Corrigé du bac de maths 2026 : France, septembre, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2026, France, septembre, jour 2) 5 points

Loi binomiale, logarithme et seuil, script Python, probabilités totales, récurrence et suite convergente

Partie A

1. a) Loi de \(X\).

Chaque lancer franc est une épreuve à deux issues : « réussi », de probabilité \(0{,}6\), ou « manqué », de probabilité \(0{,}4\). C'est donc une épreuve de Bernoulli de paramètre \(0{,}6\). La joueuse effectue 5 lancers, que le modèle considère comme identiques et indépendants : on a un schéma de Bernoulli à 5 épreuves, et \(X\) compte les succès.

En conclusion : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(5 ; 0{,}6)\).

1. b) Valeur approchée de \(P(X \geqslant 4)\) et interprétation.

L'événement \(X \geqslant 4\) se décompose en \(X = 4\) ou \(X = 5\) :

\[P(X \geqslant 4) = \binom{5}{4} \times 0{,}6^4 \times 0{,}4 + 0{,}6^5 = 5 \times 0{,}1296 \times 0{,}4 + 0{,}07776 = 0{,}2592 + 0{,}07776 = 0{,}33696.\]

Autrement dit, sur une série de cinq lancers francs, la joueuse a environ une chance sur trois d'en réussir au moins quatre.

En conclusion : \(P(X \geqslant 4) \approx 0{,}34\) ; dans environ 34 % des séries de 5 lancers, elle en réussit 4 ou 5.

2. a) Montrer que \(P(Y \geqslant 1) = 1 - 0{,}4^n\).

Ensuite, on passe par l'événement contraire. \(Y\) prend des valeurs entières entre 0 et \(n\), donc le contraire de « \(Y \geqslant 1\) » est « \(Y = 0\) », c'est-à-dire « tous les lancers sont manqués ». Avec la formule de la loi binomiale :

\[P(Y = 0) = \binom{n}{0} \times 0{,}6^0 \times 0{,}4^n = 0{,}4^n, \quad \text{donc} \quad P(Y \geqslant 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - 0{,}4^n.\]

En conclusion : \(P(Y \geqslant 1) = 1 - 0{,}4^n\).

Question 2 b

2. b) Nombre de lancers pour dépasser \(0{,}9999\).

Alors, on résout \(1 - 0{,}4^n \gt 0{,}9999\), c'est-à-dire \(0{,}4^n \lt 0{,}0001\). Les deux membres sont strictement positifs et la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\), donc l'inégalité équivaut à \(n\ln(0{,}4) \lt \ln(0{,}0001)\).

Comme \(\ln(0{,}4) \lt 0\), diviser par ce nombre change le sens de l'inégalité :

\[n \gt \frac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}4)} \approx 10{,}05.\]

Contrôle : \(0{,}4^{10} \approx 1{,}05 \times 10^{-4}\) est encore trop grand, alors que \(0{,}4^{11} \approx 4{,}2 \times 10^{-5}\) convient.

En conclusion : c'est à partir de \(n = 11\) lancers que la probabilité d'en réussir au moins un dépasse \(0{,}9999\).

2. c) Compléter le script Python.

La variable p contient la probabilité \(1 - 0{,}4^n\) pour la valeur courante de n (au départ \(n = 1\) et \(p = 0{,}6 = 1 - 0{,}4^1\)). Tant que cette probabilité ne dépasse pas \(0{,}9999\), on ajoute un lancer et on recalcule la probabilité. La boucle s'arrête au premier \(n\) qui convient, et on renvoie ce \(n\).

def basket ():
    p = 0.6
    n = 1
    while p <= 0.9999 :
        n = n + 1
        p = 1 - 0.4**n
    return n

En conclusion : l'appel basket() renvoie 11.

Partie B

1. Calculer \(P(G_2)\).

Arbre pondéré, décrit branche par branche :

• \(G_1\) (probabilité \(0{,}5\)) : puis \(G_2\) avec \(0{,}7\), ou \(\overline{G_2}\) avec \(0{,}3\) ;
• \(\overline{G_1}\) (probabilité \(0{,}5\)) : puis \(G_2\) avec \(0{,}4\), ou \(\overline{G_2}\) avec \(0{,}6\).

