Calcul littéral : exercices de maths en 3ème corrigés à télécharger en PDF

Développer les expressions suivantes :

\(I = 25x^2 - 9 + (5x - 3)(7x + 8)\)

\(J = 9 - 48x + 64x^2 - (6 + 2x)(3 - 8x)\)

\(K = 100x^2 - 25 - (20x + 10)(2x - 4)\)

\(L = (2x - 3)(4x + 2) + (4x + 2)(7x - 8)\)

puis factoriser-les.

Développer et réduire les expressions suivantes :

\(A = 12x^2 + (4x + 5)^2\)

\(B = 7x - (6x + 2)^2\)

\(C = -16x^2 - (4x - 1)(4x + 1)\)

\(D = (6x - 4)^2 + (2x - 6)^2\)

On donne : \(D = (2x - 3)(5x + 4) + (2x - 3)^2\).

1. Montrer, en détaillant les calculs, que \(D\) peut s'écrire :

\(D = (2x - 3)(7x + 1)\)

2. Résoudre l'équation : \((2x - 3)(7x + 1) = 0\).

\(A = (2x - 3)(2x + 3) - (3x + 1)(2x - 3)\)

1. Développer puis réduire \(A\).

2. Factoriser \(A\).

3. Résoudre l'équation : \((2x - 3)(-x + 2) = 0\)

Développer et réduire les expressions suivantes :

\(A = 12x^2 + (4x + 5)^2\)

\(B = 7x - (6x + 2)^2\)

\(C = -16x^2 - (4x + 1)(4x - 1)\)

\(D = (6x - 4)^2 + (2x - 6)^2\)

1. Calculer les aires colorées des deux figures ci-dessous en fonction de \(x\).

2. Que remarque-t-on ?

Développer à l'aide des identités remarquables et réduire les expressions :

\(A = (y + 3)^2\)

\(B = (1 + t)^2\)

\(C = (7 - y)^2\)

\(D = (3x - 10)^2\)

\(E = (7 - 2y)(7 + 2y)\)

\(F = (7a + 4)^2\)

Soit l'expression suivante :

\(B = (4a - 3)(4a + 3) - (3a - 5)^2\)

1. Développer et réduire l'expression \(B\).

2. Calculer l'expression \(B\) pour :

a. \(a = 1\) ; b. \(a = 0{,}75\) ; c. \(a = 0\).

Calculer sans calculatrice et sans poser d'opérations :

1. \(101^2\)

2. \(103^2\)

3. \(98^2\)

4. \(101 \times 99\)

On considère l'expression :

\(E = (3x + 2)^2 - (5 - 2x)(3x + 2)\)

1. Développer et réduire l'expression \(E\).

2. Factoriser \(E\).

3. Calculer \(E\) pour \(x = -2\).

On considère l'expression :

\(D = (x - 2)^2 - 2(x - 2)\)

1. Factoriser \(D\).

2. Développer et réduire \(D\).

3. Calculer \(D\) pour \(x = 1\).

On donne un programme de calcul :

1. Choisir un nombre.

2. Lui ajouter 4.

3. Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.

4. Ajouter 4 à ce produit.

5. Écrire le résultat.

1. Écrire les calculs permettant de vérifier que si l'on fait fonctionner ce programme avec le nombre \(-2\) alors on obtient \(0\).

2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est \(5\).

3. On note \(x\) le nombre choisi.

Quelle est l'expression littérale obtenue en effectuant ce programme.

Donner le résultat sous forme développée.

On donne \(A = (3x - 5)(6 - 4x) - 5(8 - 6x)\)

1) Développer et réduire \(A\).

2) Calculer la valeur exacte de \(A\) si \(x = -5\sqrt{6}\) ; donner ensuite la valeur arrondie au centième.

Compléter en utilisant les identités remarquables.

\(A = (3x + \dots)^2 = \dots + \dots + 25\)

\(B = (2x - \dots)^2 = \dots - 24x + \dots\)

\(C = (\dots\ \dots\ \dots)^2 = \dots - 16y + 16\)

\(D = 49a^2 + \dots + 25 = (\dots\ \dots\ \dots)^2\)

\(E = 4x^2 - \dots = (\dots - \dots)(\dots + 1)\)

Soit \(E = (3x + 2)^2 - (3x + 2)(x + 7)\).

a) Développer et réduire \(E\).

b) Factoriser \(E\).

c) Calculer \(E\) pour \(x = \dfrac{1}{2}\).

