Corrigé des 42 exercices de calcul littéral en 3ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Par ailleurs, développements.

\[ \begin{aligned} I &= 25x^2 – 9 + (35x^2 + 40x – 21x – 24) = 60x^2 + 19x – 33 \\ J &= 9 – 48x + 64x^2 – (18 – 48x + 6x – 16x^2) = 80x^2 – 6x – 9 \\ K &= 100x^2 – 25 – (40x^2 – 80x + 20x – 40) = 60x^2 + 60x + 15 \\ L &= (8x^2 + 4x – 12x – 6) + (28x^2 – 32x + 14x – 16) = 36x^2 – 26x – 22 \end{aligned} \]

De même, factorisations. On transforme la première partie avec une identité remarquable pour faire apparaître un facteur commun.

• \(25x^2 – 9 = (5x – 3)(5x + 3)\), donc \(I = (5x – 3)\left[(5x + 3) + (7x + 8)\right] = (5x – 3)(12x + 11)\).
• \(9 – 48x + 64x^2 = (3 – 8x)^2\), donc \(J = (3 – 8x)\left[(3 – 8x) – (6 + 2x)\right] = (3 – 8x)(-10x – 3) = (8x – 3)(10x + 3)\).
• \(100x^2 – 25 = (10x – 5)(10x + 5) = 5(2x – 1) \times 5(2x + 1)\) et \(20x + 10 = 10(2x + 1)\). Le facteur commun est \(5(2x + 1)\) : \(K = 5(2x + 1)\left[5(2x – 1) – 2(2x – 4)\right] = 5(2x + 1)(6x + 3) = 15(2x + 1)^2\).
• Facteur commun \((4x + 2)\) : \(L = (4x + 2)\left[(2x – 3) + (7x – 8)\right] = (4x + 2)(9x – 11) = 2(2x + 1)(9x – 11)\).

Par conséquent, vérification pour \(I\) avec \(x = 1\) : \(60 + 19 – 33 = 46\) et \(2 \times 23 = 46\).

\[ \begin{aligned} A &= 12x^2 + (16x^2 + 40x + 25) = 28x^2 + 40x + 25 \\ B &= 7x – (36x^2 + 24x + 4) = -36x^2 – 17x – 4 \\ C &= -16x^2 – (16x^2 – 1) = -32x^2 + 1 \\ D &= (36x^2 – 48x + 16) + (4x^2 – 24x + 36) = 40x^2 – 72x + 52 \end{aligned} \]

Par ailleurs, on a utilisé \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) pour A et B, \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\) pour C, \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) pour D. Puis pour B et C, le signe moins devant la parenthèse change tous les signes du développement.

1. Enfin, on remarque que \((2x – 3)^2 = (2x – 3)(2x – 3)\) : le facteur \((2x – 3)\) est commun aux deux termes.

\[ \begin{aligned} D &= (2x – 3)(5x + 4) + (2x – 3)(2x – 3) \\ &= (2x – 3)\left[(5x + 4) + (2x – 3)\right] \\ &= (2x – 3)(7x + 1) \end{aligned} \]

2. Ensuite, un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[ 2x – 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2} \qquad \text{ou} \qquad 7x + 1 = 0 \iff x = -\frac{1}{7} \]

1.

\[ \begin{aligned} A &= (4x^2 – 9) – (6x^2 – 9x + 2x – 3) \\ &= 4x^2 – 9 – 6x^2 + 7x + 3 \\ &= -2x^2 + 7x – 6 \end{aligned} \]

2. De même, facteur commun \((2x – 3)\) :

\[ A = (2x – 3)\left[(2x + 3) – (3x + 1)\right] = (2x – 3)(-x + 2) \]

3. Par conséquent, équation produit nul : \(2x – 3 = 0\) donne \(x = \dfrac{3}{2}\) ; \(-x + 2 = 0\) donne \(x = 2\).

\[ \begin{aligned} A &= 12x^2 + (4x)^2 + 2 \times 4x \times 5 + 5^2 = 12x^2 + 16x^2 + 40x + 25 = 28x^2 + 40x + 25 \\ B &= 7x – \left[(6x)^2 + 2 \times 6x \times 2 + 2^2\right] = 7x – 36x^2 – 24x – 4 = -36x^2 – 17x – 4 \\ C &= -16x^2 – \left[(4x)^2 – 1^2\right] = -16x^2 – 16x^2 + 1 = -32x^2 + 1 \\ D &= (36x^2 – 48x + 16) + (4x^2 – 24x + 36) = 40x^2 – 72x + 52 \end{aligned} \]

Par ailleurs, ce sont les mêmes expressions que dans l’exercice 2 : on retrouve bien les mêmes résultats (dans C, l’ordre des facteurs \((4x + 1)(4x – 1)\) ne change rien).

1. Enfin, figure orange : grand carré de côté \(x + 1\) auquel on enlève le carré blanc de côté 1.

\[ \mathcal{A}_1 = (x + 1)^2 – 1^2 = x^2 + 2x + 1 – 1 = x^2 + 2x \]

Ensuite, figure verte : rectangle de dimensions \(x\) et \(x + 2\).

\[ \mathcal{A}_2 = x(x + 2) = x^2 + 2x \]

2. Par ailleurs, on remarque que les deux aires sont égales quelle que soit la valeur de \(x\). C’est l’identité \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = x + 1\) et \(b = 1\) : \((x + 1)^2 – 1 = x(x + 2)\).

\[ \begin{aligned} A &= (y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9 \\ B &= (1 + t)^2 = 1 + 2t + t^2 \\ C &= (7 – y)^2 = 49 – 14y + y^2 \\ D &= (3x – 10)^2 = 9x^2 – 60x + 100 \\ E &= (7 – 2y)(7 + 2y) = 49 – 4y^2 \\ F &= (7a + 4)^2 = 49a^2 + 56a + 16 \end{aligned} \]

Enfin, le double produit se calcule à part : pour D, \(2 \times 3x \times 10 = 60x\) ; pour F, \(2 \times 7a \times 4 = 56a\).