Les événements \(G_1\) et \(\overline{G_1}\) forment une partition de l'univers ; la formule des probabilités totales donne :

\[P(G_2) = P(G_1) \times P_{G_1}(G_2) + P(\overline{G_1}) \times P_{\overline{G_1}}(G_2) = 0{,}5 \times 0{,}7 + 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}35 + 0{,}2 = 0{,}55.\]

En conclusion : \(P(G_2) = 0{,}55\).

2. a) Démontrer par récurrence que \(p_n \leqslant p_{n+1}\) pour tout \(n \geqslant 1\).

Pour \(n \geqslant 1\), on note \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(p_n \leqslant p_{n+1}\) ».

Initialisation. Donc on a \(p_1 = P(G_1) = 0{,}5\) et \(p_2 = P(G_2) = 0{,}55\) (on retrouve aussi \(p_2 = 0{,}3 \times 0{,}5 + 0{,}4 = 0{,}55\)). Comme \(0{,}5 \leqslant 0{,}55\), \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n \geqslant 1\) un entier tel que \(p_n \leqslant p_{n+1}\). En multipliant par \(0{,}3\), qui est positif, l'ordre est conservé : \(0{,}3p_n \leqslant 0{,}3p_{n+1}\). En ajoutant \(0{,}4\) aux deux membres : \(0{,}3p_n + 0{,}4 \leqslant 0{,}3p_{n+1} + 0{,}4\), c'est-à-dire \(p_{n+1} \leqslant p_{n+2}\). Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. Vraie au rang 1 et héréditaire, la propriété est vraie pour tout entier \(n \geqslant 1\).

En conclusion : pour tout \(n \geqslant 1\), \(p_n \leqslant p_{n+1}\) ; la suite \((p_n)\) est croissante.

2. b) Pourquoi \((p_n)\) est-elle majorée ?

Chaque \(p_n\) est une probabilité, celle de l'événement \(G_n\). Or une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.

En conclusion : pour tout \(n \geqslant 1\), \(p_n \leqslant 1\) ; la suite \((p_n)\) est majorée par 1.

Question 2 c

2. c) Convergence de \((p_n)\).

Ensuite, on applique le théorème de convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge. C'est le cas de \((p_n)\) d'après les questions 2. a) et 2. b).

En conclusion : la suite \((p_n)\) converge, vers une limite inférieure ou égale à 1.

3. Interpréter la limite \(\dfrac{4}{7}\).

\(p_n\) est la probabilité que le joueur réussisse son \(n\)-ième lancer. Quand \(n\) devient grand, cette probabilité se stabilise autour de \(\dfrac{4}{7} \approx 0{,}571\), quel qu'ait été le premier lancer.

En conclusion : après un grand nombre de lancers, le joueur réussit chaque lancer avec une probabilité proche de \(\frac{4}{7}\), soit environ 57 % de réussite (en moyenne 4 lancers sur 7).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2026, France, septembre, jour 2) 5 points

Fonction exponentielle : limites, croissances comparées, variations, théorème des valeurs intermédiaires, aire et primitive, position courbe-tangente

1. Limite de \(f\) en \(-\infty\).

Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(3x - 1\) tend vers \(-\infty\) et \(-x\) tend vers \(+\infty\), donc \(\text{e}^{-x}\) tend vers \(+\infty\). Par produit, \((3x-1)\text{e}^{-x}\) tend vers \(-\infty\), et ajouter 2 ne change rien.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

2. Limite de \(f\) en \(+\infty\) et interprétation.

Ici \(3x - 1\) tend vers \(+\infty\) et \(\text{e}^{-x}\) vers 0 : c'est une forme indéterminée. Alors, on développe :

\[f(x) = 3x\text{e}^{-x} - \text{e}^{-x} + 2 = 3 \times \frac{x}{\text{e}^{x}} - \text{e}^{-x} + 2.\]

Par croissances comparées, \(\dfrac{\text{e}^{x}}{x}\) tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\), donc son inverse \(\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\) tend vers 0. Comme \(\text{e}^{-x}\) tend aussi vers 0, on obtient par somme une limite égale à 2.

Graphiquement, la courbe \(\mathcal{C}_f\) se rapproche de la droite horizontale d'équation \(y = 2\) quand \(x\) devient grand.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\) ; la droite d'équation \(y = 2\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

3. a) Vérifier que \(f'(x) = (4-3x)\text{e}^{-x}\).