1. Factoriser ces expressions :

\(A = 36 - 25x^2\)

\(B = 100 + 60x + 9x^2\)

\(C = b^2 - 10b^2 + 25\)

\(E = (2 - x)^2 + (2 - x)(9 - x)\)

2. Développer les expressions littérales suivantes :

\(A = (2x - 5)^2\)

\(B = (5x - 3)(5x + 3)\)

\(C = (-3x + 5)^2\)

\(D = (-6x + 9)^2\)

Développer ces expressions littérales et détailler toutes les étapes :

a) \((x - 1)^2\)

b) \((x + 4)^2\)

c) \((2x + 1)^2\)

d) \((7x - 1)(7x + 1)\)

e) \((4x - 1)(3x + 7)\)

f) \((-x + 1)(3x - 2)\)

g) \(\left(\dfrac{1}{2} + x\right)^2\)

h) \((x - 4)^2 + (x + 2)(x + 3)\)

i) \((5x - 3)(2x + 1) - (x + 1)^2\)

Jacques a fait construire une piscine rectangulaire.

Il a carrelé le bord de cette piscine.

Les longueurs sont exprimées en mètre.

1) Exprimer en fonction de \(x\) l'aire \(A_1\) de la surface de la piscine.

2) Exprimer en fonction de \(x\) l'aire \(A_2\) de la surface carrelée.

3) Développer et réduire l'expression obtenue pour \(A_2\).

4) Calculer les aires \(A_1\) et \(A_2\) pour \(x = 2\,\text{m}\).

Construire un carré ayant pour aire le double du carré ci-dessus.

Détaillez votre méthode.

Développer l'expression suivante :

1) \(E = (3x + 2)^2 - (5 - 2x)(3x + 2)\)

2) Factoriser \(E\)

3) Calculer la valeur de \(E\) pour \(x = -2\).

Factoriser les expressions littérales suivantes :

• \(A = 4x(x+3)+2(x+3)\)
• \(B = (3x+2)+(x+4)(3x+2)\)
• \(C = (3x-5)(x+1)+(x+1)(7x+3)\)
• \(D = 3x(2+x)+4(2+x)\)
• \(E = (2x-1)(x-1)-2(x-1)\)
• \(F = (5x+2)(2x-1)-(5x+2)(5-x)\)

Développer les expressions littérales suivantes :

• \(A = (x+5)(x+2)\)
• \(B = (x+1)(x-3)\)
• \(C = (2x+3)(x+4)\)
• \(D = (2x+1)(3x+4)\)
• \(E = (3x+5)(3x-5)\)
• \(F = (5-2x)(3+4x)\)

Démontrer que l’aire de la couronne de centre O représentée ci-dessous est égale à

\[A = \pi(R-r)(R+r)\]

Factoriser les expressions suivantes :

• \(A = (2x+4)(x+1)+(x+2)(9x+7)\)
• \(B = 5(1-x)+2x(x-1)\)
• \(C = (x+4)^2-(5+2x)^2\)
• \(D = 3x^2+12x+12\)
• \(E = \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{25}{9}\)

Riyanne affirme :

« Pour tout nombre entier N l’expression de \(n^2-4n+144\) est toujours différente de zéro ».

A-t-il raison ?

Développer et réduire les expressions suivantes :

• \(A = 5(x+2)\)
• \(B = 7(x-3)+2x-1\)
• \(C = -4(2x-1)+(x+3)\)
• \(D = (x-5)(2x+1)\)
• \(E = (2x-1)(-3x+7)+4x^2-1\)
• \(F = 8x+3-4(x-2)(x+2)+3x^2\)

Développer, puis réduire si possible, chaque expression :

• \(A = 2x(x+3)\)
• \(B = -7y^2(-5-2y^2)\)
• \(C = (x+5)(x+1)\)
• \(D = (2x-5)(x+4)\)
• \(E = 3x^2+2x+3-(4x^2+5x+9)\)
• \(F = (x+4)(x-6)+(-1+x)(x-7)\)
• \(G = -3(a^2+2)-(a-3)(2a+7)\)
• \(H = 4-(2x+1)^2\)

On considère l’expression \(D = (2x-7)^2-36x^2\).

1. Développer et réduire D.
2. Factoriser D.
3. Résoudre l’équation \((8x-7)(-7-4x) = 0\).
4. Calculer la valeur exacte de D quand \(x = \sqrt{2}\).

On donne le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre.
• Ajouter 1.
• Calculer le carré du résultat obtenu.
• Soustraire le carré du nombre de départ.
• Soustraire 1.

