Arithmétique et décomposition en facteurs premiers : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF

Sommaire

0.Introduction :

L’arithmétique est une branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles de nombres et aux différentes propriétés qui les relient.

Le sens étymologique du mot arithmétique est << arithmos>> qui signifie <<nombre>>.

Dans ce chapitre, nous nous intéresserons essentiellement aux nombres entiers positifs.

I.Définitions et vocabulaire :

1.La division euclidienne :

Propriété :

On considère $a$ et $b$ deux nombres entiers positifs avec $b\neq0$ .

Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ , c’est trouver l’unique couple d’entiers positifs $( q,r )$

tel que $a=bq+r$ avec $0<r<b$ .

Exemple :

Effectuer la division euclidienne de 84 par 15.

$84 = 5 \times 15+9$ avec 0<9<15

2. Notion de diviseur et de multiple :

Définition :

On considère deux nombres entiers positifs $a$ et $b$ tels que $a>b$ et $b\neq 0$ .On dit que a est un multiple de b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

L’égalité euclidienne devient $a=bq+0=bq$ .

Si c’est le cas, on dit que b est un diviseur de a ou encore que b divise a.

Exemples :

$75=3\times 25+0$ donc $75=3\times 25$ . Ainsi, 75 est un multiple de 25 et de 3.

$77=3\times 25+2$ donc 77 n’est ni un multiple de 25, ni un multiple de 3.

Ou encore, les entiers 3 et 25 ne sont pas des diviseurs de 77.

Remarques :

Tout nombre entier non nul possède une infinité de multiples et un nombre fini de diviseurs;
Tout nombre entier non nul possède au moins deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.

Exemple :

Déterminer les diviseurs de 36.

$36=36\times 1\\=6\times 6\times 1\\=3\times 2\times 6\times 1\\=3\times 2\times 3\times 2\times 1\\=9\times 2\times 2\times 1\\=9\times 4\times 1\\=12\times 3\times 1\\=18\times 2\times 1$

Les diviseurs de 36 sont $1,2,3,4,6,9,12,18,36$ .

3.Les critères de divisibilité :

Propriété :

Un nombre entier est divisible par :

2 si il se termine par 0,2,4,6 ou 8;
3 si la somme de ses chiffres est un nombre divisible par 3;
4 si le nombre composé de sa dizaine et de son unité est divisible par 4;
5 si il se termine par 0 ou 5;
9 si la somme de ses chiffres est un nombre divisible par 9.

Exemples :

1 348 est divisible par 2 car il se termine par 8;
1623 est divisible par 3 car $1+6+2+3=12$ et 12 est divisible par 3 car $12=4\times 3$ ;
78 924 est divisible par 4 car 24 est divisible par 4 $( 24=6\times 4 )$ ;
154 395 est divisible par 5 car il se termine par 5;
756 est divisible par 9 car $7+5+6=18$ et 18 est divisible par 9 car $18=9 \times 2$ .

Remarque :

Avec le logiciel de programmation scratch, la brique nous fournit le reste de la division euclidienne.

Exemple :

Le reste de la division euclidienne de 22 par 6 est 4 puisque $22=3\times 6+4$ .

II. Les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers :

1.Définition :

Un nombre entier supérieur à 1 est un nombre premier si et seulement si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

Remarques :

les nombres premiers sont 2,3,5,7,11,13,17,19,23,….;
L’ensemble des nombres premiers est infini;
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs.

2.La décomposition en facteurs premiers :

Propriété :

Tout nombre entier $n$ supérieur à 1 peut s’écrire, de manière unique, sous la forme d’un produit de nombre premiers.Nous pouvons écrire $n$ sous la forme $n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times p_3^{a_3}\times .....p_k^{a_k}$ où les nombres $p_1,p_2,p_3,...,p_k$ sont des nombres premiers et $a_1,a_2,a_3,....,a_k$ sont des nombres entiers.

Cette écriture est appelée <<la décomposition en facteurs premiers>> de l’entier $n$ .

Exemples :

$112=56 \times 2=8 \times 7 \times 2=2^3 \times 7 \times 2=2^4 \times 7$ est la décomposition en facteurs premiers de 112.

$825=3\times 275=3\times 5\times 55=3\times 5\times 5\times 11=3\times 5^2\times 11$ est la décomposition en facteurs premiers de 825.

Remarque :

La décomposition en facteurs premiers, nous permet de déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers.

Exemple :

Déterminer le pgcd(756,441)

Les décompositions en facteurs premiers de ces deux entiers sont :

$441=3^2\times 7^2$ et $756=2^2\times 3^3\times 7$

Le plus grand commun diviseur est $3^2\times 7=9\times 7=63$ ainsi, $pgcd(756,441)=63$ .

3.Les fractions irréductibles :

Définition :

Une fraction est irréductible lorsque le PGCD du numérateur et du dénominateur est 1.Soient $a$ et $b$ deux entiers tels que $b\neq0$ .

La fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible si et seulement si $pgcd(a,b)=1$ .

Propriété :

Soient $c$ et $d$ deux entiers tels que $d\neq0$ .La fraction $\frac{c: pgcd(c,d)}{d: pgcd(c,d)}$ est irréductible.

Exemple :

Rendre la fraction $\frac{441}{756}$ irréductible.

Nous avons vu précédemment que $pgcd(756,441)=63$ .

$\frac{441}{756}=\frac{441: 63}{756: 63}=\frac{7}{12}$ avec $\frac{7}{12}$ qui est une fraction irréductible puisque $pgcd(7,12)=1$ .

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