Puis on dérive le produit \(u \times v\) avec \(u(x) = 3x - 1\), \(u'(x) = 3\), et \(v(x) = \text{e}^{-x}\), \(v'(x) = -\text{e}^{-x}\) (dérivée de \(\text{e}^{ax}\) avec \(a = -1\)). La constante 2 a une dérivée nulle.

\[f'(x) = 3\text{e}^{-x} + (3x-1)(-\text{e}^{-x}) = \text{e}^{-x}\big(3 - 3x + 1\big) = (4-3x)\text{e}^{-x}.\]

En conclusion : pour tout réel \(x\), \(f'(x) = (4-3x)\text{e}^{-x}\).

Question 3 b

3. b) Signe de \(f'\) et tableau de variations.

Une exponentielle est strictement positive, donc \(f'(x)\) a le signe de \(4 - 3x\), fonction affine décroissante qui s'annule en \(x = \dfrac{4}{3}\) : elle est positive avant, négative après.

Le maximum vaut \(f\left(\dfrac{4}{3}\right) = \left(3 \times \dfrac{4}{3} - 1\right)\text{e}^{-\frac{4}{3}} + 2 = 3\text{e}^{-\frac{4}{3}} + 2 \approx 2{,}79\).

En conclusion : \(f\) est strictement croissante sur \(\left]-\infty ; \frac{4}{3}\right]\), strictement décroissante sur \(\left[\frac{4}{3} ; +\infty\right[\), avec un maximum \(3\text{e}^{-\frac{4}{3}} + 2\).

4. a) Unicité de la solution de \(f(x) = 0\).

Sur \(\left[\frac{4}{3} ; +\infty\right[\) : \(f\) décroît vers sa limite 2, donc \(f(x) \gt 2\) pour tout \(x\) de cet intervalle (on peut aussi le voir directement : \(3x - 1 \gt 0\) donc \(f(x) = (3x-1)\text{e}^{-x} + 2 \gt 2\)). L'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.

Sur \(\left]-\infty ; \frac{4}{3}\right]\) : \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante ; elle part de \(-\infty\) et atteint \(3\text{e}^{-\frac{4}{3}} + 2 \gt 0\). Le nombre 0 est compris entre ces deux valeurs ; d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation \(f(x) = 0\) a une unique solution sur cet intervalle.

En conclusion : l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\), et \(\alpha \lt \frac{4}{3}\).

Question 4 b

4. b) Valeur approchée de \(\alpha\).

Ainsi, on a \(f(0) = -1 + 2 = 1 \gt 0\) et \(f(-1) = -4\text{e} + 2 \approx -8{,}87 \lt 0\), donc \(-1 \lt \alpha \lt 0\). En affinant avec le tableau de valeurs de la calculatrice : \(f(-0{,}22) \approx -0{,}068\) et \(f(-0{,}20) \approx 0{,}046\), puis \(f(-0{,}21) \approx -0{,}011\). Donc \(-0{,}21 \lt \alpha \lt -0{,}20\), et le solveur donne \(\alpha \approx -0{,}2081\).

En conclusion : \(\alpha \approx -0{,}21\) à \(10^{-2}\) près.

4. c) Tableau de signes de \(f\).

\(f\) est croissante sur \(\left]-\infty ; \frac{4}{3}\right]\) et s'annule en \(\alpha\) : elle est négative avant \(\alpha\), positive entre \(\alpha\) et \(\frac{4}{3}\). Au-delà, on a vu que \(f(x) \gt 2\).

En conclusion : \(f(x) \lt 0\) sur \(]-\infty ; \alpha[\), \(f(\alpha) = 0\) et \(f(x) \gt 0\) sur \(]\alpha ; +\infty[\).

4. d) Aire du domaine entre \(x = 0\) et \(x = 2\).

Comme \(\alpha \lt 0\), la fonction \(f\) est positive sur \([0 ; 2]\). L'aire cherchée, en unités d'aire, est donc l'intégrale \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\text{d}x\), que l'on calcule avec la primitive \(F\) :

\[F(2) = (-6-2)\text{e}^{-2} + 4 = 4 - 8\text{e}^{-2}, \qquad F(0) = (0-2)\text{e}^{0} + 0 = -2.\]

\[\mathcal{A} = F(2) - F(0) = 4 - 8\text{e}^{-2} + 2 = 6 - 8\text{e}^{-2} \approx 4{,}92.\]

Contrôle de cohérence : sur \([0 ; 2]\), \(f\) varie entre 1 et environ \(2{,}79\), donc l'aire doit se situer entre \(2\) et \(5{,}6\) ; c'est bien le cas.