1.

\[ \begin{aligned} B &= (16a^2 – 9) – (9a^2 – 30a + 25) \\ &= 16a^2 – 9 – 9a^2 + 30a – 25 \\ &= 7a^2 + 30a – 34 \end{aligned} \]

2. Par ailleurs, on remplace \(a\) dans la forme réduite :

\[ \begin{aligned} a = 1 &: \quad B = 7 + 30 – 34 = 3 \\ a = 0{,}75 &: \quad B = 7 \times 0{,}5625 + 22{,}5 – 34 = 3{,}9375 + 22{,}5 – 34 = -7{,}5625 \\ a = 0 &: \quad B = -34 \end{aligned} \]

De même, contrôle pour \(a = 1\) avec la forme de départ : \(1 \times 7 – (-2)^2 = 7 – 4 = 3\).

Ensuite, on décompose chaque nombre autour de 100 pour utiliser une identité remarquable.

\[ \begin{aligned} 101^2 &= (100 + 1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201 \\ 103^2 &= (100 + 3)^2 = 10\,000 + 600 + 9 = 10\,609 \\ 98^2 &= (100 – 2)^2 = 10\,000 – 400 + 4 = 9\,604 \\ 101 \times 99 &= (100 + 1)(100 – 1) = 10\,000 – 1 = 9\,999 \end{aligned} \]

1.

\[ \begin{aligned} E &= (9x^2 + 12x + 4) – (15x + 10 – 6x^2 – 4x) \\ &= 9x^2 + 12x + 4 – 15x – 10 + 6x^2 + 4x \\ &= 15x^2 + x – 6 \end{aligned} \]

2. De même, facteur commun \((3x + 2)\) :

\[ \begin{aligned} E &= (3x + 2)\left[(3x + 2) – (5 – 2x)\right] \\ &= (3x + 2)(3x + 2 – 5 + 2x) \\ &= (3x + 2)(5x – 3) \end{aligned} \]

3. Par conséquent, avec la forme factorisée : \(E = (3 \times (-2) + 2)(5 \times (-2) – 3) = (-4) \times (-13) = 52\). Avec la forme développée : \(15 \times 4 – 2 – 6 = 52\).

Ensuite, on a 1. Factoriser D. Le facteur commun est \((x-2)\) : \((x-2)^2 = (x-2)(x-2)\).

\[ \begin{aligned} D &= (x-2)(x-2) – 2(x-2) \\ &= (x-2)\big[(x-2) – 2\big] \\ &= (x-2)(x-4) \end{aligned} \]

Ainsi, on trouve 2. Développer et réduire D. On utilise \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

\[ \begin{aligned} D &= x^2 – 4x + 4 – 2x + 4 \\ &= x^2 – 6x + 8 \end{aligned} \]

Par conséquent, on obtient 3. Calculer D pour x = 1. On choisit la forme la plus simple, par exemple la forme factorisée :

\[ D = (1-2)(1-4) = (-1) \times (-3) = 3 \]

De plus, vérification avec la forme développée : \(1 – 6 + 8 = 3\).

1. De même, avec le nombre \(-2\) :

• on lui ajoute 4 : \(-2 + 4 = 2\) ;
• on multiplie la somme par le nombre choisi : \(2 \times (-2) = -4\) ;
• on ajoute 4 : \(-4 + 4 = 0\).

Par conséquent, on obtient bien 0.

2. De plus, avec le nombre 5 : \(5 + 4 = 9\), puis \(9 \times 5 = 45\), puis \(45 + 4 = 49\). Ensuite, le programme donne 49.

3. Ainsi, avec le nombre x : on obtient \(x + 4\), puis \((x+4) \times x\), puis \((x+4) \times x + 4\).

\[ \begin{aligned} (x+4) \times x + 4 &= x^2 + 4x + 4 \end{aligned} \]

Enfin, remarque : \(x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2\). Puis le résultat est donc toujours un carré, et il vaut 0 seulement pour \(x = -2\).

1) De plus, on développe le produit par double distributivité, puis le second terme par simple distributivité, en faisant attention au signe « moins ».

\[ \begin{aligned} A &= (3x-5)(6-4x) – 5(8-6x) \\ &= 18x – 12x^2 – 30 + 20x – 40 + 30x \\ &= -12x^2 + 68x – 70 \end{aligned} \]

2) Ainsi, on remplace x par \(-5\sqrt{6}\). De plus, on calcule d’abord \(x^2 = (-5\sqrt{6})^2 = 25 \times 6 = 150\).

\[ \begin{aligned} A &= -12 \times 150 + 68 \times (-5\sqrt{6}) – 70 \\ &= -1\,800 – 340\sqrt{6} – 70 \\ &= -1\,870 – 340\sqrt{6} \end{aligned} \]

Enfin, À la calculatrice : \(-1\,870 – 340\sqrt{6} \approx -2\,702{,}826\), soit \(-2\,702{,}83\) au centième près.

