Corrigé du brevet de maths 2010 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2010 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé Nord 2010
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Nord 2010 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Calculs numériques » (exercice 1 de la partie numérique). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Probabilités avec des vis » (exercice 2 de la partie numérique). Puis le corrigé explique « Cylindre et masse volumique » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, la correction reprend « PGCD et plaques carrées » (exercice 2 de géométrie). En outre, tu lis la démarche complète pour « Pythagore, cosinus et Thalès » (exercice 3 de géométrie).
Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Devis de déménagement et fonctions » (partie 1). Enfin, le corrigé explique « Horaire et vitesse moyenne » (partie 2).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Nord 2010 sont les fractions, les racines carrées, les équations, les probabilités et le théorème de Pythagore, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé Nord 2010)
Corrigé de l’exercice 1 : sept calculs indépendants
1. D’abord, on décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers : \(84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7\) et \(126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7\).
Les facteurs communs sont 2, 3 et 7, c’est-à-dire \(2 \times 3 \times 7 = 42\). On simplifie par 42 :
\[\dfrac{84}{126} = \dfrac{42 \times 2}{42 \times 3} = \dfrac{2}{3}\]
Comme 2 et 3 n’ont aucun diviseur commun autre que 1, la fraction est irréductible : \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{2}{3}\).
2. On regroupe d’un côté les nombres ordinaires, de l’autre les puissances de 10 :
\[\dfrac{6 \times 10^{12} \times 35 \times 10^{-4}}{14 \times 10^3} = \dfrac{6 \times 35}{14} \times \dfrac{10^{12} \times 10^{-4}}{10^3} = \dfrac{210}{14} \times 10^{12 – 4 – 3} = 15 \times 10^{5}\]
Attention, \(15 \times 10^5\) n’est pas encore une écriture scientifique : le premier facteur doit être compris entre 1 et 10 (10 exclu). Comme \(15 = 1{,}5 \times 10\), on obtient \(15 \times 10^5 = 1{,}5 \times 10^1 \times 10^5\), donc l’écriture scientifique est \(1{,}5 \times 10^{6}\).
3. Ensuite, on fait apparaître \(\sqrt{5}\) dans chaque terme en utilisant \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) pour \(a\) et \(b\) positifs :
\[\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}\]
\[\sqrt{15^2 \times 5} = \sqrt{15^2} \times \sqrt{5} = 15\sqrt{5}\]
\[2\sqrt{45} = 2\sqrt{9 \times 5} = 2 \times 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\]
On réduit ensuite comme avec une lettre : \(2\sqrt{5} – 15\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = (2 – 15 + 6)\sqrt{5}\), d’où \(\sqrt{20} – \sqrt{15^2 \times 5} + 2\sqrt{45} = -7\sqrt{5}\), avec \(a = -7\).
4. Appelle \(x\) le nombre de cartouches achetées. Au magasin A, on paie \(17{,}30x\) euros ; au magasin B, on paie \(14{,}80x + 15\) euros. Les deux tarifs sont identiques quand :
\[17{,}3x = 14{,}8x + 15\]
On retranche \(14{,}8x\) aux deux membres : \(2{,}5x = 15\), puis on divise par 2,5 : \(x = \dfrac{15}{2{,}5} = 6\).
Vérification : \(6 \times 17{,}30 = 103{,}80\) € et \(6 \times 14{,}80 + 15 = 88{,}80 + 15 = 103{,}80\) €. Les deux tarifs sont identiques pour 6 cartouches.
5. Puis on applique l’identité avec \(a = 2x\) et \(b = 3\) :
\[(2x – 3)^2 = (2x)^2 – 2 \times 2x \times 3 + 3^2\]
donc \((2x – 3)^2 = 4x^2 – 12x + 9\).
6. Sous la racine, on calcule d’abord \(5 + 3 = 8\). À la calculatrice : \(\sqrt{8} – 6\sqrt{11} \approx 2{,}828 – 19{,}900 \approx -17{,}071\).
Le chiffre des centièmes est 7, supérieur ou égal à 5 : on arrondit en s’éloignant de zéro. Arrondi au dixième, \(\sqrt{5 + 3} – 6\sqrt{11} \approx -17{,}1\).
7. On reconnaît une différence de deux carrés, car \(25 = 5^2\). On pose \(a = 7x + 2\) et \(b = 5\) :
\[(7x + 2)^2 – 5^2 = \big[(7x + 2) – 5\big]\big[(7x + 2) + 5\big] = (7x – 3)(7x + 7)\]
Alors on obtient \((7x + 2)^2 – 25 = (7x – 3)(7x + 7)\). On peut même aller plus loin en mettant 7 en facteur dans le second facteur : \((7x – 3) \times 7(x + 1) = 7(x + 1)(7x – 3)\).
