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Calcul littéral : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF

cours troisieme

O. Introduction au calcul littéral :

Francois VièteLe calcul littéral (ou calcul algébrique) est le calcul faisant intervenir des lettres.

Il est apparu au XVIème siècle et a été développé par le mathématicien François Viète (1540-1603).

Le calcul littéral s’intéresse à des généralisations tandis que le calcul numérique est un cas particulier du calcul algébrique.

I. Simple et double distributivité :

1.Définitions et vocabulaire:

  • Développer une expression littérale(ou algébrique), c’est l’écrire comme une somme de termes;
  • Factoriser une expression littérale c’est l’écrire comme un produit de facteurs.

Exemples :

A=11x-9+6x+3 est une forme développée non réduite.

B=7x^3-8x^2+6x-9 est une forme développée et réduite.

C=7x+3(x^2-9)+7xy-3y^2-9 est une forme quelconque.

D=3a(x-t)(2x-3)(7x+6)(5x-1) est une forme factorisée.

2. La simple distributivité :

Propriété :

Soient k,a,b trois nombres relatifs .

simple distributivité propriété

Exemples :

Développer et réduire les expressions suivantes :

A=5(x-3)\\A=5\times  \,x-5\times  3\\A=5x-15          B=2(3x+7)-9x+6\\B=2\times  3x+2\times  7-9x+6\\B=6x+14-9x+6\\B=-3x+20

3.La double distributivité :

Propriété :

Soient a,b,c,d quatre nombres relatifs.

double distributivité propriété

Exemples :

Développer et réduire les expressions algébriques suivantes :

A=(x-3)(x-7)\\A=x\,\times  \,x-x\,\times  \,7-3\,\times  \,x+3\,\times  \,7\\A=x^2-7x-3x+21\\A=x^2-10x+21                  B=(2x-1)(7x+5)\\B=2x\,\times  \,7x\,+2x\,\times  \,5-\,1\,\times  \,7x\,-1\,\times  \,5\\B=14x^2+10x-7x-5\\B=14x^2+3x-5

II. Les identités remarquables :

1.Le carré d’une somme :

Propriété :

Soient a,b deux nombres relatifs.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Preuve :

(a+b)^2=(a+b)(a+b)      [définition du carré d’un nombre]

=a\,\times  \,a+a\,\times  \,b+b\,\times  \,a+b\,\times  \,b                  [double distributivité]

=a^2+ab+ba+b^2

=a^2+ab+ab+b^2          [la multiplication est commutative donc ab=ba ]

=a^2+2ab+b^2

Exemples :

Développer et réduire les expressions algébriques suivantes :

A=(x+3)^2\\A=x^2+2\,\times  \,x\,\times  \,3+3^2\\A=x^2+6x+9                B=(7x+5)^2\\B=(7x)^2+2\times  \,7x\times  \,5+5^2\\B=49x^2+70x+25

2.Le carré d’une différence :

Propriété :

Soient a,b deux nombres relatifs.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Preuve :

(a-b)^2=(a-b)(a-b)     [définition du carré d’un nombre]

=a\,\times  \,a-a\,\times  \,b-b\,\times  \,a+b\,\times  \,b                 [double distributivité]

=a^2-ab-ba+b^2

=a^2-ab-ab+b^2         [la multiplication est commutative donc ab=ba ]

=a^2-2ab+b^2

Exemples :

Développer et réduire les expressions littérales suivantes :

A=(x-6)^2\\A=x^2-2\,\times  \,x\,\times  \,6+6^2\\A=x^2-12x+36                B=(4x-3)^2\\B=(4x)^2-2\times  \,4x\times  \,3+3^2\\B=16x^2-24x+9

3.Le produit d’une somme et d’une différence :

Propriété :

Soient a,b deux nombres relatifs.(a+b)(a-b)=a^2-b^2.

Preuve :

(a+b)(a-b)=a\times  \,a-a\times  \,b+b\times  \,a-b\times  \,b  [double distributivité]

=a^2-ab+ba-b^2

=a^2-ab+ab-b^2        [la multiplication est commutative donc ab=ba ]

=a^2-b^2

Exemples :

a. Développer et réduire les expressions littérales suivantes :

E=(x-2)(x+2)\\E=x^2-2^2\\E=x^2-4               F=(4x-3)(4x+3)\\F=(4x)^2-3^2\\F=16x^2-9

b. Calculer la valeur de l’expression numérique suivante :

G=999\times  \,1\,001\\G=(1\,000-1)(1\,000+1)\\G=1\,000^2-1^2\\G=1\,000\,000-1\\G=999\,999

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