Les équations et inéquations : cours de maths en 3ème au programme de troisième

Avant d’aborder cette leçon, il faut avoir acquis le contenu du cours sur les équations de l’année précédente.

Sommaire

I.Les équations du premier degré à une inconnue :

Définitions :

Soient a,b et c trois nombres relatifs tel que $a\neq0$ .

On appelle équation du premier degré à une inconnue toute égalité qui peut se ramener à cette forme : $ax+b=c$ .
La lettre x est appelée inconnue de l’équation.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’égalité.
Toute valeur de x qui vérifie l’égalité est appelé solution de l’équation.
L’expression ax+b est appelée premier membre de l’équation.
L’expression c est appelée second membre de l’équation.

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs.La solution de l’équation $x+a=b$ est $x=b-a$ .

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs tel que $a\neq0$ .La solution de l’équation $ax=b$ est $x=\frac{b}{a}$ .

Exemple :

Résoudre l’équation suivante :

$2x-3=7x+2\\2x-7x=2+3\\-5x=5\\x=\frac{5}{-5}\\x=-1$

II.Les inéquations du premier degré à une inconnue :

Définitions :

Soient a,b et c trois nombres relatifs tel que $a\neq0$ .

On appelle inéquation du premier degré à une inconnue toute inégalité qui peut se ramener à cette forme : $ax+b \leq c$ .

La lettre x est appelée inconnue de l’inéquation.
Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’inégalité.
Toute valeur de x qui vérifie l’inégalité est appelé solution de l’inéquation.
L’expression ax+b est appelée premier membre de l’inéquation.
L’expression c est appelée second membre de l’inéquation.

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs.Les solutions de l’inéquation $x+a \leq b$ sont $x\leq b-a$ .

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs tel que $a\neq0$ .Les solutions de l’inéquation $ax \leq b$ sont :

$x \leq \frac{b}{a}$ si $a>0$ .
$x \geq \frac{b}{a}$ si $a<0$ .

Exemples :

Résoudre les inéquation suivantes :

$2x-3 \leq 7x+2\\2x-7x\leq2+3\\-5x\leq5\\x \geq \frac{5}{-5}\\x\geq-1$ $5x+6\leq 2x+10\\5x-2x\leq 10-6\\3x\leq 10-6\\3x\leq 4\\ x\leq \frac{4}{3}$

III.Les équations-produits :

Propriété :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si, un des facteurs, au moins, est nul. $A\times B=0$ équivaut à $A=0$ ou $B=0$ .

Exemple :

Résoudre l’équation-produit suivante :

$(2x-3)(5x+1)=0$

Un produit de facteurs est nul si et seulement si, un des facteurs, au moins, est nul.

Par conséquent, nous avons :

$2x-3=0\\2x=3\\x=\frac{3}{2}$ ou $5x+1=0\\5x=-1\\x=-\frac{1}{5}$

IV.Les équations du type x²=a :

Propriété :

Les solutions de x²=a sont :

$x=\sqrt{a}$ et $x=-\sqrt{a}$ si $a>0$
0 si a = 0;
ensemble vide si $a<0$

Exemples :

Résoudre les équations suivantes :

a. $x^2=36$

36>0 donc il y a deux solutions qui sont :

$x=\sqrt{36}=6$ et $x=-\sqrt{36}=-6$

L’ensemble solution est $S= \left \{ -6;6 \right \}$ .

b. $x^2=-15$

-15>0 donc il y a aucune solution, ou encore, le carré d’un nombre est toujours positif ou nul.

L’ensemble solution est $S= \varnothing$ .

V.Carte mentale sur les équations et inéquations :

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