Boule
En bref : Une boule est le solide formé de tous les points de l’espace situés à une distance du centre inférieure ou égale au rayon ; son volume vaut quatre tiers de pi fois le rayon au cube.
3èmeGéométrie dans l'espace
Définition : Boule
Une boule de centre \(O\) et de rayon \(r\) contient tous les points de l’espace dont la distance à \(O\) ne dépasse pas \(r\). Sa surface, la sphère, est constituée des points situés exactement à la distance \(r\).
Deux formules sont à connaître : le volume \(V = \dfrac{4}{3} \pi r^3\) et l’aire de la sphère \(A = 4 \pi r^2\). Le rayon est la moitié du diamètre, qu’il faut donc diviser par \(2\) avant de calculer. Toute section de la boule par un plan est un disque ; la plus grande passe par le centre.
Comment le reconnaître
- Le solide est parfaitement rond : ballon, bille, boule de pétanque, planète.
- L’énoncé donne un diamètre ou un rayon et demande un volume en cm³ ou une quantité de peinture.
- Une section par un plan est un disque, dont on cherche le rayon.
- On compare le contenu de plusieurs récipients ronds ou la quantité de matière d’une bille.
La méthode
- Relever le rayon ; si l’énoncé donne le diamètre, le diviser par \(2\).
- Choisir la formule : \(\dfrac{4}{3} \pi r^3\) pour le volume, \(4 \pi r^2\) pour l’aire de la surface.
- Calculer d’abord la puissance de \(r\), puis multiplier par \(\pi\) et par le coefficient.
- Donner la valeur exacte avec \(\pi\), puis la valeur approchée avec l’unité au cube pour un volume.
Boule : exemple corrigé
Énoncé
Une boule de pétanque a un diamètre de \(7{,}2\) cm. Calculer son volume au centimètre cube près, puis l’aire de sa surface au centimètre carré près.
Corrigé
Le rayon vaut \(7{,}2 \div 2 = 3{,}6\) cm. Volume \(= \dfrac{4}{3} \pi \times 3{,}6^3 = \dfrac{4}{3} \pi \times 46{,}656 = 62{,}208\pi \approx 195{,}4\) cm³.
Aire \(= 4 \pi \times 3{,}6^2 = 4 \pi \times 12{,}96 = 51{,}84\pi \approx 162{,}9\) cm². Volume d’environ 195 cm³ et surface d’environ 163 cm².
À toi de jouer
Question 1
Quel est le volume exact d’une boule de rayon \(3\) cm ?
Voir la réponse
\(\dfrac{4}{3} \pi \times 27 = 36\pi\) cm³, soit environ \(113{,}1\) cm³.
Question 2
Quelle est l’aire d’une sphère de rayon \(5\) cm ?
Voir la réponse
\(4 \pi \times 25 = 100\pi\) cm², soit environ \(314{,}2\) cm².
Ne pas confondre Boule et Sphère
La sphère est la surface seule, comme la peau d’une orange ; elle a une aire, pas de volume intérieur. La boule est le solide entier, surface et intérieur. Le ballon est une sphère par sa peau, mais c’est le volume de la boule qui indique sa contenance en air.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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