De plus, on utilise \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) et \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\).

• A. Le dernier terme est \(25 = 5^2\), donc \(b = 5\) : \(2 \times 3x \times 5 = 30x\). \(A = (3x+5)^2 = 9x^2 + 30x + 25\).
• B. Le double produit est \(2 \times 2x \times b = 24x\), donc \(b = 6\) : \(B = (2x-6)^2 = 4x^2 – 24x + 36\).
• C. \(16 = 4^2\), donc \(b = 4\), et \(2 \times a \times 4 = 16y\) donne \(a = 2y\) : \(C = (2y-4)^2 = 4y^2 – 16y + 16\).
• D. \(49a^2 = (7a)^2\) et \(25 = 5^2\) ; le double produit vaut \(2 \times 7a \times 5 = 70a\) : \(D = 49a^2 + 70a + 25 = (7a+5)^2\).
• E. La forme \((\ldots – \ldots)(\ldots + 1)\) indique la troisième identité avec \(b = 1\) et \(a = 2x\) : \(E = 4x^2 – 1 = (2x-1)(2x+1)\).

De même, a) Développer et réduire.

\[ \begin{aligned} E &= (3x+2)^2 – (3x+2)(x+7) \\ &= 9x^2 + 12x + 4 – (3x^2 + 21x + 2x + 14) \\ &= 9x^2 + 12x + 4 – 3x^2 – 23x – 14 \\ &= 6x^2 – 11x – 10 \end{aligned} \]

Par conséquent, b) Factoriser. Le facteur commun est \((3x+2)\).

\[ \begin{aligned} E &= (3x+2)\big[(3x+2) – (x+7)\big] \\ &= (3x+2)(3x + 2 – x – 7) \\ &= (3x+2)(2x-5) \end{aligned} \]

De plus, c) Calculer E pour \(x = \frac{1}{2}\). Avec la forme factorisée :

\[ E = \left(\frac{3}{2} + 2\right)\left(1 – 5\right) = \frac{7}{2} \times (-4) = -14 \]

Ainsi, vérification avec la forme développée : \(6 \times \frac{1}{4} – \frac{11}{2} – 10 = 1{,}5 – 5{,}5 – 10 = -14\).

Par conséquent, on obtient 1. Factoriser.

• A. \(36 – 25x^2 = 6^2 – (5x)^2\), de la forme \(a^2 – b^2\) : \(A = (6-5x)(6+5x)\).
• B. \(100 + 60x + 9x^2 = 10^2 + 2 \times 10 \times 3x + (3x)^2\) : \(B = (10+3x)^2\).
• C. L’énoncé imprime \(b^2 – 10b^2 + 25\). Pris tel quel, on réduit d’abord : \(b^2 – 10b^2 + 25 = 25 – 9b^2 = 5^2 – (3b)^2\), donc \(C = (5-3b)(5+3b)\). Il s’agit très probablement d’une coquille pour \(b^2 – 10b + 25 = b^2 – 2 \times b \times 5 + 5^2\), qui donne \(C = (b-5)^2\).
• E. Le facteur commun est \((2-x)\) : \(E = (2-x)\big[(2-x) + (9-x)\big]\), donc \(E = (2-x)(11-2x)\).

De plus, on obtient 2. Développer.

\[ \begin{aligned} A &= (2x-5)^2 = 4x^2 – 20x + 25 \\ B &= (5x-3)(5x+3) = 25x^2 – 9 \\ C &= (-3x+5)^2 = 9x^2 – 30x + 25 \\ D &= (-6x+9)^2 = 36x^2 – 108x + 81 \end{aligned} \]

Ainsi, pour C et D, \((-3x+5)^2 = (5-3x)^2\) : on applique \((a-b)^2\) avec \(a = 5\) et \(b = 3x\).

\[ \begin{aligned} a)\ (x-1)^2 &= x^2 – 2 \times x \times 1 + 1^2 = x^2 – 2x + 1 \\ b)\ (x+4)^2 &= x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 \\ c)\ (2x+1)^2 &= (2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1 \\ d)\ (7x-1)(7x+1) &= (7x)^2 – 1^2 = 49x^2 – 1 \\ e)\ (4x-1)(3x+7) &= 12x^2 + 28x – 3x – 7 = 12x^2 + 25x – 7 \\ f)\ (-x+1)(3x-2) &= -3x^2 + 2x + 3x – 2 = -3x^2 + 5x – 2 \\ g)\ \left(\frac{1}{2} + x\right)^2 &= \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{2} \times x + x^2 = x^2 + x + \frac{1}{4} \end{aligned} \]

h) Par conséquent, on développe chaque morceau, puis on réduit :

\[ \begin{aligned} (x-4)^2 + (x+2)(x+3) &= x^2 – 8x + 16 + x^2 + 3x + 2x + 6 \\ &= 2x^2 – 3x + 22 \end{aligned} \]

i) De plus, attention au signe « moins » devant le carré : on met le développement entre parenthèses.

\[ \begin{aligned} (5x-3)(2x+1) – (x+1)^2 &= 10x^2 + 5x – 6x – 3 – (x^2 + 2x + 1) \\ &= 10x^2 – x – 3 – x^2 – 2x – 1 \\ &= 9x^2 – 3x – 4 \end{aligned} \]

De même, le terrain mesure 15 m sur 10 m. Ensuite, la bordure carrelée a la même largeur x des quatre côtés.

