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Arithmétique et décomposition en facteurs premiers : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF

cours troisieme

0.Introduction :

L’arithmétique est une branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles de nombres et aux différentes propriétés qui les relient.

Le sens étymologique du mot arithmétique est << arithmos>>  qui signifie <<nombre>>.

Dans ce chapitre, nous nous intéresserons essentiellement aux nombres entiers positifs.

I. Définitions et vocabulaire :

1.La division euclidienne :

Propriété :

On considère a et b deux nombres entiers positifs avec b\neq0.

Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver l’unique couple d’entiers positifs  ( q,r,,)

tel que a=bq+r avec 0\le\,r<b.

Exemple :

Effectuer la division euclidienne de 84 par 15.

84\,=\,5\,\times  \,15+9 avec 0<9<15

2. Notion de diviseur et de multiple :

Définition :

On considère deux nombres entiers positifs a et b  tels  que a>b et b\neq\,0.On dit que a est un multiple de b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

L’égalité euclidienne devient a=bq+0=bq.

Si c’est le cas, on dit que b est un diviseur de a ou encore que b divise a.

Exemples :

75=3\times  \,25+0 donc 75=3\times  \,25. Ainsi, 75 est un multiple de 25 et de 3.

77=3\times  \,25+2 donc 77 n’est ni un multiple de 25, ni un multiple de 3.

Ou encore, les entiers 3 et 25 ne sont pas des diviseurs de 77.

Remarques :

  • Tout nombre entier non nul possède une infinité de multiples et un nombre fini de diviseurs;
  • Tout nombre entier non nul possède au moins deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.

Exemple :

Déterminer les diviseurs de 36.

36=36\times  \,1\\=6\times  6\times  1\\=3\times  2\times  6\times  \,1\\=3\times  2\times  3\times  2\times  1\\=9\times  2\times  2\times  1\\=9\times  4\times  1\\=12\times  3\times  1\\=18\times  2\times  1

Les diviseurs de 36 sont 1,2,3,4,6,9,12,18,36.

3.Les critères de divisibilité :

Propriété :

Un nombre entier est divisible par :

  • 2 s’ il se termine par 0,2,4,6 ou 8;
  • 3 si la somme de ses chiffres est un nombre divisible par 3;
  • 4 si le nombre composé de sa dizaine et de son unité est divisible par 4;
  • 5 s’il se termine par 0 ou 5;
  • 9 si la somme de ses chiffres est un nombre divisible par 9.

Exemples :

  • 1 348 est divisible par 2 car il se termine par 8;
  • 1623 est divisible par 3 car 1+6+2+3=12 et 12 est divisible par 3 car 12=4\times  \,3;
  • 78 924 est divisible par 4 car 24 est divisible par 4 \,(\,24=6\times  \,4\,,);
  • 154 395 est divisible par 5 car il se termine par 5;
  • 756 est divisible par 9 car 7+5+6=18 et 18 est divisible par 9 car 18=9\,\times  \,2.

Remarque :

Avec le logiciel de programmation scratch, la brique modulo reste scratch      nous fournit le reste de la division euclidienne.

Exemple :

Le reste de la division euclidienne de 22 par 6 est 4 puisque 22=3\times  \,6+4 .

II. Les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers :

1.Définition :

Un nombre entier supérieur à 1 est un nombre premier si et seulement si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

Remarques :

  • les nombres premiers sont 2,3,5,7,11,13,17,19,23,….;
  • L’ensemble des nombres premiers est infini;
  • Un nombre premier possède exactement deux diviseurs.

2.La décomposition en facteurs premiers :

Propriété :

Tout nombre entier n supérieur à 1 peut s’écrire, de manière unique, sous la forme d’un produit de nombre premiers.

Nous pouvons écrire n sous la forme n=p_1^{a_1}\times  \,p_2^{a_2}\times  \,p_3^{a_3}\times  ,.....p_k^{a_k} où les nombres p_1,p_2,p_3,...,p_k sont des nombres premiers et a_1,a_2,a_3,....,a_k sont des nombres entiers.

Cette écriture est appelée <<la décomposition en facteurs premiers>> de l’entier n.

Exemples :

12= 56\times  \,2=8\,\times  \,7\times  \,2=2^3\times  \,7\,\times  \,2=2^4\,\times  \,7  est la décomposition en facteurs premiers de 112.

825=3\times  \,275=3\times  \,5\times  \,55=3\times  \,5\times  \,5\times  \,11=3\times  \,5^2\times  \,11 est la décomposition en facteurs premiers de 825.

Remarque :

La décomposition en facteurs premiers, nous permet de déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers.

Exemple :

Déterminer le pgcd(756,441)

Les décompositions en facteurs premiers de ces deux entiers sont :

441=3^2\times  \,7^2  et 756=2^2\times  \,3^3\times  \,7

Le plus grand commun diviseur est 3^2\times  \,7=9\times  \,7=63 ainsi, pgcd(756,441)=63.

3.Les fractions irréductibles :

Définition :

Une fraction est irréductible lorsque le PGCD du numérateur et du dénominateur est 1.Soient a et b deux entiers tels que b\neq0.

La fraction \frac{a}{b} est irréductible si et seulement si pgcd(a,b)=1.

Propriété :

Soient c et d deux entiers tels que d\neq0.La fraction \frac{c: \,pgcd(c,d)}{d: \,pgcd(c,d)} est irréductible.

Exemple :

Rendre la fraction \frac{441}{756} irréductible.

Nous avons vu précédemment que pgcd(756,441)=63.

\frac{441}{756}=\frac{441: \,63}{756: \,63}=\frac{7}{12}   avec \frac{7}{12} qui est une fraction irréductible puisque pgcd(7,12)=1.

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