1. 1. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 10 et montrer qu’on obtient 20.
   2. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est \(-3\) et montrer qu’on obtient \(-6\).
   3. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est \(1{,}5\).
2. Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ?

Démontrer cette conjecture.

Factoriser les expressions suivantes :

• \(A = 13(x+2)+5(x+2)\)
• \(B = 3x(x+2)-5(x+2)\)
• \(C = 4(x+3)+9x(x+3)\)
• \(D = 7x(3x+1)-10x(3x+1)\)

Factoriser les expressions littérales suivantes :

• \(E = (x-3)(2x+1)+7(2x+1)\)
• \(F = (x+1)(x+2)-5(x+2)\)
• \(G = (3-x)(4x+1)-8(4x+1)\)

Factoriser les expressions littérales suivantes :

• \(K = (x+1)^2+(x+1)(3x+1)\)
• \(L = (x-3)^2-(x-3)(4x+1)\)
• \(M = (x+1)(2x-5)+(2x-5)^2\)

1. Résoudre l’inéquation : \(2x-3 \geq x+1\) et représenter les solutions sur une droite graduée.
2. \(x\) désignant un nombre supérieur ou égal à 4, ABCD est un carré dont le côté mesure \(2x-3\).

1. Montrer que l^{\prime}aire du rectangle BCEF s^{\prime}exprime par la formule : \[A = (2x-3)^2-(2x-3)(x+1)\]
2. Développer et réduire A.
3. Factoriser A.
4. Résoudre l^{\prime}équation : \((2x-3)(x-4) = 0\)
5. Pour quelles valeurs de \(x\), l’aire du rectangle BCEF est-elle nulle ? Justifier.

1. Choisir 3 nombres entiers consécutifs (qui se suivent). Calculer le carré du nombre du milieu, puis soustraire à ce carré le produit des deux autres nombres.
2. Recommencer avec 3 autres nombres entiers consécutifs. Que constate-t-on ?
3. Démontrer cette conjecture.

On considère les expressions \(E = x^2-5x+5\) et \(F = (2x-7)(x-2)-(x-3)^2\).

1. Calculer E et F pour \(x = 4\).
2. Développer F. Les résultats obtenus à la question a) sont-ils surprenants ?
3. Avec un tableur :

   On veut calculer en colonne B les valeurs prises par l’expression E pour les valeurs de \(x\) inscrites en colonne A.

   Quelle formule faut-il rentrer dans la cellule B2 pour faire effectuer le calcul souhaité ? (la formule devra pouvoir être étendue aux cellules situées en dessous)

Développer en utilisant les identités remarquables :

• \(a = (3x+5)^2\)
• \(b = (5+x)^2\)
• \(c = (8x+2)^2\)
• \(d = (x+1)^2\)
• \(e = (2-3x)^2\)
• \(f = (3x+1)(3x-1)\)

Factoriser les expressions littérales suivantes :

• \(m = (3x-5)(2x+1)-(3x-5)(x+4)\)
• \(n = (5x-2)(2x+3)+(2x+3)(7x+2)\)
• \(p = (3x-2)^2-(3x-2)(5-2x)\)
• \(q = (8-2x)^2+(3-x)(8-2x)\)
• \(r = (5-x)(3x+2)-(5-x)^2\)
• \(s = (2x-3)^2-(5x+4)^2\)
• \(t = (3x-1)^2-(8x+2)^2\)

Factoriser les expressions suivantes :

• \(A = (3x+2)(5x-2)+(3x+2)(x-8)\)
• \(B = 49x^2+56x+16\)
• \(C = 4x^2-8x+4-(2x-2)(-3x+9)\)

1. Développer puis réduire les expressions littérales suivantes :
   • \(A = (x-3)(2x-1)\)
   • \(B = (x+7)^2+3x-1\)
   • \(C = 3(x^2+2)-(2x^2+7x+3)\)
2. Calculer la valeur que prend l’expression A lorsque \(x = 7\), puis lorsque \(x = -5\).

Résoudre les équations suivantes :

Résoudre les équations suivantes :

• \((2x+3)(5x-1) = (2x+3)(x+6)\)
• \((x+6)(x+2) = (2x-1)(x+6)\)
• \((2x-7)(x+2) = (x+2)^2\)
• \((2x-3)(x+9) = (2x-3)^2\)

Résoudre chaque équation « produit nul ».

1. \((x+8)(x-5) = 0\)
2. \(5x(4-x) = 0\)
3. \((x+3)^2 = 0\)