Arithmétique : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF.

Sommaire

1 0.Introduction :
2 I. Définitions et vocabulaire :
3 II. Les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers :

0.Introduction :

L’arithmétique est une branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles de nombres et aux différentes propriétés qui les relient.

Le sens étymologique du mot arithmétique est << arithmos>> qui signifie <<nombre>>.

Dans ce chapitre, nous nous intéresserons essentiellement aux nombres entiers positifs.

I. Définitions et vocabulaire :

1.La division euclidienne :

Propriété :

On considère et deux nombres entiers positifs avec $b\neq0$ .

Effectuer la division euclidienne de par , c’est trouver l’unique couple d’entiers positifs

tel que avec .

Exemple :

Effectuer la division euclidienne de 84 par 15.

$84 = 5 \times 15+9$ avec 0<9<15

2. Notion de diviseur et de multiple :

Définition :

On considère deux nombres entiers positifs et tels que et $b\neq 0$ .On dit que a est un multiple de b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

L’égalité euclidienne devient .

Si c’est le cas, on dit que b est un diviseur de a ou encore que b divise a.

Exemples :

$75=3\times 25+0$ donc $75=3\times 25$ . Ainsi, 75 est un multiple de 25 et de 3.

$77=3\times 25+2$ donc 77 n’est ni un multiple de 25, ni un multiple de 3.

Ou encore, les entiers 3 et 25 ne sont pas des diviseurs de 77.

Remarques :

Tout nombre entier non nul possède une infinité de multiples et un nombre fini de diviseurs;
Tout nombre entier non nul possède au moins deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.

Exemple :

Déterminer les diviseurs de 36.

$36=36\times 1\\=6\times 6\times 1\\=3\times 2\times 6\times 1\\=3\times 2\times 3\times 2\times 1\\=9\times 2\times 2\times 1\\=9\times 4\times 1\\=12\times 3\times 1\\=18\times 2\times 1$

Les diviseurs de 36 sont .

3.Les critères de divisibilité :

Propriété :

Un nombre entier est divisible par :

2 s’ il se termine par 0,2,4,6 ou 8;
3 si la somme de ses chiffres est un nombre divisible par 3;
4 si le nombre composé de sa dizaine et de son unité est divisible par 4;
5 s’il se termine par 0 ou 5;
9 si la somme de ses chiffres est un nombre divisible par 9.

Exemples :

1 348 est divisible par 2 car il se termine par 8;
1623 est divisible par 3 car et 12 est divisible par 3 car $12=4\times 3$ ;
78 924 est divisible par 4 car 24 est divisible par 4 $( 24=6\times 4 )$ ;
154 395 est divisible par 5 car il se termine par 5;
756 est divisible par 9 car et 18 est divisible par 9 car $18=9 \times 2$ .

Remarque :

Avec le logiciel de programmation scratch, la brique nous fournit le reste de la division euclidienne.

Exemple :

Le reste de la division euclidienne de 22 par 6 est 4 puisque $22=3\times 6+4$ .

II. Les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers :

1.Définition :

Un nombre entier supérieur à 1 est un nombre premier si et seulement si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

Remarques :

les nombres premiers sont 2,3,5,7,11,13,17,19,23,….;
L’ensemble des nombres premiers est infini;
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs.

2.La décomposition en facteurs premiers :

Propriété :

Tout nombre entier supérieur à 1 peut s’écrire, de manière unique, sous la forme d’un produit de nombre premiers.

Nous pouvons écrire sous la forme $n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times p_3^{a_3}\times .....p_k^{a_k}$ où les nombres sont des nombres premiers et sont des nombres entiers.

Cette écriture est appelée <<la décomposition en facteurs premiers>> de l’entier .

Exemples :

est la décomposition en facteurs premiers de 112.

$825=3\times 275=3\times 5\times 55=3\times 5\times 5\times 11=3\times 5^2\times 11$ est la décomposition en facteurs premiers de 825.

Remarque :

La décomposition en facteurs premiers, nous permet de déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers.

Exemple :

Déterminer le pgcd(756,441)

Les décompositions en facteurs premiers de ces deux entiers sont :

$441=3^2\times 7^2$ et $756=2^2\times 3^3\times 7$

Le plus grand commun diviseur est $3^2\times 7=9\times 7=63$ ainsi, .

3.Les fractions irréductibles :

Définition :

Une fraction est irréductible lorsque le PGCD du numérateur et du dénominateur est 1.Soient et deux entiers tels que $b\neq0$ .

La fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible si et seulement si .

Propriété :

Soient et deux entiers tels que $d\neq0$ .La fraction $\frac{c: pgcd(c,d)}{d: pgcd(c,d)}$ est irréductible.

Exemple :

Rendre la fraction $\frac{441}{756}$ irréductible.

Nous avons vu précédemment que .

$\frac{441}{756}=\frac{441: 63}{756: 63}=\frac{7}{12}$ avec $\frac{7}{12}$ qui est une fraction irréductible puisque .

4.5/5 - (8 votes)

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «arithmétique et décomposition en facteurs premiers : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Télécharger nos applications gratuites Maths PDf avec tous les cours,exercices corrigés

D'autres articles similaires à arithmétique et décomposition en facteurs premiers : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF

Maths PDF est un site de mathématiques géré par des enseignants titulaires de l'éducation nationale vous permettant de réviser en ligne afin de combler vos diverses lacunes.
Vous trouverez sur ce site de mathématiques de nombreuses ressources de la primaire, au collège puis au lycée dans le même thème que arithmétique et décomposition en facteurs premiers : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF.
Tous les cours de maths sont rédigés par des enseignants et ils vous permettent de réviser en ligne les différentes notions et contenus abordés en classe avec votre professeur comme les définitons, les propriétés ou les différents théorèmes.
Développer des compétences et des savoirs faires tout au long de l'année scolaire afin d'envisager une progression constante tout au long de l'année.
Un site de mathématiques totalement gratuit par le biais duquel, vous pourrez exporter toutes les leçons et tous les exercices gratuitement en PDF afin de les télécharger ou de les imprimer librement. Des milliers d'exercices de maths similaires à ceux de votre manuel scolaire afin de vous exercer en ligne et de combler vos lacunes en repérant vos différentes erreurs.
Pour la partie algorithme et programmation, vous trouverez de nombreux exercices réalisés avec le programme Scratch mais également, de nombreux extraits de sujets du brevet de maths ainsi que des sujets du baccalauréat de mathématiques similaires à arithmétique et décomposition en facteurs premiers : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF

La division euclidienne et décimale : cours de maths en 6ème en PDF
78
Un cours en sixième (6ème) sur la division euclidienne et décimale. Nous verrons la différence entre ces deux divisons et puis, le vocabulaire et les définitions reliant le dividende, le diviseur, le quotient et le reste. Nous terminerons cette leçon avec la résolution de problèmes à l'aide des divisions et…
Fractions : cours de maths en 6ème à télécharger en PDF
73
I. Définition : Définition : Lorsque l'on partage une figure en parties égales et que l’on prend quelques parts, on obtient une fraction. Exemples : Remarques : Pour chaque figure ci-dessous, quelle a été la fraction coloriée ? J’ai colorié 8 parties sur 8 mais aussi cinq parties sur un…
Fractions : cours de maths en 5ème au programme de cinquième
73
I. Les fractions : définition et vocabulaire. 1.L'écriture fractionnaire : Définition : a et b désignent deux nombres relatifs avec .La notation est une écriture fractionnaire du quotient de a par b. Le nombre a est appelé le numérateur et b le dénominateur. Si a et b sont deux nombres…
Puissances de 10 et d'un nombre relatif : cours en 4ème en PDF
73
Lors des années précédentes, vous avez abordé certaines puissances, notamment celles de 2 et 3 Exemple : se lit 5 au carré. se lit 2 au cube. I.Les puissances d'un nombre relatif : 1.Cas où l'exposant est positif : Définition : Pour tout entier positif non nul et tout…
Fractions : addition, soustraction, multiplication et division
71
I.Addition et soustraction de deux fractions : 1.Cas où le dénominateur est le même : Règle 1 : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur, il faut : conserver le dénominateur en commun; additionner ( ou soustraire) les numérateurs. On considère a,b et c trois nombres relatifs…

Les dernières fiches de maths mises à jour

Les fiches d'exercices les plus consultées

Problèmes et calculs en sixième.
Les nombres décimaux en sixième.
Les fractions en cinquième.
Les nombres relatifs en cinquième.
Les fractions en quatrième.
Les nombres relatifs en quatrième.
Le théorème de Pythagore en quatrième.
Le calcul littéral en quatrième.
Aires et périmètres en sixième.
Aires et périmètres en cinquième.

Maths PDF c'est 5 734 873 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 3 646 exercices.