En conclusion : l'aire vaut \(6 - 8\text{e}^{-2} \approx 4{,}92\) unités d'aire.

Question 5

5. Montrer que \((3x-1)\text{e}^{-x} + 2 \leqslant 4x + 1\) pour tout réel \(x\).

Alors, on étudie l'écart entre la tangente et la courbe : pour tout réel \(x\), on pose \(g(x) = 4x + 1 - f(x) = 4x - 1 - (3x-1)\text{e}^{-x}\). Il s'agit de prouver que \(g(x) \geqslant 0\).

\(g\) est dérivable et \(g'(x) = 4 - f'(x) = 4 - (4-3x)\text{e}^{-x}\). En dérivant encore : \(g''(x) = 3\text{e}^{-x} + (4-3x)\text{e}^{-x} = (7-3x)\text{e}^{-x}\).

• Sur \(\left]-\infty ; \frac{7}{3}\right]\), \(g''(x) \geqslant 0\), donc \(g'\) est croissante ; comme \(g'(0) = 4 - 4 = 0\), on a \(g'(x) \lt 0\) pour \(x \lt 0\) et \(g'(x) \gt 0\) pour \(0 \lt x \leqslant \frac{7}{3}\).
• Sur \(\left[\frac{7}{3} ; +\infty\right[\), \(4 - 3x \lt 0\), donc \((4-3x)\text{e}^{-x} \lt 0\) et \(g'(x) \gt 4 \gt 0\).

Ainsi \(g\) est décroissante sur \(]-\infty ; 0]\) et croissante sur \([0 ; +\infty[\) : elle atteint son minimum en 0, et ce minimum vaut \(g(0) = -1 - (-1) \times 1 = 0\). Donc \(g(x) \geqslant 0\) pour tout réel \(x\).

Remarque : \(g'' = -f''\), donc \(f\) est concave sur \(\left]-\infty ; \frac{7}{3}\right]\) ; la concavité seule ne suffit pas, car \(f\) devient convexe au-delà de \(\frac{7}{3}\), d'où l'intérêt d'étudier \(g\) sur tout \(\mathbb{R}\).

En conclusion : pour tout réel \(x\), \((3x-1)\text{e}^{-x} + 2 \leqslant 4x + 1\) ; la courbe \(\mathcal{C}_f\) est toujours sous sa tangente en 0.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2026, France, septembre, jour 2) 5 points

Vrai ou faux : équation différentielle, intégration par parties, inéquation logarithmique, suite homographique, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

1. Affirmation 1 : \(f(x) = (x-2)\text{e}^{x}\) est solution de (E).

Puis on calcule \(f'(x) - 2f(x)\) et on le compare au second membre. Par dérivée d'un produit, \(f'(x) = \text{e}^{x} + (x-2)\text{e}^{x} = (x-1)\text{e}^{x}\). Donc :

\[f'(x) - 2f(x) = (x-1)\text{e}^{x} - 2(x-2)\text{e}^{x} = (-x+3)\text{e}^{x}.\]

Ainsi, on obtient \((3-x)\text{e}^{x}\), qui est l'opposé de \((x-3)\text{e}^{x}\). Par exemple en \(x = 0\) : \(f'(0) - 2f(0) = 3\), alors que le second membre vaut \(-3\).

En conclusion : l'affirmation 1 est fausse.

2. Affirmation 2 : l'intégrale vaut \(-4\pi\).

Alors, on pose \(u(x) = 2x + 1\), \(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = \cos(x)\), \(v(x) = \sin(x)\) ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([0 ; \pi]\). La formule d'intégration par parties donne :

\[\int_0^{\pi} (2x+1)\cos(x)\,\text{d}x = \Big[(2x+1)\sin(x)\Big]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} 2\sin(x)\,\text{d}x.\]

Le crochet est nul car \(\sin(\pi) = \sin(0) = 0\). Ensuite \(\displaystyle\int_0^{\pi} 2\sin(x)\,\text{d}x = \Big[-2\cos(x)\Big]_0^{\pi} = 2 + 2 = 4\).