1) Par conséquent, la piscine perd x à gauche et x à droite sur la longueur, x en haut et x en bas sur la largeur : ses dimensions sont \(15 – 2x\) et \(10 – 2x\).

\[ A_1 = (15 – 2x)(10 – 2x) \]

2) De plus, la surface carrelée est le grand rectangle privé de la piscine :

\[ A_2 = 15 \times 10 – (15 – 2x)(10 – 2x) = 150 – (15 – 2x)(10 – 2x) \]

3)

\[ \begin{aligned} A_2 &= 150 – (150 – 30x – 20x + 4x^2) \\ &= 150 – 150 + 50x – 4x^2 \\ &= -4x^2 + 50x \end{aligned} \]

4) De même, pour \(x = 2\) :

\[ A_1 = (15 – 4)(10 – 4) = 11 \times 6 = 66 \text{ m}^2 \qquad A_2 = -4 \times 4 + 50 \times 2 = 84 \text{ m}^2 \]

Par conséquent, vérification : \(66 + 84 = 150\) m², l’aire totale du terrain.

Par ailleurs, L’aire du carré ABCD est \(a^2\). Par ailleurs, on cherche un carré d’aire \(2a^2\), donc de côté c tel que \(c^2 = 2a^2\).

De même, idée : la diagonale. Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore donne

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \]

Par conséquent, un carré de côté [AC] (la diagonale du carré ABCD) a donc une aire égale à \(2a^2\), le double de celle de ABCD.

De plus, construction.

1. Placer E, symétrique de A par rapport à B (prolonger [AB] d’une longueur a).
2. Placer F, symétrique de C par rapport à B (prolonger [CB] d’une longueur a).
3. Tracer le quadrilatère ACEF.

Ainsi, justification. Les diagonales [AE] et [CF] de ACEF ont le même milieu B, la même longueur 2a et sont perpendiculaires (ce sont les droites (AB) et (BC)) : ACEF est un carré. Puis il est formé de 4 triangles rectangles isocèles identiques à ABC, chacun d’aire \(\frac{a^2}{2}\), alors que ABCD en contient 2. Son aire vaut bien \(4 \times \frac{a^2}{2} = 2a^2\).

Par conséquent, on obtient 1) Développer.

\[ \begin{aligned} E &= (3x+2)^2 – (5-2x)(3x+2) \\ &= 9x^2 + 12x + 4 – (15x + 10 – 6x^2 – 4x) \\ &= 9x^2 + 12x + 4 – 15x – 10 + 6x^2 + 4x \\ &= 15x^2 + x – 6 \end{aligned} \]

De plus, on obtient 2) Factoriser. Le facteur commun est \((3x+2)\).

\[ \begin{aligned} E &= (3x+2)\big[(3x+2) – (5-2x)\big] \\ &= (3x+2)(3x + 2 – 5 + 2x) \\ &= (3x+2)(5x-3) \end{aligned} \]

Par ailleurs, on a donc 3) Pour x = −2.

\[ E = (3 \times (-2) + 2)(5 \times (-2) – 3) = (-4) \times (-13) = 52 \]

Enfin, vérification : \(15 \times 4 – 2 – 6 = 52\).

De plus, dans chaque expression, on repère le facteur commun, on le met devant, et on regroupe le reste entre crochets.

\[ \begin{aligned} A &= 4x(x+3) + 2(x+3) = (x+3)(4x+2) = 2(x+3)(2x+1) \\ B &= (3x+2) + (x+4)(3x+2) = (3x+2)(1 + x + 4) = (3x+2)(x+5) \\ C &= (3x-5)(x+1) + (x+1)(7x+3) = (x+1)(3x – 5 + 7x + 3) = (x+1)(10x-2) \\ D &= 3x(2+x) + 4(2+x) = (2+x)(3x+4) \\ E &= (2x-1)(x-1) – 2(x-1) = (x-1)(2x – 1 – 2) = (x-1)(2x-3) \\ F &= (5x+2)(2x-1) – (5x+2)(5-x) = (5x+2)(2x – 1 – 5 + x) = (5x+2)(3x-6) \end{aligned} \]

Ainsi, pour B, on a écrit \(3x + 2 = 1 \times (3x+2)\). Ensuite, on peut encore factoriser par un nombre : \(C = 2(x+1)(5x-1)\) et \(F = 3(5x+2)(x-2)\).

Par conséquent, on applique la double distributivité \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\), puis on réduit. Puis pour E, on reconnaît \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\).

\[ \begin{aligned} A &= (x+5)(x+2) = x^2 + 2x + 5x + 10 = x^2 + 7x + 10 \\ B &= (x+1)(x-3) = x^2 – 3x + x – 3 = x^2 – 2x – 3 \\ C &= (2x+3)(x+4) = 2x^2 + 8x + 3x + 12 = 2x^2 + 11x + 12 \\ D &= (2x+1)(3x+4) = 6x^2 + 8x + 3x + 4 = 6x^2 + 11x + 4 \\ E &= (3x+5)(3x-5) = 9x^2 – 25 \\ F &= (5-2x)(3+4x) = 15 + 20x – 6x – 8x^2 = -8x^2 + 14x + 15 \end{aligned} \]

