Probabilités : cours de maths en 3ème à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

📚Cours de Mathématiques3ème • collège

Probabilités

⏱️Temps de lecture : 8 min

🎯Difficulté : Confirmé

📚Cycle 4

📋Prérequis : Programme 4ème maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Les probabilités avec un cours de maths en 3ème afin d’assimiler le vocabulaire et les définitions de ce chapitre. Dans cette leçon, les élèves devront comprendre la notion d’événement, d’issue et de variable aléatoire afin de pouvoir calculer la probabilité d’un événement en troisième. Les probabilités sont une branche des mathématiques qui traite de l’étude des événements aléatoires.

I. Les probabilités : événements et issues.

1.Définitions et vocabulaire :

Définition :

Une expérience est dite aléatoire lorsque l’on ne peut pas prévoir avec certitude quel résultats va se produire. Les différents résultats possibles s’appellent les issues.

Un événement est constitué par les différentes issues de l’expérience aléatoire.

Exemple :

Expérience : On lance un dé à six face non pipé.
Les issues possibles sont : 1,2,3,4,5,6.

Un événement peut être : obtenir le 1,2,…6 ou encore obtenir un nombre pair.
Ces événements (obtenir 1, obtenir 2,….obtenir 6) sont appelés événements élémentaires.

2.Probabilité et fréquence :

Propriété :

Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence
de n’importe quel événement de cette expérience finit par se stabiliser et converge vers la probabilité de cet événement.

3.Notion de probabilité :

Définition :

Pour certaines expériences aléatoires, on peut déterminer par un quotient la « chance » qu’un
événement a de se produire. Ce quotient est appelé la probabilité de l’événement.

Notation :

Soit A un événement, on note P( A ) la probabilité que l’événement A se réalise.

La probabilité d’un événement est égale au quotient :
$P(A)=\frac{Nombre\,\,d'issues\,\,favorables\,evenement\,\,A\,}{\,Nombre\,\,total\,\,d'issues}$ .

Définition :

Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés, on dit qu’il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.

Exemple :

Reprenons l’expérience aléatoire du dé.

Chaque événement élémentaire : obtenir le 1,…, obtenir le 6.

La probabilité de chacun de ces événements est de $\frac{1}{6}$ .

Propriété :

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.

Propriété :

La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.

Exemple :

Pour le lancer dé dé.

Nous avons $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1$

B:<<obtenir un chiffre supérieur à 7>>

II. Les événements certains, incompatibles et contraires :

Définition et propriété :

Un événement est dit certain si se produit nécessairement.
La probabilité d’un événement certain est égale à 1.

Exemple :

Un événement certain pour le lancer de dé serait :

A:<<obtenir un chiffre inférieur à 7>> et P(A)=1.

Définition et propriété :

Un événement est dit impossible si il ne peut pas se produire.
La probabilité d’un événement incertain est égale à 0.

Exemple :

Un événement incertain pour le lancer de dé serait :

B:<<obtenir un chiffre supérieur à 7>> et P(B)=0.

Définition :

Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même temps.
L’événement contraire d’un événement est celui qui se réalise lorsque l’événement n’a pas lieu.

Exemple :

Deux événements incompatibles seraient C : <<obtenir un chiffre pair>> et D : <<obtenir un chiffre impair>>.

Propriété :

Soit A un événement, on note $\overline{A}$ son événement contraire. Nous avons $P(A)+P(\overline{A})=1$ .

Exemple :

On tourne une roue bien équilibrée.

Notons l’événement A : <<sortie du chiffre 1>> alors $\overline{A}$ : <<sortie d’un chiffre autre que 1>>.

Nous avons $P(A)=\frac{1}{6}$ , $P(\overline{A})=\frac{5}{6}$ et $P(A)+P(\overline{A})=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=1$ .

III. Carte mentale sur les probabilités :

Autre version de cette leçon

I. Expérience aléatoire

Définition :

La probabilité d’un événement est un nombre, compris entre o et 1, qui mesure les chances que cet événement se réalise.

Exemple :

On lance une pièce de monnaie : les issues sont pile ou face.
On lance l’écoute de morceaux de musiques en mode aléatoire parmi une liste de dix titres. Les issues sont les dix titres de la liste.
On essaye de deviner à l’avance le vainqueur de la coupe du monde de football parmi les 32 équipes de la phase finale. Les issues sont les trente-deux pays en compétition.
On lance un dé à jouer comportant six faces. Les issues sont 1,2,3,4,5,6.

Définition :

Lorsque les issues d’une expérience aléatoire ont toutes autant de chances de se réaliser, c’est-à-dire que les probabilités de réalisation des différentes issues sont égales, on dit qu’il y a équiprobabilité.

