Corrigé du brevet de maths 2010 : France
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2010 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé brevet 2010
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé brevet 2010 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Programme de calcul d’Arthur » (activités numériques). Ensuite, le corrigé explique « Volume de l’eau qui gèle » (exercice 1 de la partie numérique). Puis la correction reprend « Octogone dans un carré » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Pyramide SABC et patron » (activités géométriques). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Peinture du local » (exercice 1 de géométrie).
Ensuite, le corrigé explique « Dallage et PGCD » (exercice 2 de géométrie). Enfin, la correction reprend « Tarifs de deux grossistes » (problème).
Ainsi, le corrigé corrigé brevet 2010 te fait revoir la proportionnalité, le théorème de Pythagore, les pyramides et les cônes, les aires et les diviseurs communs, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé brevet 2010)
Corrigé de l’exercice 1 : programme de calcul
1. a. D’abord, on applique les étapes une par une avec le nombre 2 :
\[ 2 \times (-2) = -4 \quad ; \quad -4 + 5 = 1 \quad ; \quad 1 \times 5 = 5 \]
Ensuite, on obtient bien 5.
b. Avec le nombre 3 :
\[ 3 \times (-2) = -6 \quad ; \quad -6 + 5 = -1 \quad ; \quad -1 \times 5 = -5 \]
Le résultat est \(-5\).
2. Appelons \(x\) le nombre de départ. Le programme donne successivement \(-2x\), puis \(-2x+5\), puis \(5(-2x+5)\). On cherche \(x\) tel que \(5(-2x+5)=0\).
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est nul ; comme \(5 \neq 0\), il faut \(-2x+5=0\), c’est-à-dire \(-2x=-5\), donc \(x=\dfrac{5}{2}=2{,}5\).
Vérification : \(2{,}5 \times (-2) = -5\), puis \(-5+5=0\), puis \(0 \times 5 = 0\). Il faut choisir 2,5 au départ.
3. Pour un nombre de départ \(x\), le programme donne \(5(-2x+5)\). On développe avec la distributivité :
\[ 5(-2x+5) = -10x + 25 \]
Puis on développe l’expression d’Arthur avec l’identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) :
\[ (x-5)^2 – x^2 = x^2 – 10x + 25 – x^2 = -10x + 25 \]
Les deux expressions sont égales pour tout nombre \(x\) : Arthur a raison. On peut contrôler avec \(x=2\) : \((2-5)^2-2^2 = 9-4 = 5\), c’est bien le résultat de la question 1. a.
Corrigé de l’exercice 2 : l’eau qui gèle
1. a. On part de 6 sur l’axe horizontal, on monte jusqu’au segment, puis on se déplace horizontalement vers l’axe vertical : on lit un peu moins de 6,5. Six litres d’eau donnent environ 6,5 litres de glace (la valeur exacte est \(6 \times 1{,}08 = 6{,}48\) L).
b. Cette fois on part de 10 sur l’axe vertical, on va horizontalement jusqu’au segment, puis on descend sur l’axe horizontal : on lit environ 9,3. Il faut mettre à geler environ 9,3 litres d’eau (par le calcul, \(10 \div 1{,}08 \approx 9{,}26\) L).
2. La représentation graphique est un segment de droite qui passe par l’origine du repère. Or une situation de proportionnalité se représente exactement par des points alignés avec l’origine. Donc oui, le volume de glace est proportionnel au volume d’eau liquide.
3. En gelant, 10 litres d’eau gagnent \(10{,}8 – 10 = 0{,}8\) litre. Alors on rapporte cette augmentation au volume de départ :
\[ \dfrac{0{,}8}{10} = 0{,}08 = \dfrac{8}{100} \]
Le volume de l’eau augmente de 8 % en gelant. Cela correspond au coefficient multiplicateur \(1{,}08 = 1 + \dfrac{8}{100}\).
Activités géométriques (corrigé brevet 2010)
Corrigé de l’exercice 1 : octogone et disque
1. Chaque côté du carré mesure 9 cm et il est partagé en trois segments codés de même longueur, donc chacun mesure \(9 \div 3 = 3\) cm. Construction : trace le carré ABCD de 9 cm de côté (équerre et règle), place sur chaque côté les points à 3 cm et à 6 cm d’un sommet (I et J sur [AB], K et L sur [BC], M et N sur [CD], O et P sur [DA], dans l’ordre de la figure), puis relie I, J, K, L, M, N, O, P. La figure ci-dessous, réduite, montre aussi le cercle demandé au 3. a.