Par ailleurs, la couronne est le grand disque (rayon R) privé du petit disque (rayon r), qui ont le même centre O. Son aire est donc la différence des deux aires de disques :

\[ \begin{aligned} A &= \pi R^2 – \pi r^2 \\ &= \pi (R^2 – r^2) \qquad \text{(facteur commun } \pi \text{)} \\ &= \pi (R – r)(R + r) \qquad \text{(identité } a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \text{)} \end{aligned} \]

A. Enfin, le facteur commun est caché : \(2x + 4 = 2(x+2)\).

\[ A = 2(x+2)(x+1) + (x+2)(9x+7) = (x+2)\big[2(x+1) + 9x + 7\big] = (x+2)(11x+9) \]

B. Ensuite, on fait apparaître \((x-1)\) : \(1 – x = -(x-1)\).

\[ B = -5(x-1) + 2x(x-1) = (x-1)(2x-5) \]

C. Par ailleurs, C’est une différence de deux carrés \(a^2 – b^2\) avec \(a = x+4\) et \(b = 5+2x\).

\[ \begin{aligned} C &= \big[(x+4) – (5+2x)\big]\big[(x+4) + (5+2x)\big] \\ &= (-x-1)(3x+9) = -3(x+1)(x+3) \end{aligned} \]

D. De même, on met 3 en facteur, puis on reconnaît \((a+b)^2\).

\[ D = 3(x^2 + 4x + 4) = 3(x+2)^2 \]

E. Ainsi, on trouve \(\frac{x^2}{4} = \left(\frac{x}{2}\right)^2\) et \(\frac{25}{9} = \left(\frac{5}{3}\right)^2\) : c’est encore \(a^2 – b^2\).

\[ E = \left(\frac{x}{2} – \frac{5}{3}\right)\left(\frac{x}{2} + \frac{5}{3}\right) \]

Par ailleurs, on fait apparaître une identité remarquable : \(n^2 – 4n + 4 = (n-2)^2\). De plus, on écrit donc 144 sous la forme \(4 + 140\) :

\[ n^2 – 4n + 144 = n^2 – 4n + 4 + 140 = (n-2)^2 + 140 \]

De même, un carré est toujours positif ou nul : \((n-2)^2 \geqslant 0\). Donc, pour tout nombre n,

\[ n^2 – 4n + 144 = (n-2)^2 + 140 \geqslant 140 \]

Par conséquent, L’expression vaut au moins 140 (valeur atteinte pour \(n = 2\)) : elle ne peut jamais être égale à 0. C’est vrai pour tout entier, et même pour tout nombre.

\[ \begin{aligned} A &= 5(x+2) = 5x + 10 \\ B &= 7(x-3) + 2x – 1 = 7x – 21 + 2x – 1 = 9x – 22 \\ C &= -4(2x-1) + (x+3) = -8x + 4 + x + 3 = -7x + 7 \\ D &= (x-5)(2x+1) = 2x^2 + x – 10x – 5 = 2x^2 – 9x – 5 \end{aligned} \]

E. Par ailleurs, on développe le produit, puis on ajoute les autres termes.

\[ \begin{aligned} E &= (2x-1)(-3x+7) + 4x^2 – 1 \\ &= -6x^2 + 14x + 3x – 7 + 4x^2 – 1 \\ &= -2x^2 + 17x – 8 \end{aligned} \]

F. Par conséquent, on obtient \((x-2)(x+2) = x^2 – 4\), et le signe « moins » devant 4 change tous les signes.

\[ \begin{aligned} F &= 8x + 3 – 4(x-2)(x+2) + 3x^2 \\ &= 8x + 3 – 4(x^2 – 4) + 3x^2 \\ &= 8x + 3 – 4x^2 + 16 + 3x^2 \\ &= -x^2 + 8x + 19 \end{aligned} \]

Ensuite, on distribue chaque facteur (simple ou double distributivité), puis on regroupe les termes de même degré. Devant une parenthèse précédée d’un signe moins, on garde les parenthèses jusqu’au bout pour changer tous les signes.

\[ \begin{aligned} A &= 2x \times x + 2x \times 3 = 2x^2 + 6x \\ B &= -7y^2 \times (-5) + (-7y^2) \times (-2y^2) = 35y^2 + 14y^4 = 14y^4 + 35y^2 \\ C &= x^2 + x + 5x + 5 = x^2 + 6x + 5 \\ D &= 2x^2 + 8x – 5x – 20 = 2x^2 + 3x – 20 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E &= 3x^2 + 2x + 3 – 4x^2 – 5x – 9 = -x^2 – 3x – 6 \\ F &= (x^2 – 6x + 4x – 24) + (-x + 7 + x^2 – 7x) \\ &= x^2 – 2x – 24 + x^2 – 8x + 7 = 2x^2 – 10x – 17 \\ G &= -3a^2 – 6 – (2a^2 + 7a – 6a – 21) \\ &= -3a^2 – 6 – 2a^2 – a + 21 = -5a^2 – a + 15 \\ H &= 4 – (4x^2 + 4x + 1) = -4x^2 – 4x + 3 \end{aligned} \]

Par ailleurs, pour \(B\), attention au produit de deux négatifs : \(-7 \times (-5) = 35\) et \(-7 \times (-2) = 14\), avec \(y^2 \times y^2 = y^4\). Ensuite, pour \(H\), on développe d’abord \((2x+1)^2\) avec l’identité remarquable, puis on retire toute la parenthèse.

