Calcul littéral : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF

Sommaire

O.Introduction au calcul littéral :

Le calcul littéral (ou calcul algébrique) est le calcul faisant intervenir des lettres.

Il est apparu au XVIème siècle et a été développé par le mathématicien François Viète (1540-1603).

Le calcul littéral s’intéresse à des généralisations tandis que le calcul numérique est un cas particulier du calcul algébrique.

I. Simple et double distributivité :

1.Définitions et vocabulaire:

Développer une expression littérale(ou algébrique), c’est l’écrire comme une somme de termes;
Factoriser une expression littérale c’est l’écrire comme un produit de facteurs.

Exemples :

$A=11x-9+6x+3$ est une forme développée non réduite.

$B=7x^3-8x^2+6x-9$ est une forme développée et réduite.

$C=7x+3(x^2-9)+7xy-3y^2-9$ est une forme quelconque.

$D=3a(x-t)(2x-3)(7x+6)(5x-1)$ est une forme factorisée.

2. La simple distributivité :

Propriété :

Soient $k,a,b$ trois nombres relatifs .

Exemples :

Développer et réduire les expressions suivantes :

$A=5(x-3)\\A=5\times x-5\times 3\\A=5x-15$ $B=2(3x+7)-9x+6\\B=2\times 3x+2\times 7-9x+6\\B=6x+14-9x+6\\B=-3x+20$

3.La double distributivité :

Propriété :

Soient $a,b,c,d$ quatre nombres relatifs.

Exemples :

Développer et réduire les expressions algébriques suivantes :

$A=(x-3)(x-7)\\A=x \times x-x \times 7-3 \times x+3 \times 7\\A=x^2-7x-3x+21\\A=x^2-10x+21$ $B=(2x-1)(7x+5)\\B=2x \times 7x +2x \times 5- 1 \times 7x -1 \times 5\\B=14x^2+10x-7x-5\\B=14x^2+3x-5$

II. Les identités remarquables :

1.Le carré d’une somme :

Propriété :

Soient $a,b$ deux nombres relatifs. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Preuve :

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$ [définition du carré d’un nombre]

$=a \times a+a \times b+b \times a+b \times b$ [double distributivité]

$=a^2+ab+ba+b^2$

$=a^2+ab+ab+b^2$ [la multiplication est commutative donc $ab=ba$ ]

$=a^2+2ab+b^2$

Exemples :

Développer et réduire les expressions algébriques suivantes :

$A=(x+3)^2\\A=x^2+2 \times x \times 3+3^2\\A=x^2+6x+9$ $B=(7x+5)^2\\B=(7x)^2+2\times 7x\times 5+5^2\\B=49x^2+70x+25$

2.Le carré d’une différence :

Propriété :

Soient $a,b$ deux nombres relatifs. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Preuve :

$(a-b)^2=(a-b)(a-b)$ [définition du carré d’un nombre]

$=a \times a-a \times b-b \times a+b \times b$ [double distributivité]

$=a^2-ab-ba+b^2$

$=a^2-ab-ab+b^2$ [la multiplication est commutative donc $ab=ba$ ]

$=a^2-2ab+b^2$

Exemples :

Développer et réduire les expressions littérales suivantes :

$A=(x-6)^2\\A=x^2-2 \times x \times 6+6^2\\A=x^2-12x+36$ $B=(4x-3)^2\\B=(4x)^2-2\times 4x\times 3+3^2\\B=16x^2-24x+9$

3.Le produit d’une somme et d’une différence :

Propriété :

Soient $a,b$ deux nombres relatifs. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Preuve :

$(a+b)(a-b)=a\times a-a\times b+b\times a-b\times b$ [double distributivité]

$=a^2-ab+ba-b^2$

$=a^2-ab+ab-b^2$ [la multiplication est commutative donc $ab=ba$ ]

$=a^2-b^2$

Exemples :

a.Développer et réduire les expressions littérales suivantes :

$E=(x-2)(x+2)\\E=x^2-2^2\\E=x^2-4$ $F=(4x-3)(4x+3)\\F=(4x)^2-3^2\\F=16x^2-9$

b.Calculer la valeur de l’expression numérique suivante :

$G=999\times 1\,001\\G=(1\,000-1)(1\,000+1)\\G=1\,000^2-1^2\\G=1\,000\,000-1\\G=999\,999$

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