2. a. ABCD est un carré, donc l’angle \(\widehat{\text{JBK}}\) est droit et le triangle JBK est rectangle en B, avec JB = BK = 3 cm. D’après le théorème de Pythagore :
\[ \text{JK}^2 = \text{JB}^2 + \text{BK}^2 = 3^2 + 3^2 = 18 \]
Donc \(\text{JK} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\) cm.
b. Un octogone régulier a ses huit côtés de même longueur. Ici IJ = 3 cm (c’est un des segments codés de [AB]) alors que JK ≈ 4,24 cm. Deux côtés consécutifs n’ont pas la même longueur : l’octogone IJKLMNOP n’est pas régulier.
c. L’octogone s’obtient en retirant au carré ses quatre coins. Chaque coin est un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm (AIP, BJK, CLM, DNO), d’aire \(\dfrac{3 \times 3}{2} = 4{,}5\) cm². Donc :
\[ \mathcal{A}_{\text{octogone}} = 9^2 – 4 \times 4{,}5 = 81 – 18 = 63 \]
L’aire de l’octogone est 63 cm².
3. a. Les diagonales [AC] et [BD] du carré se coupent en leur milieu S, le centre du carré. Ensuite, on trace le cercle de centre S et de rayon \(9 \div 2 = 4{,}5\) cm : il touche chaque côté du carré en son milieu (voir la figure du 1.).
b. Le rayon du disque est 4,5 cm, donc son aire est :
\[ \mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times 4{,}5^2 = 20{,}25\pi \approx 63{,}6 \]
Comme \(63{,}6 \gt 63\), oui, l’aire du disque (environ 63,6 cm²) est supérieure à celle de l’octogone (63 cm²), de très peu. On le voit sur la figure : le cercle dépasse légèrement de l’octogone au milieu de ses côtés obliques, mais ne couvre pas les huit sommets.
Corrigé de l’exercice 2 : la pyramide SABC
1. Sur l’annexe 1, le segment [BC] mesure déjà 5,2 cm. Au compas, trace un arc de cercle de centre B et de rayon 2 cm, puis un arc de centre C et de rayon 4,8 cm, du même côté de [BC]. Leur point d’intersection est A ; il reste à tracer [AB] et [AC].
2. Le plus long côté est [BC]. Puis on compare son carré à la somme des carrés des deux autres :
\[ \text{BC}^2 = 5{,}2^2 = 27{,}04 \]
\[ \text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 2^2 + 4{,}8^2 = 4 + 23{,}04 = 27{,}04 \]
On a \(\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2\), donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
3. Le patron comporte quatre faces : la base ABC, les faces SAB et SAC (déjà commencées) et la face SBC qui manque.
La hauteur [SA] est perpendiculaire à la base, donc les triangles SAB et SAC sont rectangles en A. Sur le patron :
- face SAC : on prolonge [BA] au-delà de A et on place un point S à 3 cm de A ; on le relie à C ;
- face SAB : on prolonge [CA] au-delà de A et on place un point S à 3 cm de A ; on le relie à B.
Pour la face SBC, il faut les longueurs SB et SC, que l’on obtient avec le théorème de Pythagore :
\[ \text{SB}^2 = \text{SA}^2 + \text{AB}^2 = 9 + 4 = 13 \quad \text{donc} \quad \text{SB} = \sqrt{13} \approx 3{,}6\ \text{cm} \]
\[ \text{SC}^2 = \text{SA}^2 + \text{AC}^2 = 9 + 23{,}04 = 32{,}04 \quad \text{donc} \quad \text{SC} = \sqrt{32{,}04} \approx 5{,}7\ \text{cm} \]
En pratique, pas besoin de mesurer : prends au compas l’écartement du segment [SB] de la face SAB déjà tracée et reporte-le depuis B, de l’autre côté de [BC] par rapport à A ; fais de même avec [SC] depuis C. Le point d’intersection des deux arcs est le troisième point S, et on trace le triangle SBC.
4. Ensuite, on prend comme base le triangle ABC, rectangle en A. Son aire est :
\[ B = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{2 \times 4{,}8}{2} = 4{,}8\ \text{cm}^2 \]
La hauteur associée est SA = 3 cm. Donc :
\[ V = \dfrac{1}{3} \times 4{,}8 \times 3 = 4{,}8 \]
Le volume de la pyramide SABC est 4,8 cm³.
Problème (corrigé brevet 2010)
Corrigé de la première partie : peinture des murs et du plafond
1. a. Le plafond est un rectangle de 6,40 m sur 5,20 m :
\[ 6{,}4 \times 5{,}2 = 33{,}28 \]
L’aire du plafond est 33,28 m².
b. Un litre couvre 4 m², donc le nombre de litres est l’aire divisée par 4 : \(33{,}28 \div 4 = 8{,}32\). Il faut 8,32 litres de peinture pour le plafond.
2. a. Les quatre murs forment, une fois déroulés, un rectangle dont la longueur est le périmètre du sol et la hauteur 2,80 m :
\[ 2 \times (6{,}4 + 5{,}2) \times 2{,}8 = 23{,}2 \times 2{,}8 = 64{,}96\ \text{m}^2 \]
Il ne faut pas peindre les ouvertures. La porte mesure \(2 \times 0{,}8 = 1{,}6\) m² et chaque baie vitrée \(2 \times 1{,}6 = 3{,}2\) m², soit \(3 \times 3{,}2 = 9{,}6\) m² pour les trois baies. La surface à peindre est donc :
\[ 64{,}96 – 1{,}6 – 9{,}6 = 53{,}76\ \text{m}^2 \]
Comme 53,76 arrondi à l’unité donne 54, la surface de mur à peindre est bien d’environ 54 m².
b. \(53{,}76 \div 4 = 13{,}44\). Il faut 13,44 litres de peinture pour les murs (13,5 L si l’on part de la valeur arrondie 54 m²).