Ainsi, on trouve 1) Développer. On utilise \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) :

\[ D = 4x^2 – 28x + 49 – 36x^2 = -32x^2 – 28x + 49 \]

Par conséquent, on obtient 2) Factoriser. Comme \(36x^2 = (6x)^2\), \(D\) est une différence de deux carrés \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) avec \(a = 2x – 7\) et \(b = 6x\) :

\[ \begin{aligned} D &= \left[(2x – 7) – 6x\right]\left[(2x – 7) + 6x\right] \\ &= (-4x – 7)(8x – 7) \end{aligned} \]

De plus, on obtient 3) Résoudre. L’équation \((8x – 7)(-7 – 4x) = 0\) est l’équation \(D = 0\) écrite sous forme factorisée. Par ailleurs, un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

• \(8x – 7 = 0\) donc \(x = \dfrac{7}{8}\) ;
• \(-7 – 4x = 0\) donc \(-4x = 7\) et \(x = -\dfrac{7}{4}\).

De même, on a donc 4) Valeur exacte pour \(x = \sqrt{2}\). On utilise la forme développée, car \((\sqrt{2})^2 = 2\) :

\[ D = -32 \times 2 – 28\sqrt{2} + 49 = -64 + 49 – 28\sqrt{2} = -15 – 28\sqrt{2} \]

De plus, on obtient 1. a. Avec 10 : \(10 + 1 = 11\) ; \(11^2 = 121\) ; \(121 – 10^2 = 121 – 100 = 21\) ; \(21 – 1 = 20\). Puis on obtient bien 20.

b. Par ailleurs, avec \(-3\) : \(-3 + 1 = -2\) ; \((-2)^2 = 4\) ; \(4 – (-3)^2 = 4 – 9 = -5\) ; \(-5 – 1 = -6\). Ensuite, on obtient bien −6.

c. De même, avec 1,5 : \(1{,}5 + 1 = 2{,}5\) ; \(2{,}5^2 = 6{,}25\) ; \(6{,}25 – 1{,}5^2 = 6{,}25 – 2{,}25 = 4\) ; \(4 – 1 = 3\). Puis on obtient 3.

Ainsi, on trouve 2. Conjecture. 10 donne 20, −3 donne −6 et 1,5 donne 3 : le programme semble donner le double du nombre choisi.

De plus, démonstration. On appelle \(x\) le nombre choisi. De plus, le programme donne :

\[ \begin{aligned} (x + 1)^2 – x^2 – 1 &= x^2 + 2x + 1 – x^2 – 1 \\ &= 2x \end{aligned} \]

Ainsi, le résultat est \(2x\) quel que soit \(x\) : la conjecture est démontrée (un exemple ne suffit pas, il faut le calcul littéral).

Par conséquent, dans chaque expression, un facteur commun apparaît dans les deux termes : on le met en facteur, puis on réduit ce qui reste dans le crochet.

\[ \begin{aligned} A &= (x + 2)(13 + 5) = 18(x + 2) \\ B &= (x + 2)(3x – 5) \\ C &= (x + 3)(4 + 9x) = (x + 3)(9x + 4) \\ D &= (3x + 1)(7x – 10x) = (3x + 1) \times (-3x) = -3x(3x + 1) \end{aligned} \]

Par ailleurs, le facteur commun est la parenthèse répétée : \((2x+1)\) pour \(E\), \((x+2)\) pour \(F\), \((4x+1)\) pour \(G\).

\[ \begin{aligned} E &= (2x + 1)\left[(x – 3) + 7\right] = (2x + 1)(x + 4) \\ F &= (x + 2)\left[(x + 1) – 5\right] = (x + 2)(x – 4) \\ G &= (4x + 1)\left[(3 – x) – 8\right] = (4x + 1)(-x – 5) \end{aligned} \]

De même, on peut aussi écrire \(G = -(4x + 1)(x + 5)\). Vérification de \(F\) avec \(x = 0\) : \(1 \times 2 – 5 \times 2 = -8\) et \(2 \times (-4) = -8\).

Ensuite, un carré est un produit : \((x+1)^2 = (x+1)(x+1)\). Ensuite, le facteur commun se voit alors dans les deux termes.

\[ \begin{aligned} K &= (x + 1)\left[(x + 1) + (3x + 1)\right] = (x + 1)(4x + 2) = 2(x + 1)(2x + 1) \\ L &= (x – 3)\left[(x – 3) – (4x + 1)\right] = (x – 3)(x – 3 – 4x – 1) = (x – 3)(-3x – 4) \\ M &= (2x – 5)\left[(x + 1) + (2x – 5)\right] = (2x – 5)(3x – 4) \end{aligned} \]

Par conséquent, pour \(L\), le signe moins devant \((4x + 1)\) change les deux signes : \(-4x – 1\).

1) Par ailleurs, on isole \(x\) comme dans une équation :

\[ 2x – 3 \geqslant x + 1 \iff 2x – x \geqslant 1 + 3 \iff x \geqslant 4 \]

De même, les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 4. Sur la droite graduée, le crochet est tourné vers les solutions : 4 est compris.

