cours troisieme

Volumes et sections de solides : cours de maths en 3ème à imprimer en PDF.

Le volume de solides et l’étude de sections de solides à travers un cours de maths en 3ème à télécharger ou à imprimer en PDF. Dans cette leçon l’élève devra connaître par cœur toutes les formulés qui permettent de calculer les volumes de différent solides comme le cube, le pavé droit, le cylindre, le cône de révolution ou la pyramide. Savoir effectuer des conversions et étudier des sections qui amèneront parfois à des situations d’agrandissement ou de réduction en troisième.
En géométrie, une coupe transversale est la forme formée lorsqu’un objet solide est coupé par un plan. Par exemple, si une sphère est coupée par un plan, la section résultante peut être un cercle.

I. Formules des aires de figures et volumes de solides :

1.Formules des aires de figures :

formules aires

2.Formulaire des volumes de solides :

formules volumes

II. Sections planes de surfaces :

Définition :
En géométrie, on appelle section plane  l’intersection entre un solide et un plan.

section solide

1. Section d’une boule par un plan :

Propriété :
La section d’une boule par un plan est un disque .
Lorsque le plan passe par le centre de la boule, la section est un disque de même centre et de même rayon.

section sphère

2.Section d’un pavé droit par un plan

Propriété :
La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle.

section pavé droit

Propriété :
La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle.

section pavé droit

3.Section d’un cylindre de révolution par un plan :

Propriété :
La section d’un cylindre de révolution de rayon R par un plan  parallèle aux bases est un disque de rayon R.

section cylindre

4.Section d’une pyramide par un plan :

Propriété :
La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone ayant la
même forme que la base.

section pyramide

5.Section d’un cône de révolution par un plan :

Propriété :
La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un disque dont le centre appartient à la hauteur de ce cône.

section cône

III. Les agrandissements et les réductions de solides :

Définition :
Considérons une section plane parallèlement à une base.
Nous obtenons une réduction (ou un agrandissement) du solide.
Lorsque deux figures ont la même forme, on peut calculer le coefficient suivant :
Le coefficient de réduction, noté k, est donné par la formule : k=\frac{longueur\,finale}{longueur\,\,initiale} >0.
Propriété :

Considérons un agrandissement (ou une réduction) de rapport k.

  • Si k>1 alors c’est un agrandissement;
  • Si k<1  alors c’est une réduction.
Propriété :

Lors d’un agrandissement (ou d’une réduction) de rapport k :

  •  les longueurs sont multipliées par k ;
  •  les aires sont multipliées par k^2 ;
  •  les volumes sont multipliés par k^3 .

Exemple :

On considère la pyramide de base ABCD et la section IJKL effectuée parallèlement à sa base.

Nous savons que SJ= 6 cm; SB = 10 cm; A_{ABCD}=24\,cm^2.

Calculer l’aire de la section IJKL.

section pyramide

Le coefficient de réduction est k=\frac{SJ}{SB}=\frac{6}{10}=0,6<1.

Nous avons :

A_{IJKL}=k^2\times  \,A_{ABCD}\\A_{IJKL}=0,6^2\times  \,24\,\\A_{IJKL}=8,64\,cm^2

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