Corrigé de l’exercice 2 : les vis de l’électricien
1. La première boîte contient \(40 + 60 = 100\) vis, toutes ayant la même chance d’être prises. Il y a 40 issues favorables sur 100 issues possibles, donc la probabilité de prendre une vis à bout rond est \(\dfrac{40}{100} = 0{,}4\), soit 40 %.
2. a. Ensuite, on note R pour « bout rond » et P pour « bout plat », la première lettre désignant la vis de la première boîte. Les tirages possibles sont : (R ; R), (R ; P), (P ; R) et (P ; P). Autrement dit : deux vis à bout rond, deux vis à bout plat, ou une vis de chaque sorte (dans un ordre ou dans l’autre).
b. Dans la deuxième boîte il y a \(38 + 12 = 50\) vis : la probabilité d’y prendre une vis à bout rond est \(\dfrac{38}{50} = 0{,}76\) et celle d’y prendre une vis à bout plat est \(\dfrac{12}{50} = 0{,}24\). Dans la première boîte, ces probabilités valent 0,4 et 0,6.
Les deux tirages se font dans deux boîtes différentes : pour un chemin de l’arbre, on multiplie les probabilités.
- Rond puis plat : \(0{,}4 \times 0{,}24 = 0{,}096\).
- Plat puis rond : \(0{,}6 \times 0{,}76 = 0{,}456\).
Obtenir deux vis différentes, c’est obtenir l’un ou l’autre de ces deux cas, qui ne peuvent pas se produire en même temps : on additionne. \(0{,}096 + 0{,}456 = 0{,}552\).
Comme \(0{,}552 \gt 0{,}5\), l’électricien a bien plus d’une chance sur deux (probabilité 0,552) d’obtenir deux vis différentes.
Activités géométriques (corrigé Nord 2010)
Corrigé de l’exercice 1 : la tige d’acier cylindrique
1. La tige est un cylindre de rayon \(r = 4\) cm et de hauteur \(h = 1{,}5\) m. Puis on met tout dans la même unité : \(h = 150\) cm. Le volume d’un cylindre est l’aire de la base multipliée par la hauteur :
\[V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 4^2 \times 150 = 2\,400\pi\ \text{cm}^3\]
À la calculatrice, \(2\,400\pi \approx 7\,539{,}82\). Le volume de la tige vaut environ 7 540 cm³ (arrondi au cm³).
2. Une masse volumique de 7,85 g/cm³ signifie que chaque cm³ d’acier pèse 7,85 g. La masse est donc proportionnelle au volume. En gardant la valeur exacte du volume :
\[m = 2\,400\pi \times 7{,}85 \approx 59\,187{,}6\ \text{g}\]
Comme 1 kg = 1 000 g, cela fait environ 59,19 kg. La tige pèse environ 59 kg, ce qui explique les difficultés du maçon. (Avec le volume arrondi, \(7\,540 \times 7{,}85 = 59\,189\) g : le résultat arrondi au kg est le même.)
Corrigé de l’exercice 2 : les plaques isolantes et le PGCD
1. On utilise l’algorithme d’Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu’à obtenir un reste nul.
\[330 = 1 \times 270 + 60\]
\[270 = 4 \times 60 + 30\]
\[60 = 2 \times 30 + 0\]
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(330 ; 270) = 30.
2. Pour ne pas avoir de chutes, le côté d’une plaque carrée doit diviser à la fois 270 et 330 ; pour qu’elle soit la plus grande possible, il faut prendre le plus grand de ces diviseurs communs, c’est-à-dire le PGCD. Les plaques sont donc des carrés de 30 cm de côté.
Sur la largeur : \(330 \div 30 = 11\) plaques ; sur la hauteur : \(270 \div 30 = 9\) plaques. Il faut donc \(11 \times 9 =\) 99 plaques.
Corrigé de l’exercice 3 (Nord 2010) : la plaque de bois du menuisier
1. Si le triangle ABC était rectangle, ce serait en B, car l’hypoténuse est le plus long côté, ici [AC]. Ensuite, on compare séparément :
\[AC^2 = 140^2 = 19\,600\]
\[AB^2 + BC^2 = 115^2 + 80^2 = 13\,225 + 6\,400 = 19\,625\]
Puis on a \(AB^2 + BC^2 \neq AC^2\). D’après le théorème de Pythagore (plus précisément sa contraposée), si ABC était rectangle en B, on aurait l’égalité. Donc le triangle ABC n’est pas rectangle. Remarque : la différence est petite (25), l’angle en B est presque droit, c’est pour cela qu’il faut calculer et non se fier au dessin.