Par conséquent, on obtient 2) a. Le carré ABCD a pour aire \((2x – 3)^2\). Par ailleurs, le rectangle AFED a pour côtés \(AD = 2x – 3\) et \(DE = x + 1\), donc pour aire \((2x – 3)(x + 1)\). Puis le rectangle BCEF est ce qui reste quand on enlève AFED au carré :

\[ \mathcal{A} = (2x – 3)^2 – (2x – 3)(x + 1) \]

b.

\[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= 4x^2 – 12x + 9 – (2x^2 + 2x – 3x – 3) \\ &= 4x^2 – 12x + 9 – 2x^2 + x + 3 \\ &= 2x^2 – 11x + 12 \end{aligned} \]

c. Par ailleurs, facteur commun \((2x – 3)\) :

\[ \mathcal{A} = (2x – 3)\left[(2x – 3) – (x + 1)\right] = (2x – 3)(x – 4) \]

De même, on retrouve ce résultat sur la figure : BCEF a pour côtés \(BC = 2x – 3\) et \(EC = DC – DE = (2x – 3) – (x + 1) = x – 4\).

d. Par conséquent, produit nul : \(2x – 3 = 0\) donne \(x = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\), et \(x – 4 = 0\) donne \(x = 4\). Ensuite, les solutions sont 1,5 et 4.

e. De plus, L’aire de BCEF est \((2x – 3)(x – 4)\) : elle est nulle pour \(x = 1{,}5\) ou \(x = 4\). Mais l’énoncé impose \(x \geqslant 4\) (c’est la condition du 1) pour que \(DE \leqslant DC\), donc que E soit sur [DC]). Puis la valeur 1,5 ne convient pas. De plus, pour \(x = 4\), \(EC = 0\) : E est confondu avec C et le rectangle est « aplati ».

a) De même, avec 4, 5, 6 : \(5^2 – 4 \times 6 = 25 – 24 = 1\).

b) Par conséquent, avec 9, 10, 11 : \(10^2 – 9 \times 11 = 100 – 99 = 1\). Avec 19, 20, 21 : \(400 – 399 = 1\). Ensuite, on constate que le résultat est toujours 1.

c) De plus, on appelle \(n\) l’entier du milieu : les deux autres sont \(n – 1\) et \(n + 1\). Par ailleurs, en utilisant \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\) :

\[ n^2 – (n – 1)(n + 1) = n^2 – (n^2 – 1) = n^2 – n^2 + 1 = 1 \]

Ainsi, le résultat vaut 1 pour tout entier \(n\) : la conjecture est démontrée.

a) Par conséquent, pour \(x = 4\) :

\[ \begin{aligned} E &= 4^2 – 5 \times 4 + 5 = 16 – 20 + 5 = 1 \\ F &= (2 \times 4 – 7)(4 – 2) – (4 – 3)^2 = 1 \times 2 – 1^2 = 1 \end{aligned} \]

b)

\[ \begin{aligned} F &= (2x^2 – 4x – 7x + 14) – (x^2 – 6x + 9) \\ &= 2x^2 – 11x + 14 – x^2 + 6x – 9 \\ &= x^2 – 5x + 5 \end{aligned} \]

Donc F = E pour tout x : les deux expressions sont égales. Puis il n’est donc pas surprenant d’avoir trouvé le même résultat au a) : ce n’est pas un hasard.

c) Ainsi, la formule commence par « = » et utilise la cellule A2 à la place de \(x\) : =A2^2-5*A2+5 (ou =A2*A2-5*A2+5). Ensuite, en la recopiant vers le bas, A2 devient A3, A4…, ce qui donne les valeurs de E pour \(x\) allant de 1 à 9.

Par conséquent, on applique \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) et \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\).

\[ \begin{aligned} a &= (3x)^2 + 2 \times 3x \times 5 + 5^2 = 9x^2 + 30x + 25 \\ b &= 5^2 + 2 \times 5 \times x + x^2 = x^2 + 10x + 25 \\ c &= (8x)^2 + 2 \times 8x \times 2 + 2^2 = 64x^2 + 32x + 4 \\ d &= x^2 + 2 \times x \times 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1 \\ e &= 2^2 – 2 \times 2 \times 3x + (3x)^2 = 9x^2 – 12x + 4 \\ f &= (3x)^2 – 1^2 = 9x^2 – 1 \end{aligned} \]

De plus, erreur classique : \((3x)^2 = 9x^2\) et non \(3x^2\) ; le carré porte sur le 3 aussi.

De même, pour \(m\) à \(r\), on cherche le facteur commun ; pour \(s\) et \(t\), on reconnaît une différence de deux carrés \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\).

\[ \begin{aligned} m &= (3x – 5)\left[(2x + 1) – (x + 4)\right] = (3x – 5)(x – 3) \\ n &= (2x + 3)\left[(5x – 2) + (7x + 2)\right] = (2x + 3) \times 12x = 12x(2x + 3) \\ p &= (3x – 2)\left[(3x – 2) – (5 – 2x)\right] = (3x – 2)(5x – 7) \\ q &= (8 – 2x)\left[(8 – 2x) + (3 – x)\right] = (8 – 2x)(11 – 3x) \\ r &= (5 – x)\left[(3x + 2) – (5 – x)\right] = (5 – x)(4x – 3) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} s &= \left[(2x – 3) – (5x + 4)\right]\left[(2x – 3) + (5x + 4)\right] = (-3x – 7)(7x + 1) \\ t &= \left[(3x – 1) – (8x + 2)\right]\left[(3x – 1) + (8x + 2)\right] = (-5x – 3)(11x + 1) \end{aligned} \]

Par conséquent, on peut encore écrire \(q = 2(4 – x)(11 – 3x)\), \(s = -(3x + 7)(7x + 1)\) et \(t = -(5x + 3)(11x + 1)\).

