Les équations et inéquations : cours de maths en 3ème à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

📚Cours de Mathématiques3ème • collège

Les équations et inéquations

⏱️Temps de lecture : 5 min

🎯Difficulté : Confirmé

📚Cycle 4

📋Prérequis : Programme 4ème maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Les équations et les inéquations du premier degré à une inconnue à travers un cours de maths en 3ème afin d’assimiler les définitions et les propriétés de ce chapitre. L’élève devra connaître les règles de calculs qui permettent de transformer une égalité ou une inégalité sans en changer l’ensemble solution. Savoir donner la solution d’une équation ou représenter les solutions d’une inéquation sur une droite graduée. L’objectif de cette leçon est, par la suite, de résoudre des problèmes qui aboutissent à la résolution d’une équation ou d’une inéquation en troisième.

Avant d’aborder cette leçon, il faut avoir acquis le contenu du cours sur les équations de l’année précédente.

I.Les équations du premier degré à une inconnue :

Définitions :

Soient a,b et c trois nombres relatifs tel que $a\neq0$ .

On appelle équation du premier degré à une inconnue toute égalité qui peut se ramener à cette forme : .
La lettre x est appelée inconnue de l’équation.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’égalité.
Toute valeur de x qui vérifie l’égalité est appelé solution de l’équation.
L’expression ax+b est appelée premier membre de l’équation.
L’expression c est appelée second membre de l’équation.

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs. La solution de l’équation x+a=b est x=b-a .

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs tel que $a\neq0$ .La solution de l’équation ax=b est $x=\frac{b}{a}$ .

Exemple :

Résoudre l’équation suivante :

$2x-3=7x+2\\2x-7x=2+3\\-5x=5\\x=\frac{5}{-5}\\x=-1$

II. Les inéquations du premier degré à une inconnue :

Définitions :

Soient a, b et c trois nombres relatifs tel que $a\neq0$ .

On appelle inéquation du premier degré à une inconnue toute inégalité qui peut se ramener à cette forme : $ax+b\,\leq\,\,c$ .

La lettre x est appelée inconnue de l’inéquation.
Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’inégalité.
Toute valeur de x qui vérifie l’inégalité est appelé solution de l’inéquation.
L’expression ax+b est appelée premier membre de l’inéquation.
L’expression c est appelée second membre de l’inéquation.

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs. Les solutions de l’inéquation $x+a\,\leq\,\,b$ sont $x\leq\,\,b-a$ .

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs tel que $a\neq0$ .Les solutions de l’inéquation $ax\,\leq\,\,b$ sont :

$x,\leq\,,\frac{b}{a}$ si .
$x,\geq\,,\frac{b}{a}$ si .

Exemples :

Résoudre les inéquation suivantes :

$2x-3\,\leq\,\,7x+2\\2x-7x\leq\,2+3\\-5x\leq\,5\\x\,\geq\,\,\frac{5}{-5}\\x\geq\,-1$ $5x+6\leq\,\,2x+10\\5x-2x\leq\,\,10-6\\3x\leq\,\,10-6\\3x\leq\,\,4\\\,x\leq\,\,\frac{4}{3}$

III. Les équations-produits :

Propriété :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si, un des facteurs, au moins, est nul.

$A\times \,B=0$ équivaut à A=0 ou B=0 .

Exemple :

Résoudre l’équation-produit suivante :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si, un des facteurs, au moins, est nul.

Par conséquent, nous avons :

$2x-3=0\\2x=3\\x=\frac{3}{2}$ ou $5x+1=0\\5x=-1\\x=-\frac{1}{5}$

IV.Les équations du type x²=a :

Propriété :

Les solutions de x²=a sont :

$x=\sqrt{a}$ et $x=-\sqrt{a}$ si
0 si a = 0;
ensemble vide si

Exemples :

Résoudre les équations suivantes :

36>0 donc il y a deux solutions qui sont :

$x=\sqrt{36}=6$ et $x=-\sqrt{36}=-6$

L’ensemble solution est $S=\,\,\{\,-6;6\,\,\}$ .

-15<0 donc il y a aucune solution, ou encore, le carré d’un nombre est toujours positif ou nul.

L’ensemble solution est $S=\,\varnothing$ .

V.Carte mentale sur les équations et inéquations :

Autre version de cette leçon

I. L’équation du premier degré à une inconnue

Propriété :

On ne modifie une égalité si on ajoute (ou retranche) un même nombre à chaque membre de l’équation.

On ne modifie une égalité si on multiplie (ou divise) chaque membre de l’équation par un même nombre non nul.

Exemple :

Résoudre l’équation .

$x=\frac{7}{3}$

La solution de cette équation est $x=\frac{7}{3}$ .

II. Les équations-produits

Propriété :

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un des facteurs, au moins, est nul.

$A\times \,B=0$ équivaut à $A\,=\,0$ ou $B\,=\,0$ .

Exemples :

Résoudre les équations suivantes :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

Par conséquent :

$x-3=0\\x=3$ ou $2x+6=0\\2x=-6\\x=-\frac{6}{2}=-3$

Les deux solutions de cette équation sont x=3 et x= – 3.

2. $(x+1)(2x-7)+(x+1)(3x+2)=0\\(x+1)[(2x-7)\,+(3x+2)]=0\\(x+1)(5x-5)=0$

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

Par conséquent :

$x+1=0\\x=-1$ ou $5x-5=0\\5x=5\\x=1$

Les deux solutions de cette équations sont x = -1 et x = 1.

III. Résolution de problèmes et d’équations

Exercice n° 1 :

Trouver 3 nombres entiers consécutifs dont la somme est égale à 984.

On posera comme inconnue le plus petit nombre.

On note x le plus petit nombre alors :

$x,+x+1+x+2=984\\3x+3=984\\3x=984-3\\3x=981\\x=\frac{981}{3}\\x=327$

Les trois nombres recherchés sont 327,328 et 329.

Exercice n° 2 :

Un club de sport propose la formule suivante : une carte d’adhérent de 12 € puis

l’utilisation de la salle de gymnastique facturée 4,50 € l’heure.

Désignons par x le nombre d’heure d’utilisation de la salle de gymnastique.

Déterminer le prix à payer en fonction du nombre d’heure d’utilisation.

Au bout de combien d’heure d’utilisation le prix à payer est de 79,50 € ?

Nous avons :

$12+4,5x=79,5\\4,5x=79,5-12\\4,5x=67,5\\x=\frac{67,5}{4,5}\\x=15$

Au bout de la quinzième heure, le prix a payer sera de 79,50 euros.

Exercice n° 3 :

Le réservoir d’une voiture est plein au un tiers. On rajoute 42 litres pour le remplir.

Quelle est sa contenance ?

On choisira comme inconnue la contenance totale du réservoir.

Soit x la contenance en litre de ce réservoir.

$\frac{1}{3}x+42=x\\\frac{1}{3}x-x=-42\\-\frac{2}{3}x=-42\\\frac{2}{3}x=42\\x=\frac{42\times \,3}{2}=63\,L$

Ce réservoir a une contenance de 63 litres.

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