2. Par construction, (AD) est perpendiculaire à (EC), donc le triangle ACD est rectangle en D. Dans ce triangle, pour l’angle \(\widehat{ACD}\) : [CD] est le côté adjacent et [AC] est l’hypoténuse. Alors on utilise le cosinus :
\[\cos \widehat{ACD} = \dfrac{CD}{AC} = \dfrac{100}{140} = \dfrac{5}{7}\]
La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos) donne \(\widehat{ACD} \approx 44{,}415^\circ\), soit \(\widehat{ACD} \approx 44{,}4^\circ\) au dixième de degré.
3. Les points C, A, F sont alignés, ainsi que les points C, D, E, et ils sont dans le même ordre (A entre C et F, D entre C et E). Ensuite, on calcule :
\[CF = CA + AF = 140 + 28 = 168\ \text{cm} \quad \text{et} \quad CE = CD + DE = 100 + 20 = 120\ \text{cm}\]
\[\dfrac{CA}{CF} = \dfrac{140}{168} = \dfrac{5}{6} \quad \text{et} \quad \dfrac{CD}{CE} = \dfrac{100}{120} = \dfrac{5}{6}\]
Les deux rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AD) et (FE) sont parallèles.
Problème
Corrigé de la partie 1 : comparer deux devis de déménagement
Le graphique ci-dessous réunit tous les tracés demandés : la droite de la société A (en bleu, déjà donnée), celle de la société B (en vert, à tracer) et les lectures en pointillés.
1. a. On part de 20 sur l’axe des volumes, on monte verticalement jusqu’à la droite de la société A, puis on se déplace horizontalement jusqu’à l’axe des coûts. Puis on lit un coût de 600 € pour 20 m³.
b. La représentation graphique du coût est une droite qui passe par l’origine du repère. Une telle droite représente une situation de proportionnalité : oui, le coût est proportionnel au volume.
La fonction \(g\) est donc linéaire : \(g(x) = ax\). Avec le point lu à la question a, \(g(20) = 600\), donc \(20a = 600\) et \(a = 30\). On vérifie avec un autre point du graphique : pour 80 m³ on lit 2 400 €, et \(30 \times 80 = 2\,400\). Ainsi \(g(x) = 30x\) (30 € par m³).
2. a. Ensuite, on remplace \(x\) par 80 : \(f(80) = 10 \times 80 + 800 = 800 + 800 =\) 1 600. Cela signifie qu’avec l’entreprise B, déménager 80 m³ coûte 1 600 €.
b. On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 3\,500\) :
\[10x + 800 = 3\,500\]
\[10x = 2\,700\]
\[x = 270\]
L’antécédent de 3 500 par \(f\) est 270 : avec l’entreprise B, un volume de 270 m³ coûte 3 500 €.
c. \(f\) est une fonction affine, donc sa représentation graphique est une droite ; deux points suffisent pour la tracer. Puis on prend \(f(0) = 800\), soit le point (0 ; 800), et le point (80 ; 1 600) trouvé à la question a. Alors on trace la droite passant par (0 ; 800) et (80 ; 1 600) (en vert sur le graphique).
3. Ensuite, on trace la verticale d’abscisse 60. Elle coupe la droite de la société B au point d’ordonnée 1 400 et la droite de la société A au point d’ordonnée 1 800 : la droite de B est plus basse. Pour 60 m³, B coûte 1 400 € et A coûte 1 800 € (ce que confirment les calculs \(f(60) = 10 \times 60 + 800 = 1\,400\) et \(g(60) = 30 \times 60 = 1\,800\)). M. Dubois a intérêt à choisir la société B, qui lui fait économiser 400 €.
Puis on peut remarquer que les deux droites se croisent au point (40 ; 1 200) : en dessous de 40 m³, la société A est moins chère, au-delà c’est la société B.
Corrigé de la partie 2 : horaire d’arrivée et vitesse moyenne
1. Tout d’abord, on additionne les durées : la pause de 80 minutes vaut 1 h 20 min. Durée totale : 2 h 30 min + 1 h 20 min + 1 h 45 min = 4 h 95 min. Comme 95 min = 1 h 35 min, cela fait 5 h 35 min.
Parti à 10 h 00, M. Dubois arrive à 10 h 00 + 5 h 35 min, soit à 15 h 35.
2. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée, la durée devant être exprimée en heures décimales : 6 h 30 min = 6,5 h (30 minutes, c’est une demi-heure).
\[v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{442}{6{,}5} = 68\]
Le camion a roulé en moyenne à 68 km/h.
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Comment utiliser le corrigé corrigé Nord 2010
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Pour les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. En ce qui concerne les équations, garde l’équilibre des deux membres à chaque étape, ainsi tu évites les erreurs de signe. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Nord 2010 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Nord 2010
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2010 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2010. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, les équations et les probabilités. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Nord 2010
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
Les autres corrigés du brevet 2010
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