Par ailleurs, A : facteur commun \((3x + 2)\).

\[ A = (3x + 2)\left[(5x – 2) + (x – 8)\right] = (3x + 2)(6x – 10) = 2(3x + 2)(3x – 5) \]

De même, B : \(49x^2 = (7x)^2\), \(16 = 4^2\) et \(56x = 2 \times 7x \times 4\) : c’est l’identité \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\).

\[ B = (7x + 4)^2 \]

Par conséquent, C : on reconnaît d’abord \(4x^2 – 8x + 4 = (2x)^2 – 2 \times 2x \times 2 + 2^2 = (2x – 2)^2\), ce qui fait apparaître le facteur commun \((2x – 2)\).

\[ \begin{aligned} C &= (2x – 2)^2 – (2x – 2)(-3x + 9) \\ &= (2x – 2)\left[(2x – 2) – (-3x + 9)\right] \\ &= (2x – 2)(5x – 11) = 2(x – 1)(5x – 11) \end{aligned} \]

1.

\[ \begin{aligned} A &= 2x^2 – x – 6x + 3 = 2x^2 – 7x + 3 \\ B &= x^2 + 14x + 49 + 3x – 1 = x^2 + 17x + 48 \\ C &= 3x^2 + 6 – 2x^2 – 7x – 3 = x^2 – 7x + 3 \end{aligned} \]

2. Ainsi, on remplace \(x\) dans la forme factorisée (le calcul est plus court) :

\[ \begin{aligned} x = 7 : \quad A &= (7 – 3)(2 \times 7 – 1) = 4 \times 13 = 52 \\ x = -5 : \quad A &= (-5 – 3)(2 \times (-5) – 1) = (-8) \times (-11) = 88 \end{aligned} \]

Enfin, vérification avec la forme développée : \(2 \times 49 – 49 + 3 = 52\) et \(2 \times 25 + 35 + 3 = 88\).

De plus, dans chaque cas, un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Puis on résout donc deux équations du premier degré.

• \((x – 5)(x + 7) = 0\) : \(x – 5 = 0\) ou \(x + 7 = 0\), soit x = 5 ou x = −7.
• \((3x + 6)(2x – 8) = 0\) : \(3x = -6\) ou \(2x = 8\), soit x = −2 ou x = 4.
• \(x(3x – 5) = 0\) : \(x = 0\) ou \(3x = 5\), soit x = 0 ou x = 5/3.
• \(-2x(x + 5) = 0\) : \(-2x = 0\) ou \(x + 5 = 0\), soit x = 0 ou x = −5 (le facteur −2 n’est jamais nul).
• \(\left(\dfrac{1}{2}x + 5\right)\left(\dfrac{7}{2} – 3x\right) = 0\) : \(\dfrac{1}{2}x = -5\) donne \(x = -10\) ; \(3x = \dfrac{7}{2}\) donne \(x = \dfrac{7}{6}\). Solutions : −10 et 7/6.
• \((7 – 2x)\left(\dfrac{3}{7}x – \dfrac{2}{7}\right) = 0\) : \(2x = 7\) donne \(x = \dfrac{7}{2}\) ; \(\dfrac{3}{7}x = \dfrac{2}{7}\) donne \(3x = 2\), \(x = \dfrac{2}{3}\). Solutions : 7/2 et 2/3.

De même, on ne développe pas : on passe tout dans le membre de gauche, puis on factorise par le facteur commun pour obtenir une équation produit nul. Surtout, on ne « simplifie » pas par le facteur commun : on perdrait une solution.

1)

\[ \begin{aligned} (2x + 3)(5x – 1) – (2x + 3)(x + 6) &= 0 \\ (2x + 3)\left[(5x – 1) – (x + 6)\right] &= 0 \\ (2x + 3)(4x – 7) &= 0 \end{aligned} \]

Ensuite, on a donc \(2x + 3 = 0\) donne \(x = -\dfrac{3}{2}\) ; \(4x – 7 = 0\) donne \(x = \dfrac{7}{4}\).

2)

\[ \begin{aligned} (x + 6)(x + 2) – (2x – 1)(x + 6) &= 0 \\ (x + 6)\left[(x + 2) – (2x – 1)\right] &= 0 \\ (x + 6)(-x + 3) &= 0 \end{aligned} \]

Ainsi, solutions : \(x = -6\) ou \(x = 3\).

3)

\[ \begin{aligned} (2x – 7)(x + 2) – (x + 2)^2 &= 0 \\ (x + 2)\left[(2x – 7) – (x + 2)\right] &= 0 \\ (x + 2)(x – 9) &= 0 \end{aligned} \]

Par conséquent, solutions : \(x = -2\) ou \(x = 9\).

4)

\[ \begin{aligned} (2x – 3)(x + 9) – (2x – 3)^2 &= 0 \\ (2x – 3)\left[(x + 9) – (2x – 3)\right] &= 0 \\ (2x – 3)(-x + 12) &= 0 \end{aligned} \]

Par ailleurs, solutions : \(x = \dfrac{3}{2}\) ou \(x = 12\).

• a. \((x + 8)(x – 5) = 0\) : \(x + 8 = 0\) ou \(x – 5 = 0\), donc x = −8 ou x = 5.
• b. \(5x(4 – x) = 0\) : \(5x = 0\) ou \(4 – x = 0\), donc x = 0 ou x = 4.
• c. \((x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3) = 0\) : les deux facteurs sont identiques, donc \(x + 3 = 0\) et l’équation a une seule solution : x = −3.