \times \dfrac{1}{x}\). Par croissances comparées \(\dfrac{\ln(x)}{x} \to 0\), et \(\dfrac{1}{x} \to 0\), donc \(f(x) \to 0\).

En conclusion : \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\).

1. b) Interprétation graphique.

En conclusion : l'axe des ordonnées (droite \(x = 0\)) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\) ; l'axe des abscisses (droite \(y = 0\)) est asymptote horizontale en \(+\infty\).

2. Démontrer l'expression de \(f'(x)\).

Alors, on dérive un quotient \(\frac{u}{v}\) avec \(u(x) = \ln(x)\), \(u'(x) = \frac{1}{x}\), \(v(x) = x^2\), \(v'(x) = 2x\) :

\[f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \times x^2 - \ln(x) \times 2x}{x^4} = \dfrac{x - 2x\ln(x)}{x^4} = \dfrac{x\left(1 - 2\ln(x)\right)}{x^4}.\]

Par ailleurs, on simplifie par \(x \neq 0\).

En conclusion : \(f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^3}\) pour tout \(x \gt 0\).

3. Tableau de variation de \(f\).

Sur \(]0 ; +\infty[\), \(x^3 \gt 0\) : \(f'(x)\) a le signe de \(1 - 2\ln(x)\). Or \(1 - 2\ln(x) \geqslant 0 \iff \ln(x) \leqslant \frac{1}{2} \iff x \leqslant \text{e}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\text{e}}\), la fonction exponentielle étant croissante. La fonction \(f\) est donc croissante sur \(]0 ; \sqrt{\text{e}}]\) puis décroissante sur \([\sqrt{\text{e}} ; +\infty[\). Son maximum vaut :

\[f\left(\sqrt{\text{e}}\right) = \dfrac{\ln\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}\right)}{\left(\sqrt{\text{e}}\right)^2} = \dfrac{1/2}{\text{e}} = \dfrac{1}{2\text{e}}.\]

En conclusion : \(f\) croît de \(-\infty\) à \(\dfrac{1}{2\text{e}} \approx 0{,}184\) sur \(]0 ; \sqrt{\text{e}}]\), puis décroît vers 0 sur \([\sqrt{\text{e}} ; +\infty[\).

Question 4

4. Équation de la tangente \(\Delta\) au point d'abscisse 1.

La tangente au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\). Ici \(f(1) = \dfrac{\ln(1)}{1} = 0\) et \(f'(1) = \dfrac{1 - 0}{1} = 1\), d'où \(y = 1 \times (x - 1) + 0\).

En conclusion : \(\Delta : y = x - 1\).

5. Vérifier l'expression de \(f''(x)\).

Ensuite, on dérive \(f'\), à nouveau un quotient, avec \(u(x) = 1 - 2\ln(x)\), \(u'(x) = -\frac{2}{x}\), \(v(x) = x^3\), \(v'(x) = 3x^2\) :

\[f''(x) = \dfrac{-\frac{2}{x} \times x^3 - \left(1 - 2\ln(x)\right) \times 3x^2}{x^6} = \dfrac{-2x^2 - 3x^2 + 6x^2\ln(x)}{x^6} = \dfrac{x^2\left(-5 + 6\ln(x)\right)}{x^6}.\]

En conclusion : après simplification par \(x^2\), \(f''(x) = \dfrac{-5 + 6\ln(x)}{x^4}\).

6. a) Convexité et point d'inflexion.

La convexité se lit sur le signe de \(f''\). Comme \(x^4 \gt 0\), \(f''(x)\) a le signe de \(-5 + 6\ln(x)\), qui est positif ou nul si et seulement si \(\ln(x) \geqslant \frac{5}{6}\), c'est-à-dire \(x \geqslant \text{e}^{\frac{5}{6}} \approx 2{,}30\). Donc \(f''\) est négative sur \(\left]0 ; \text{e}^{\frac{5}{6}}\right]\) et positive sur \(\left[\text{e}^{\frac{5}{6}} ; +\infty\right[\) : elle change de signe en \(\text{e}^{\frac{5}{6}}\), ce qui donne un point d'inflexion. Son ordonnée est :

\[f\left(\text{e}^{\frac{5}{6}}\right) = \dfrac{\frac{5}{6}}{\text{e}^{\frac{5}{3}}} = \dfrac{5}{6\,\text{e}^{\frac{5}{3}}} \approx 0{,}157.\]

En conclusion : \(f\) est concave sur \(\left]0 ; \text{e}^{\frac{5}{6}}\right]\), convexe sur \(\left[\text{e}^{\frac{5}{6}} ; +\infty\right[\), et \(\mathcal{C}_f\) a un unique point d'inflexion \(\left(\text{e}^{\frac{5}{6}} ; \dfrac{5}{6\,\text{e}^{\frac{5}{3}}}\right)\).

