Fonctions et généralités : cours de maths en 3ème sur l’image et antécédent à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

Les fonctions numériques avec un cours de maths en 3ème à télécharger ou à imprimer en PDF. Nous aborderons la notion d’image et d’antécédent ainsi que les tableaux de valeurs. L’élève devra être capable de tracer la courbe représentative d’une fonction ou de l’exploiter en troisième.

I. Notion de fonction :

1.Activité d’introduction :

Un propriétaire souhaite construire un enclos rectangulaire le long d’un mur pour son chien de garde.

Il dispose d’un grillage ayant une longueur de 21 mètres.

Il souhaite maximiser l’espace pour son chien et veut utiliser l’intégralité du grillage.

La largeur de l’enclos doit être inférieure à 10,5 mètres.

1.Notons la largueur de l’enclos.

Quelle est l’expression de la longueur de l’enclos en fonction de ?

2.Quelle est l’expression développée et réduite de l’aire de cet enclos ?

$A=l\times \,L=x(21-2x)=21x-2x^2=-2x^2+21x$

3.Calculer l’aire de l’enclos pour $x=\,0m;x=1\,m;x=3\,m;x=7\,m;x=10,5\,m$ .

Pour = 0 m : $A=l\times L=-2\times 0^2+21 \times 0=0\,m^2$ .

Pour = 1 m : $A=l\times \,L=-2\times \,1^2+21\,\times \,1=-2+21=19\,m^2$ .

Pour = 3 m : $A=l\times \,L=-2\times \,3^2+21\,\times \,3=-18+63=45\,m^2$ .

Pour = 7 m : $A=l\times \,L=-2\times \,7^2+21\,\times \,7=-98+147=49\,m^2$ .

Pour = 10,5 m : $A=l\times \,L=-2\times \,10,5^2+21\,\times \,10,5=-220,5+220,5=0\,m^2$ .

4.On met en place un processus mathématique, noté f, que l’on appelle fonction.

On décide d’associer à chaque largeur x, l’unique aire de l’enclos notée f(x).

Nous avons mis en place la fonction $f:x\,\mapsto \,f(x)$ ( $\mapsto$ se lit associe).

Quelle est l’expression littérale de f ?

Nous avons montré précédemment que .

5.Calculer f(7) qui est l’image de 7 par la fonction f.

$f(7)=-2\times \,7^2+21\,\times \,7=-98+147=49\,m^2$

Remarque :

Nous avons déjà calculé cette valeur, en effet lorsque la largeur est de 7 m, l’aire de l’enclos est de 49 m².

6.A l’aide du tableur de votre calculatrice, compléter le tableur de valeurs suivant :

7.Dans le repère suivant, placer tous les points de A à Q puis, tracer la courbe de cette fonction :

Sur l’axe des abscisses, nous placerons les valeurs de x et sur l’axe des ordonnées, nous placerons les valeurs de f(x).

8.Retrouver graphiquement pour quelle valeur de x l’aire de l’enclos est maximale et calculer cette aire.

L’aire de l’enclos est maximale pour x = 5,25 m.

$f(5,25)=-2\times \,5,25^2+21,\times \,5,25=-55,125+110,25=55,125\,m^2$ .

2.Résolution du problème avec Geogebra :

II. Généralités sur les fonctions :

1.Définitions et vocabulaire :

Définition :

Une fonction, notée f, est un processus mathématique qui à tout nombre x d’un ensemble de départ associe un unique nombre, noté f(x), dans un ensemble d’arrivée.

Le nombre x est appelé l’antécédent de f(x).

Le nombre f(x) est appelé l’image du nombre x par la fonction f.

Une fonction f peut être notée de deux façons :

la fonction f telle que $f:x\,\mapsto \,f(x)$
la fonction f définie par

Exemple de fonctions :

La fonction qui associe à un nombre son double est définie par $f:x\,\mapsto \,2x$ .

La fonction triple est la fonction h définie par .

la fonction k qui a une longueur x associe l’aire du carré est définie par

2.Courbe représentative d’une fonction :

Définition :

Soit f une fonction définie sur un ensemble. On appelle courbe représentative d’une fonction f, notée C_f , l’ensemble des points de coordonnées M(a,f(a)) dans un repère cartésien du plan.

III. Carte mentale sur les fonctions :

Autre version de cette leçon

I. Généralités sur les fonctions numériques

1.Notion de fonction

Définition :

Une fonction est un processus mathématique qui à tout nombre x d’un ensemble de départ associe

un unique nombre, noté f(x).

Le nombre x est appelé l’antécédent du nombre f(x).

Le nombre f(x) est appelé l’image du nombre x par la fonction f.

On note la fonction $f:x,\mapsto ,f(x)$ .

Exemple :

On appelle f la fonction qui, à la longueur du côté d’un carré, associe le périmètre du carré.

La fonction f associe au nombre 5, le nombre 20.

Plus généralement, elle associe au nombre x, le nombre 4x.

On note $f:x\,\mapsto \,4x$ ou encore f(x)=4x.

Remarque :

Pour une fonction f, on utilise la notation $f:x\,\mapsto \,f(x)$ qui se lit « f est la fonction qui, à x, associe le nombre f(x) ».

2.Image et antécédent

Remarque :

L’image d’un nombre est unique. Par contre, un nombre peut avoir plusieurs antécédents.

Exemples :

Soit f la fonction telle f(-2)=0.

l’image de -2 par f est 0.
0 est un antécédent de -2 par f.

2. Soit la fonction $f:x\,\mapsto \,x^2\,-4$ .

Cela signifie qu’à tout nombre, ici noté x, la fonction f associe un unique nombre noté f(x).

On dit que l’image du nombre x par la fonction f est le nombre x²-4.

3. Tableau de valeurs

Définition :

On considère une fonction $f:x\,\mapsto \,f(x)$ .

Nous pouvons résumer les images et les antécédents correspondants dans un tableur de valeurs.

Exemple :

Reprenons la fonction f définie par f(x)=x²-4.

Voici un tableau de valeurs de cette fonction :

Sur la première ligne, nous avons les antécédents et sur la seconde, les images.

De plus, nous pouvons remarquer que 5 a au moins deux antécédents qui sont x = -3 et x = 3.

II. Représentation graphique d’une fonction numérique

Définition :

On considère le plan muni d’un repère orthonormé et une fonction $f:x\,\mapsto \,f(x)$ .

L’ensemble des points est appelé courbe représentative de la fonction f et notée C_f .

Exemple :

Les courbes ci-dessous représentent la fonction $f:x,\mapsto \,x^2\,-4$ .

L’image de 1,5 par la fonction f est – 1,75.

Les antécédents de -3 sont x=1 et x=-1.

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