Centre de symétrie
En bref : Un centre de symétrie est un point par rapport auquel le symétrique de chaque point d’une figure appartient encore à cette figure : un demi-tour autour de lui la laisse inchangée.
5èmeGéométrie plane
Définition : Centre de symétrie
Un centre de symétrie est un point autour duquel on peut faire tourner une figure d’un demi-tour sans qu’elle change d’aspect. Chaque point de la figure a alors son symétrique, de l’autre côté de ce centre, à la même distance, et ce symétrique appartient encore à la figure.
Le centre est le milieu de tout segment qui relie un point à son symétrique. Le parallélogramme en possède un, l’intersection de ses diagonales, ce qui explique que ses côtés opposés soient égaux. Le cercle, le rectangle et le losange en ont aussi un. En revanche, un triangle n’en a jamais.
Comment le reconnaître
- Une figure semble identique quand on la retourne tête en bas, comme un jeu de cartes.
- Les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu.
- Pour chaque point, il en existe un autre exactement à l’opposé, à la même distance du centre.
- L’énoncé demande si une figure est invariante par symétrie centrale.
La méthode
- Chercher le point qui pourrait être le centre, souvent l’intersection de deux segments qui se coupent en leur milieu.
- Choisir un sommet, tracer la droite qui le joint à ce centre et prolonger du même écartement de l’autre côté.
- Vérifier que le point obtenu est un sommet de la figure, et recommencer avec les autres sommets.
- Conclure que le point est un centre de symétrie si tous les symétriques retombent sur la figure.
Centre de symétrie : exemple corrigé
Énoncé
Dans le parallélogramme \(ABCD\), les diagonales se coupent en \(O\) avec \(OA = 3{,}4\) cm et \(OB = 2{,}7\) cm. Quel est le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) ? Calculer \(AC\) et \(BD\).
Corrigé
\(O\) est le milieu de \([AC]\) : le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) est donc C, et \(OC = OA = 3{,}4\) cm.
On obtient \(AC = 2 \times 3{,}4 = 6{,}8\) cm. De même, \(O\) est le milieu de \([BD]\) et \(BD = 2 \times 2{,}7 = 5{,}4\) cm. Les longueurs sont AC = 6,8 cm et BD = 5,4 cm.
À toi de jouer
Question 1
Un cercle possède-t-il un centre de symétrie ?
Voir la réponse
Oui : c’est son centre, car le symétrique d’un point du cercle par rapport au centre est un autre point du cercle à la même distance.
Question 2
Un triangle quelconque a-t-il un centre de symétrie ?
Voir la réponse
Non : le symétrique d’un sommet ne tomberait sur aucun autre sommet, la figure ne serait pas conservée.
Ne pas confondre Centre de symétrie et Axe de symétrie
Un axe est une droite : on plie la figure le long de cette droite et les deux moitiés se superposent. Un centre est un point : on tourne la figure d’un demi-tour autour de lui. Le rectangle possède les deux, alors que le parallélogramme quelconque n’a qu’un centre et aucun axe.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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