Question 6 b

6. b) En déduire \(x - 1 \geqslant \frac{\ln(x)}{x^2}\) sur \(\left]0 ; \text{e}^{\frac{5}{6}}\right]\).

Sur un intervalle où une fonction est concave, sa courbe est située en dessous de chacune de ses tangentes en un point de cet intervalle. Le point A d'abscisse 1 convient, puisque \(0 \lt 1 \lt \text{e}^{\frac{5}{6}}\). Sur \(\left]0 ; \text{e}^{\frac{5}{6}}\right]\), \(\mathcal{C}_f\) est donc sous la droite \(\Delta\) d'équation \(y = x - 1\).

En conclusion : pour tout \(x \in \left]0 ; \text{e}^{\frac{5}{6}}\right]\), \(f(x) \leqslant x - 1\), soit \(x - 1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^2}\).

7. Même inégalité sur \(\left[\text{e}^{\frac{5}{6}} ; +\infty\right[\).

Ici la courbe n'est plus concave, on raisonne autrement, en comparant chaque membre à une constante. D'après le tableau de variation, \(f\) admet pour maximum \(\dfrac{1}{2\text{e}}\) sur \(]0 ; +\infty[\), donc \(f(x) \leqslant \dfrac{1}{2\text{e}} \lt 1\) pour tout \(x \gt 0\). De l'autre côté, si \(x \geqslant \text{e}^{\frac{5}{6}}\), alors \(x - 1 \geqslant \text{e}^{\frac{5}{6}} - 1\), et \(\text{e}^{\frac{5}{6}} \gt \text{e}^{\ln 2} = 2\) car \(\frac{5}{6} \gt \ln 2 \approx 0{,}69\) ; ainsi \(x - 1 \gt 1\).

Par ailleurs, on enchaîne : \(x - 1 \gt 1 \gt \dfrac{1}{2\text{e}} \geqslant f(x)\).

En conclusion : pour tout \(x \geqslant \text{e}^{\frac{5}{6}}\), \(x - 1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^2}\) ; l'inégalité est donc vraie sur tout \(]0 ; +\infty[\).

Partie B

1. Interprétation graphique de \(I_n\).

Pour \(x \geqslant 1\), \(\ln(x) \geqslant 0\) et \(x^2 \gt 0\), donc \(f\) est continue et positive sur \([1 ; n]\). L'intégrale d'une fonction continue et positive mesure une aire.

En conclusion : \(I_n\) est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x = 1\) et \(x = n\) (aire nulle pour \(n = 1\)).

2. Montrer que \((I_n)\) est croissante.

Puis on étudie le signe de \(I_{n+1} - I_n\). Par la relation de Chasles :

\[I_{n+1} - I_n = \int_1^{n+1} f(x)\,\mathrm{d}x - \int_1^{n} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_n^{n+1} f(x)\,\mathrm{d}x.\]

Comme \(n \geqslant 1\), la fonction \(f\) est positive sur \([n ; n+1]\) et les bornes sont dans l'ordre croissant : par positivité de l'intégrale, \(I_{n+1} - I_n \geqslant 0\).

En conclusion : pour tout \(n \geqslant 1\), \(I_{n+1} \geqslant I_n\), la suite \((I_n)\) est croissante.

3. Compléter le script Python des rectangles.

Par ailleurs, on lit la figure : neuf rectangles de largeur 1 couvrent \([1 ; 10]\). Le premier, sur \([1 ; 2]\), a pour hauteur le maximum de \(f\), atteint en \(\sqrt{\text{e}} \approx 1{,}65\) (la croix bleue) : son aire vaut \(\dfrac{1}{2\text{e}}\), ce que contient déjà l'initialisation S=1/(2*exp(1)). Sur \([2 ; +\infty[\), \(f\) est décroissante, et chaque rectangle posé sur \([i ; i+1]\), pour \(i\) de 2 à 9, a pour hauteur la valeur à gauche \(f(i) = \dfrac{\ln(i)}{i^2}\) (par exemple \(f(2) \approx 0{,}173\) et \(f(3) \approx 0{,}122\), comme sur le graphique). La boucle for i in range(2,10) fait justement varier \(i\) de 2 à 9 : il suffit d'ajouter à chaque tour l'aire \(1 \times f(i)\). En Python, log désigne le logarithme népérien.

from math import *
S=1/(2*exp(1))
for i in range (2,10):
    S = S + log(i)/i**2
print(S)

Le programme affiche environ 0,7794, qui est une valeur approchée par excès de l'intégrale, puisque chaque rectangle déborde au-dessus de la courbe.