3. Au total, il faut \(8{,}32 + 13{,}44 = 21{,}76\) litres. Un pot contient 5 litres : 4 pots ne donnent que 20 litres, c’est insuffisant, alors que 5 pots donnent 25 litres. L’entreprise doit disposer de 5 pots de peinture.
Corrigé de la deuxième partie : dallage du sol
1. Tout d’abord, on applique l’algorithme d’Euclide (divisions successives) :
\[ 640 = 1 \times 520 + 120 \]
\[ 520 = 4 \times 120 + 40 \]
\[ 120 = 3 \times 40 + 0 \]
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(640 ; 520) = 40. On peut le contrôler avec les décompositions \(640 = 2^7 \times 5\) et \(520 = 2^3 \times 5 \times 13\), dont la partie commune est \(2^3 \times 5 = 40\).
2. a. En centimètres, le sol mesure 640 cm sur 520 cm. Pour poser des dalles carrées sans découpe, il faut qu’un nombre entier de dalles tienne exactement dans la longueur et dans la largeur : le côté de la dalle doit être un diviseur commun de 640 et de 520, donc un diviseur de leur PGCD 40.
Parmi 20, 30, 35, 40 et 45, seuls 20 et 40 divisent 40 (30, 35 et 45 ne divisent pas 40 ; par exemple \(640 = 21 \times 30 + 10\)). Puis on peut choisir des dalles de 20 cm ou de 40 cm de côté.
b. Avec des dalles de 40 cm : \(640 \div 40 = 16\) dalles dans la longueur et \(520 \div 40 = 13\) dans la largeur, soit \(16 \times 13 = \) 208 dalles.
Avec des dalles de 20 cm : \(640 \div 20 = 32\) et \(520 \div 20 = 26\), soit \(32 \times 26 = \) 832 dalles.
Contrôle par les aires : \(\dfrac{640 \times 520}{40 \times 40} = 208\) et \(\dfrac{640 \times 520}{20 \times 20} = 832\).
Corrigé de la troisième partie : comparer deux grossistes
1. a. Chez le grossiste A : \(9 \times 48 = 432\). La commande coûte 432 €.
b. Chez le grossiste B, on ajoute la livraison : \(9 \times 42 + 45 = 378 + 45 = 423\). La commande coûte 423 €. Pour 9 paquets, B est donc moins cher.
2. a. Chaque paquet coûte 48 € et la livraison est gratuite : \(\text{PA} = 48n\).
b. Chaque paquet coûte 42 € et on ajoute 45 € une seule fois : \(\text{PB} = 42n + 45\).
3. a. PA est une fonction linéaire de \(n\) : sa représentation est une droite qui passe par l’origine, par exemple par les points (0 ; 0) et (10 ; 480). PB est une fonction affine : sa droite passe par (0 ; 45) et (10 ; 465). Alors on trace ces deux droites dans le repère de l’annexe 2.
b. Les deux prix sont égaux lorsque \(48n = 42n + 45\), soit \(6n = 45\), donc \(n = 7{,}5\) (le prix vaut alors \(48 \times 7{,}5 = 360\) €). Sur le graphique, c’est le point d’intersection des deux droites. Avant ce point, la droite de A est en dessous ; après, c’est celle de B.
Comme on achète un nombre entier de paquets, on vérifie autour de 7,5 : pour 7 paquets, A coûte 336 € et B 339 € ; pour 8 paquets, A coûte 384 € et B 381 €.
Conclusion : jusqu’à 7 paquets, le grossiste A est le plus avantageux ; à partir de 8 paquets, c’est le grossiste B.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé brevet 2010
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
Quant à la proportionnalité, utilise le produit en croix lorsque le coefficient n’est pas simple, puis contrôle l’ordre de grandeur. Dans les questions sur le théorème de Pythagore, commence par nommer l’angle droit, car c’est lui qui désigne l’hypoténuse dans l’égalité. Pour les pyramides et les cônes, calcule d’abord l’aire de la base, ensuite multiplie par la hauteur et divise par 3. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de proportionnalité, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé brevet 2010, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé brevet 2010
Faut-il lire le corrigé corrigé brevet 2010 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2010. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement la proportionnalité, le théorème de Pythagore, les pyramides et les cônes et les aires. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé brevet 2010
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
Les autres corrigés du brevet 2010
- Corrigé du brevet de maths 2010 : France, septembre
- Corrigé du brevet de maths 2010 : Amérique du Nord
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