Calcul littéral : cours de maths en 3ème à imprimer à télécharger en PDF

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Le calcul littéral avec un cours de maths en 3ème complet qui vous permettra d’assimiler les définitions et propriétés de ce chapitre. L’élève devra être à l’aise avec les expressions algébriques afin de développer ou factoriser en utilisant la simple ou double distributivité. Étudier des programmes de calculs ou résoudre des problèmes qui aboutissent à la résolution d’équations en troisième.

À retenir : Pour développer, on utilise la distributivité et les identités remarquables : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) et \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\). Factoriser est l’opération inverse : on cherche un facteur commun ou une identité. Exemple : \(x^2 – 9 = (x-3)(x+3)\). Ces identités fonctionnent dans les deux sens : développer pour simplifier une expression, factoriser pour résoudre une équation produit nulle ou réduire une fraction.

O. Introduction au calcul littéral :

Francois Viète Le calcul littéral (ou calcul algébrique) est le calcul faisant intervenir des lettres.

Il est apparu au XVIème siècle et a été développé par le mathématicien François Viète (1540-1603).

Le calcul littéral s’intéresse à des généralisations tandis que le calcul numérique est un cas particulier du calcul algébrique.

Le calcul algébrique désigne le processus de résolution d’équations ou de manipulation d’expressions algébriques à l’aide d’opérations mathématiques telles que l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Il existe plusieurs ressources et sites Web utiles pour l’apprentissage des mathématiques en ligne que les élèves et les enseignants peuvent utiliser.

I. Simple et double distributivité :

1.Définitions et vocabulaire:

  • Développer une expression littérale(ou algébrique), c’est l’écrire comme une somme de termes;
  • Factoriser une expression littérale c’est l’écrire comme un produit de facteurs.

Exemples :

A=11x-9+6x+3 De même, est une forme développée non réduite.

B=7x^3-8x^2+6x-9 est une forme développée et réduite.

C=7x+3(x^2-9)+7xy-3y^2-9 est une forme quelconque.

D=3a(x-t)(2x-3)(7x+6)(5x-1) Également, est une forme factorisée.

 

Définition :
Réduire une expression littérale, c’est regrouper tous les termes de même nature.

 

Exemples :

A=(x-3)(x+7)=x^2+7x-3x-21=x^2+4x-21

B=-3(x-2)+7(x-4)=-3x+6+7x-28=4x-22

2. La simple distributivité :

Propriété :

Soient k,a,b trois nombres relatifs .

simple distributivité propriété

Exemples :

Développer et réduire les expressions suivantes :

A=5(x-3)\\A=5\times\,x-5\times3\\A=5x-15          B=2(3x+7)-9x+6\\B=2\times3x+2\times7-9x+6\\B=6x+14-9x+6\\B=-3x+20

3.La double distributivité :

Propriété :

Soient a,b,c,d quatre nombres relatifs.

double distributivité propriété

Exemples :

Nous avons vu dans les niveaux précédents, deux propriétés qui permettent de développer une expression littérale : la simple et la double distributivité.

A=(x-3)(x+7)=x^2+7x-3x-21

B=-3(x-2)+7(x-4)=-3x+6+7x-28

Exemples :

Développer et réduire les expressions algébriques suivantes :

A=(x-3)(x-7)\\A=x\,\times\,x-x\,\times\,7-3\,\times\,x+3\,\times\,7\\A=x^2-7x-3x+21\\A=x^2-10x+21                  B=(2x-1)(7x+5)\\B=2x\,\times\,7x\,+2x\,\times\,5-\,1\,\times\,7x\,-1\,\times\,5\\B=14x^2+10x-7x-5\\B=14x^2+3x-5

II. Les identités remarquables :

1.Le carré d’une somme :

Propriété :

Soient a,b deux nombres relatifs.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Preuve :

(a+b)^2=(a+b)(a+b)      [définition du carré d’un nombre]

=a\,\times\,a+a\,\times\,b+b\,\times\,a+b\,\times\,b                  [double distributivité]

=a^2+ab+ba+b^2

=a^2+ab+ab+b^2          [la multiplication est commutative donc ab=ba ]

=a^2+2ab+b^2

Exemples :

Développer et réduire les expressions algébriques suivantes :

A=(x+3)^2\\A=x^2+2\,\times\,x\,\times\,3+3^2\\A=x^2+6x+9                B=(7x+5)^2\\B=(7x)^2+2\times\,7x\times\,5+5^2\\B=49x^2+70x+25

2.Le carré d’une différence :

Propriété :

Soient a,b deux nombres relatifs.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Preuve :

(a-b)^2=(a-b)(a-b)     [définition du carré d’un nombre]

=a\,\times\,a-a\,\times\,b-b\,\times\,a+b\,\times\,b                 [double distributivité]

=a^2-ab-ba+b^2

=a^2-ab-ab+b^2         [la multiplication est commutative donc ab=ba ]

=a^2-2ab+b^2

Exemples :

Développer et réduire les expressions littérales suivantes :

A=(x-6)^2\\A=x^2-2\,\times\,x\,\times\,6+6^2\\A=x^2-12x+36                B=(4x-3)^2\\B=(4x)^2-2\times\,4x\times\,3+3^2\\B=16x^2-24x+9

3.Le produit d’une somme et d’une différence :

Propriété :

Soient a,b deux nombres relatifs.(a+b)(a-b)=a^2-b^2.

Preuve :

(a+b)(a-b)=a\times\,a-a\times\,b+b\times\,a-b\times\,b  [double distributivité]

=a^2-ab+ba-b^2

=a^2-ab+ab-b^2        [la multiplication est commutative donc ab=ba ]

=a^2-b^2

Exemples :

a. Développer et réduire les expressions littérales suivantes :

E=(x-2)(x+2)\\E=x^2-2^2\\E=x^2-4               F=(4x-3)(4x+3)\\F=(4x)^2-3^2\\F=16x^2-9

b. Calculer la valeur de l’expression numérique suivante :

G=999\times\,1\,001\\G=(1\,000-1)(1\,000+1)\\G=1\,000^2-1^2\\G=1\,000\,000-1\\G=999\,999

Exemples :

A=(x+1)^2=x^2+2\times\,x\times\,1=x^2+2x+1\\B=(x-3)^2=x^2-2\times\,x\times\,3+3^2=x^2-6x+9\\C=(x-5)(x+5)=x^2-5^2=x^2-25\\D=99\times\,101=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=10000-1=9999\\E=(2x-7)^2=(2x)^2-2\times\,2x\times\,7+7^2=4x^2-28x+49

III. Factoriser une expression algébrique :

Définition de la factorisation :
Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

remarque :

La factorisation est le « processus » inverse du développement.

Exemples :

A=7x-21=7x-7\times 3=7(x-3)

B=(x+2)(2x-3)+(x+2)(2x-4)=(x+2)[(2x-3)+(2x-4)]=(x+2)(4x-7)

 

 

Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Calcul littéral (Wikipédia).

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