L'intégrale vaut donc \(0 - 4 = -4\), et non \(-4\pi\).

En conclusion : \(\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\,\text{d}x = -4\) ; l'affirmation 2 est fausse.

3. Affirmation 3 : les solutions sur \(]7 ; +\infty[\) forment \([8 ; +\infty[\).

Vérifions d'abord que les deux logarithmes existent sur \(]7 ; +\infty[\). Le trinôme \(2x^2 - 6x - 56 = 2(x^2 - 3x - 28) = 2(x-7)(x+4)\) est strictement positif pour \(x \gt 7\) ; et \(4x - 8 \gt 0\) dès que \(x \gt 2\).

La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\), l'inéquation équivaut sur \(]7 ; +\infty[\) à \(2x^2 - 6x - 56 \geqslant 4x - 8\), soit \(2x^2 - 10x - 48 \geqslant 0\), soit en divisant par 2 : \(x^2 - 5x - 24 \geqslant 0\).

Ce trinôme se factorise en \((x-8)(x+3)\) (discriminant \(25 + 96 = 121 = 11^2\), racines \(-3\) et 8). Il est positif à l'extérieur des racines. Pour \(x \gt 7\), on a \(x + 3 \gt 0\), donc le signe est celui de \(x - 8\) : l'inéquation est vérifiée si et seulement si \(x \geqslant 8\).

En conclusion : l'ensemble des solutions est \([8 ; +\infty[\) ; l'affirmation 3 est vraie.

Question 4

4. Affirmation 4 : \((v_n)\) est arithmétique.

Par ailleurs, on exprime \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\). Pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1} = \frac{2}{u_{n+1}} = 2 \times \frac{5u_n + 3}{3u_n} = \frac{10u_n}{3u_n} + \frac{6}{3u_n} = \frac{10}{3} + \frac{2}{u_n} = v_n + \frac{10}{3}.\]

La différence \(v_{n+1} - v_n\) est constante, égale à \(\dfrac{10}{3}\). De plus \(v_0 = \dfrac{2}{1} = 2\).

En conclusion : \((v_n)\) est arithmétique de raison \(\frac{10}{3}\) et de premier terme 2 ; l'affirmation 4 est vraie.

5. Affirmation 5 : minoration par \(0{,}97\).

Soit \(Z\) le nombre de 6 obtenus. Les 3 600 lancers sont identiques et indépendants, et chacun donne un 6 avec la probabilité \(\frac{1}{6}\) : \(Z\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}\left(3600 ; \frac{1}{6}\right)\).

Son espérance vaut \(E(Z) = 3600 \times \frac{1}{6} = 600\) et sa variance \(V(Z) = 3600 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 500\).

L'intervalle \(]450 ; 750[\) est centré sur 600 et de demi-largeur 150 : l'événement « \(450 \lt Z \lt 750\) » est l'événement « \(|Z - 600| \lt 150\) », contraire de « \(|Z - 600| \geqslant 150\) ». L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne :

\[P(|Z - 600| \geqslant 150) \leqslant \frac{V(Z)}{150^2} = \frac{500}{22500} = \frac{1}{45}.\]

\[\text{Donc} \quad P(450 \lt Z \lt 750) \geqslant 1 - \frac{1}{45} = \frac{44}{45} \approx 0{,}978 \geqslant 0{,}97.\]

En conclusion : la probabilité est au moins égale à \(\frac{44}{45} \approx 0{,}978\) ; l'affirmation 5 est vraie.

Corrigé de l’exercice 4 (bac 2026, France, septembre, jour 2) 5 points

Géométrie dans l'espace : vecteur normal, équation de plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal, volume du tétraèdre, distance minimale

Partie A

1. R, S et T ne sont pas alignés.

Ensuite, on compare deux vecteurs issus de R : \(\overrightarrow{\text{RS}}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{RT}}\begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}\).

S'ils étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{\text{RS}} = k\overrightarrow{\text{RT}}\). La première coordonnée impose \(0 = 2{,}5k\), donc \(k = 0\) ; mais alors la deuxième donnerait \(3 = 0\), ce qui est faux.

En conclusion : \(\overrightarrow{\text{RS}}\) et \(\overrightarrow{\text{RT}}\) ne sont pas colinéaires, donc R, S et T ne sont pas alignés.

