Sphère
En bref : Une sphère est l’ensemble des points de l’espace situés à une même distance, le rayon, d’un point fixe appelé centre ; la boule est le solide qu’elle enferme.
3èmeGéométrie dans l'espace
Définition : Sphère
Une sphère de centre \(O\) et de rayon \(R\) est la surface formée par tous les points \(M\) tels que \(OM = R\). C’est la peau d’un ballon, tandis que la boule désigne l’ensemble de la matière, peau et intérieur.
Deux formules sont au programme. Son aire est \(\mathcal{A} = 4\pi R^2\), et le volume de la boule est \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\). Si l’on coupe par un plan, la section est un disque ; quand le plan passe par le centre, le cercle obtenu est un grand cercle, de même rayon \(R\).
Comment le reconnaître
- Un énoncé parle d’un ballon, d’une bille, d’une planète ou d’une boule de pétanque dont on connaît le rayon.
- On demande la quantité de matière nécessaire pour couvrir un objet rond, donc une aire.
- On cherche le volume d’air contenu dans un ballon ou le contenu d’un réservoir sphérique.
- Un plan coupe un solide rond et l’on étudie le cercle visible sur la coupe.
La méthode
- Relever le rayon \(R\) ; si le diamètre est donné, le diviser par deux.
- Choisir la formule : \(4\pi R^2\) pour une aire, \(\frac{4}{3}\pi R^3\) pour un volume.
- Remplacer \(R\) par sa valeur dans la formule, en calculant la puissance avant de multiplier.
- Donner la valeur exacte avec \(\pi\), puis l’arrondi demandé avec son unité (cm², cm³).
Sphère : exemple corrigé
Énoncé
Un ballon de basket à la forme d’une sphère de rayon \(12\) cm. Calculer l’aire de sa surface et le volume d’air qu’il contient, arrondis à l’unité.
Corrigé
L’aire vaut \(4\pi \times 12^2 = 4\pi \times 144 = 576\pi \approx 1\,810\) cm².
Le volume vaut \(\frac{4}{3}\pi \times 12^3 = \frac{4}{3}\pi \times 1\,728 = 2\,304\pi\).
Avec \(\pi \approx 3{,}1416\), on obtient environ 7 238 cm³ d’air, et une surface d’environ 1 810 cm².
À toi de jouer
Question 1
Une sphère a un rayon de \(5\) cm. Un plan la coupe à \(3\) cm de son centre. Quel est le rayon de la section ?
Voir la réponse
Par Pythagore, \(r^2 = 5^2 – 3^2 = 16\), donc \(r = 4\) cm.
Question 2
Si le rayon d’une sphère est multiplié par 2, par combien est multipliée son aire ?
Voir la réponse
Par \(2^2 = 4\), car l’aire contient \(R^2\).
Ne pas confondre Sphère et Boule
La sphère est une surface : on peut la peindre, mais on ne peut rien y mettre dedans. La boule est un solide plein : on peut la remplir, la peser. L’aire se calcule pour la sphère, le volume pour la boule, malgré l’usage courant qui mélange les deux mots.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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