En conclusion : la ligne manquante est S = S + log(i)/i**2 ; le script affiche \(S \approx 0{,}779\).

Question 4

4. Calculer \(I_n\) par une intégration par parties.

Alors, on pose \(u(x) = \ln(x)\) et \(v'(x) = \dfrac{1}{x^2}\), d'où \(u'(x) = \dfrac{1}{x}\) et \(v(x) = -\dfrac{1}{x}\). Ces fonctions sont dérivables, à dérivées continues sur \([1 ; n]\), ce qui autorise la formule \(\displaystyle\int_1^n u v' = \big[uv\big]_1^n - \int_1^n u'v\) :

\[I_n = \left[-\dfrac{\ln(x)}{x}\right]_1^n - \int_1^n \dfrac{1}{x} \times \left(-\dfrac{1}{x}\right)\mathrm{d}x = -\dfrac{\ln(n)}{n} + \dfrac{\ln(1)}{1} + \int_1^n \dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x.\]

Comme \(\ln(1) = 0\) et qu'une primitive de \(\dfrac{1}{x^2}\) est \(-\dfrac{1}{x}\) :

\[I_n = -\dfrac{\ln(n)}{n} + \left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^n = -\dfrac{\ln(n)}{n} - \dfrac{1}{n} + 1 = \dfrac{n - 1 - \ln(n)}{n}.\]

En conclusion : pour tout entier \(n \geqslant 1\), \(I_n = \dfrac{n - 1 - \ln(n)}{n}\) (et donc \(I_{10} = \frac{9 - \ln 10}{10} \approx 0{,}670\), inférieur à l'approximation 0,779 du script).

5. Limite de \((I_n)\).

Par ailleurs, on sépare la fraction : \(I_n = 1 - \dfrac{1}{n} - \dfrac{\ln(n)}{n}\). Ainsi, on sait que \(\dfrac{1}{n} \to 0\) et, par croissances comparées, \(\dfrac{\ln(n)}{n} \to 0\). Par somme, \(I_n \to 1\). Graphiquement, l'aire sous la courbe entre 1 et \(+\infty\) est finie et vaut 1 unité d'aire.

En conclusion : \(\lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 1\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Pour une probabilité « à rebours » comme \(P_{\overline{T}}(B)\), on revient à la définition \(\frac{P(B \cap \overline{T})}{P(\overline{T})}\) en calculant le dénominateur par les probabilités totales.
• Pour une moyenne de \(n\) variables indépendantes de même loi, l'espérance reste la même et la variance est divisée par \(n\) ; Bienaymé-Tchebychev donne alors un seuil sur \(n\), à arrondir à l'entier supérieur.
• Une suite contenant \(\sin(n)\) ou \(\cos(n)\) se traite par encadrement et théorème des gendarmes ; bornée ne veut pas dire divergente.
• Dans l'espace, un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, et le projeté orthogonal s'obtient en coupant le plan par la droite dirigée par ce vecteur normal.
• Deux droites de l'espace sont coplanaires seulement si elles sont parallèles ou sécantes : penser à étudier les deux cas avant de conclure.
• Concavité sur un intervalle signifie courbe sous ses tangentes : c'est l'outil direct pour établir une inégalité du type \(f(x) \leqslant x - 1\).

Revenir à l'énoncé du bac de maths 2026 (Centres étrangers, jour 1) · Tous les sujets du bac de maths

Ce que contient le corrigé du bac 2026, Centres étrangers, jour 1

Ce corrigé du bac 2026, Centres étrangers, jour 1 du 10 juin 2026 détaille les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) aborde : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) porte sur : équation différentielle, étude de fonction, limite par encadrement, raisonnement par récurrence, somme géométrique. Puis, la correction de l'exercice 3 (4 points) traite : géométrie repérée dans l'espace : produit scalaire, angle, vecteur normal, équation de plan, projeté orthogonal, droites coplanaires. Enfin, la correction de l'exercice 4 (6 points) aborde : fonction logarithme, limites et asymptotes, variations, tangente, convexité, intégrale, méthode des rectangles en Python, intégration par parties.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2026, Centres étrangers, jour 1

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.

Si vous n'avez pas encore cherché l'épreuve, commencez par l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

Les autres corrigés de 2026

• Corrigé France, jour 1
• Corrigé France, jour 2
• Corrigé Amérique du Nord, jour 1
• Corrigé Amérique du Nord, jour 2
• Corrigé Centres étrangers, jour 2
• Corrigé France, septembre, jour 2

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du bac de maths 2026 : Centres étrangers, jour 1» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

 Maths PDF c'est 16 200 929 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.