2. a) \(\vec{n}\) est normal au plan (RST).

Un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Alors, on calcule les produits scalaires :

\[\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{RS}} = -10 \times 0 + 4 \times 3 + 3 \times (-4) = 0, \qquad \vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{RT}} = -10 \times 2{,}5 + 4 \times 7 + 3 \times (-1) = -25 + 28 - 3 = 0.\]

En conclusion : \(\vec{n}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{\text{RS}}\) et \(\overrightarrow{\text{RT}}\), non colinéaires, donc \(\vec{n}\) est normal au plan (RST).

2. b) Équation cartésienne de (RST).

Le plan a une équation de la forme \(-10x + 4y + 3z + d = 0\). Le point \(\text{R}(1 ; 0 ; 6)\) lui appartient : \(-10 + 0 + 18 + d = 0\), d'où \(d = -8\). Contrôle avec S : \(-10 + 12 + 6 - 8 = 0\) ; avec T : \(-35 + 28 + 15 - 8 = 0\).

En conclusion : (RST) a pour équation \(-10x + 4y + 3z - 8 = 0\).

Question 3 a

3. a) A n'appartient pas à (RST).

Puis on remplace par les coordonnées de \(\text{A}(-2{,}5 ; 8 ; 4{,}5)\) :

\[-10 \times (-2{,}5) + 4 \times 8 + 3 \times 4{,}5 - 8 = 25 + 32 + 13{,}5 - 8 = 62{,}5 \neq 0.\]

En conclusion : les coordonnées de A ne vérifient pas l'équation, donc A n'appartient pas au plan (RST).

3. b) Représentation paramétrique de \(d_1\).

La droite \(d_1\) est orthogonale au plan (RST), donc le vecteur normal \(\vec{n}\) en est un vecteur directeur ; elle passe par A.

En conclusion : \(d_1 : \begin{cases} x = -2{,}5 - 10t \\ y = 8 + 4t \\ z = 4{,}5 + 3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}\).

3. c) Coordonnées du projeté orthogonal H.

H est le point d'intersection de \(d_1\) et du plan (RST). Ensuite, on injecte la représentation paramétrique dans l'équation du plan :

\[-10(-2{,}5 - 10t) + 4(8 + 4t) + 3(4{,}5 + 3t) - 8 = 0 \iff 62{,}5 + 125t = 0 \iff t = -0{,}5.\]

Pour \(t = -0{,}5\) : \(x = -2{,}5 + 5 = 2{,}5\), \(y = 8 - 2 = 6\), \(z = 4{,}5 - 1{,}5 = 3\).

En conclusion : H a bien pour coordonnées \((2{,}5 ; 6 ; 3)\).

Question 4 a

4. a) RST est rectangle en S.

Alors, on calcule le produit scalaire des deux côtés issus de S : \(\overrightarrow{\text{SR}}\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{ST}}\begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\).

\[\overrightarrow{\text{SR}} \cdot \overrightarrow{\text{ST}} = 0 \times 2{,}5 + (-3) \times 4 + 4 \times 3 = 0.\]

En conclusion : les droites (SR) et (ST) sont perpendiculaires en S, donc le triangle RST est rectangle en S.

4. b) Volume du tétraèdre ARST.

Par ailleurs, on prend pour base le triangle RST ; la hauteur correspondante est la distance de A au plan (RST), c'est-à-dire AH.

• \(\text{SR} = \sqrt{0 + 9 + 16} = 5\) ;
• \(\text{ST} = \sqrt{6{,}25 + 16 + 9} = \sqrt{31{,}25}\) ;
• \(\overrightarrow{\text{AH}}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}\), donc \(\text{AH} = \sqrt{25 + 4 + 2{,}25} = \sqrt{31{,}25}\).

Le triangle étant rectangle en S, son aire est \(\dfrac{\text{SR} \times \text{ST}}{2} = \dfrac{5\sqrt{31{,}25}}{2}\). D'où :

\[V = \frac{1}{3} \times \frac{5\sqrt{31{,}25}}{2} \times \sqrt{31{,}25} = \frac{5 \times 31{,}25}{6} = \frac{156{,}25}{6} = \frac{625}{24}.\]

Les longueurs sont en centimètres (unité du repère), le volume est donc en cm³.

En conclusion : le volume du tétraèdre ARST est \(\frac{625}{24}\) cm³, soit environ 26 cm³.