Exemple :

On lance l’écoute d’un morceau de musique en mode aléatoire parmi une liste de dix titres. « Le morceau joué dure moins de trois minutes » est un événement.
On essaye de deviner à l’avance le vainqueur de la coupe du monde de football parmi les 32 équipes de la phase finale. « Le pays gagnant est un pays d’Afrique » est un événement. Le pays vainqueur a gagné sa demi-finale est un événement certain.
On lance un dé à jouer comportant six faces numérotées de 1 à 6. « Le dé tombe sur un nombre pair » est un événement. « Le dé tombe sur le chiffre 9 » est un événement impossible.

II.Calculs de probabilités

Définition :

On dit qu’une expérience est aléatoire lorsqu’on ne peut pas prévoir quel va être son résultat.

Les différentes résultats possibles sont appelés les issues de l’expérience aléatoire.

Définition :

Un événement est un ensemble d’issues d’une expérience aléatoire.

Lorsqu’un événement est sûr de se réaliser, on dit que celui-ci est certain.

Lorsqu’il n’y a aucune chance qu’un événement se réalise, on dit que celui-ci est impossible.

Propriété :

En cas d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement s’obtient en divisant le nombre d’issues favorables à l’événement par le nombre total d’issues de l’expérience.

Exemples :

On lance une pièce de monnaie équilibrée. Chaque face a autant de chance d’être obtenue que l’autre. C’est une situation d’équiprobabilité. La probabilité d’obtenir pile est donc de $\frac{1}{2}$ soit 50 %.
On lance un dé à jouer classique à six faces et non truqué. Chaque face a autant de chances de sortir qu’une autre. Sur les six faces du dé, trois faces portent un nombre pair et trois faces portent un nombre impair, donc la probabilité d’obtenir un nombre impair est de $\frac{3}{6}$ soit 50 %.

Remarque :

La probabilité d’un événement impossible est de 0 et la probabilité d’un événement certain est de 1.

I. Notion de probabilités

1. Les issues et arbre de probabilité

Définitions :

Une expérience est aléatoire lorsque l’on ne peut pas prévoir à l’avance quel va être son résultat parmi les différentes issues possibles.
La schématisation qui nous permet de visualiser les différentes issues possibles d’une expérience aléatoire s’appelle l’arbre de probabilité.
Chaque branche de cet arbre de probabilités indique la probabilité d’une issue.
On dit que l’arbre est pondéré par les probabilités.

Exemple :

Katia lance un dé équilibré à six faces numérotées 1,2,2,3,3 et 3.

On observe le nombre indiqué sur la face supérieure : les issues sont 1,2 et3.

Le dé est équilibré, donc chaque face a autant de chance de sortir qu’une autre.

Ainsi, la probabilité de sortie du nombre 1 est de $\frac{1}{6}$ , puisqu’une seule face du dé porte le numéro 1.
Deux faces portent le numéro 2, donc la probabilité de l’issue 2 est $\frac{2}{6}$ soit $\frac{1}{3}$ .
De même, celle de l’issue 3 est $\frac{3}{6}$ soit $\frac{1}{2}$ soit encore 0,5 ou 50 %

On résume ces résultats sur l’arbre de probabilité ci-dessous :

Propriétés :

Une probabilité est un nombre qui est compris entre 0 et 1.
La probabilité s’exprime par un nombre en écriture fractionnaire, en écriture décimale, ou bien encore sous forme d’un pourcentage.

2.Les événements

Définitions :

Un événement réalisé par aucune issue s’appelle un événement impossible et sa probabilité est 0.
Un événement réalisé par toute les issues s’appelle un événement certain et sa probabilité est 1.
L’événement contraire à un événement A, noté $\overline{A}$ , est réalisé lorsque A ne l’est pas.

Propriétés :

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.

la somme des probabilités d’un événement et de son contraire est égale à 1.

$P(A)+P(\overline{A})=1$ .

Définition :

Deux événements sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent se réaliser en même temps.

Exemple :

Pour le dé de Katia, l’événement « obtenir un nombre pair » et l’événement « obtenir le 3 » sont incompatibles.

3.Des fréquences aux probabilités

Lorsque aucune considération de régularité ou de symétrie ne permet de connaître la probabilité d’une issue, on peut l’estimer en effectuant un grand nombre de fois une expérience aléatoire.

Propriété :

Soient une expérience aléatoire et un événement A dont la probabilité se note P(A).

Lorsqu’on réitère un très grand nombre de fois cette expérience aléatoire, la fréquence d’apparition de l’événement A a tendance à se stabiliser autour de P(A).

Exemple :

En lançant un grand nombre de fois un bouchon de la même façon, on pourrait ainsi estimer

la probabilité qu’il retombe dans l’une ou l’autre des positions ci-dessous :

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