Partie B

1. Montrer que \(\text{AM}^2 = 21s^2 + 24s + 21\).

Les coordonnées de \(\overrightarrow{\text{AM}}\) sont les différences des coordonnées de M et de A :

\[\overrightarrow{\text{AM}}\begin{pmatrix} -4{,}5 + s + 2{,}5 \\ 4 - 4s - 8 \\ 5{,}5 - 2s - 4{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s - 2 \\ -4s - 4 \\ 1 - 2s \end{pmatrix}.\]

Le repère étant orthonormé :

\[\text{AM}^2 = (s-2)^2 + (-4s-4)^2 + (1-2s)^2 = (s^2 - 4s + 4) + (16s^2 + 32s + 16) + (4s^2 - 4s + 1) = 21s^2 + 24s + 21.\]

En conclusion : \(\text{AM}^2 = 21s^2 + 24s + 21\).

2. Point M de \(d_2\) pour lequel AM est minimale.

AM est positive, donc AM est minimale exactement quand \(\text{AM}^2\) l'est. Le trinôme \(21s^2 + 24s + 21\) a un coefficient \(21 \gt 0\) : il atteint son minimum en \(s = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{24}{42} = -\dfrac{4}{7}\).

Ensuite, on remplace \(s\) par \(-\dfrac{4}{7}\) dans la représentation de \(d_2\) :

\[x = -\frac{9}{2} - \frac{4}{7} = -\frac{71}{14}, \qquad y = 4 + \frac{16}{7} = \frac{44}{7}, \qquad z = \frac{11}{2} + \frac{8}{7} = \frac{93}{14}.\]

Attention au signe pour \(z\) : \(z = 5{,}5 - 2s\) avec \(s = -\frac{4}{7}\) donne \(5{,}5 + \frac{8}{7}\). La distance minimale vaut alors \(\sqrt{\frac{99}{7}} \approx 3{,}76\) cm.

En conclusion : AM est minimale pour \(\text{M}\left(-\frac{71}{14} ; \frac{44}{7} ; \frac{93}{14}\right)\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Pour une probabilité « au moins un », passer par l'événement contraire, puis résoudre \(q^n \lt \varepsilon\) au logarithme en retournant l'inégalité car \(\ln(q) \lt 0\).
• Une suite croissante et majorée converge ; quand \(p_n\) est une probabilité, le majorant 1 est immédiat.
• Pour lever la forme indéterminée \(x\text{e}^{-x}\), écrire \(\frac{x}{\text{e}^{x}}\) et utiliser les croissances comparées.
• Pour comparer une courbe à une tangente sur tout \(\mathbb{R}\), étudier la différence \(g(x)\) ; la concavité seule ne suffit pas si elle change de sens.
• Avant de conclure un calcul d'aire ou de coordonnées, vérifier l'ordre de grandeur et les signes : une aire négative ou un point hors de la droite signalent une erreur.
• Bienaymé-Tchebychev s'applique en reformulant « strictement entre » comme un écart à l'espérance \(|Z - E(Z)| \lt t\).

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Présentation du corrigé du bac 2026, France, septembre, jour 2

Cette correction complète du bac 2026, France, septembre, jour 2 du 9 septembre 2026 reprend les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) porte sur : loi binomiale, logarithme et seuil, script Python, probabilités totales, récurrence et suite convergente. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) traite : fonction exponentielle : limites, croissances comparées, variations, théorème des valeurs intermédiaires, aire et primitive, position courbe-tangente. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) aborde : vrai ou faux : équation différentielle, intégration par parties, inéquation logarithmique, suite homographique, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) traite : géométrie dans l'espace : vecteur normal, équation de plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal, volume du tétraèdre, distance minimale.

Pour tirer profit de cette correction, traitez d'abord le sujet en temps limité. Puis corrigez-vous au stylo d'une autre couleur, question par question. Ainsi, vous repérez vite les chapitres à retravailler.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2026, France, septembre, jour 2

Dans un exercice de suites, calculez d'abord les premiers termes à la main. Ainsi, vous devinez le sens de variation avant de le démontrer par récurrence. En probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. Pour une question de géométrie dans l'espace, faites un croquis même approximatif. En effet, il aide à voir si un point, une droite ou un plan est bien placé.

Avant tout, gardez sous la main l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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