Calcul littéral en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Sommaire

Ce corrigé exercices calcul littéral 3ème détaille les dix premiers exercices de la fiche. On y retrouve les trois gestes de base du chapitre : développer avec la double distributivité, réduire en regroupant les termes de même degré, et factoriser en repérant un facteur commun ou une identité remarquable \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \((a-b)(a+b)\). Plusieurs exercices enchaînent ensuite sur une équation produit nul, d’autres montrent l’intérêt des identités pour le calcul mental (101², 98², 101 × 99) ou pour comparer deux aires écrites en fonction de \(x\).

Les calculs sont écrits ligne par ligne, avec les parenthèses conservées au moment où un signe moins les précède, car c’est là que naissent la plupart des erreurs. Fais chaque calcul d’abord sur ton cahier, puis compare ta résolution à celle-ci ; en cas d’écart, un moyen rapide de trouver l’erreur consiste à remplacer \(x\) par une valeur simple (1 ou 2) dans l’expression de départ et dans ton résultat : les deux doivent donner le même nombre.

Les énoncés se trouvent sur la fiche Calcul littéral : exercices de maths en 3ème corrigés en PDF. (42 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.

Corrigé des exercices 1 à 10 sur le calcul littéral en 3ème

Exercice 1 : Factorisation d'expressions littérales

Revoir l’énoncé de l’exercice 1

Développements.

\[ \begin{aligned} I &= 25x^2 – 9 + (35x^2 + 40x – 21x – 24) = 60x^2 + 19x – 33 \\ J &= 9 – 48x + 64x^2 – (18 – 48x + 6x – 16x^2) = 80x^2 – 6x – 9 \\ K &= 100x^2 – 25 – (40x^2 – 80x + 20x – 40) = 60x^2 + 60x + 15 \\ L &= (8x^2 + 4x – 12x – 6) + (28x^2 – 32x + 14x – 16) = 36x^2 – 26x – 22 \end{aligned} \]

Factorisations. On transforme la première partie avec une identité remarquable pour faire apparaître un facteur commun.

\(25x^2 – 9 = (5x – 3)(5x + 3)\), donc \(I = (5x – 3)\left[(5x + 3) + (7x + 8)\right] = (5x – 3)(12x + 11)\).
\(9 – 48x + 64x^2 = (3 – 8x)^2\), donc \(J = (3 – 8x)\left[(3 – 8x) – (6 + 2x)\right] = (3 – 8x)(-10x – 3) = (8x – 3)(10x + 3)\).
\(100x^2 – 25 = (10x – 5)(10x + 5) = 5(2x – 1) \times 5(2x + 1)\) et \(20x + 10 = 10(2x + 1)\). Le facteur commun est \(5(2x + 1)\) : \(K = 5(2x + 1)\left[5(2x – 1) – 2(2x – 4)\right] = 5(2x + 1)(6x + 3) = 15(2x + 1)^2\).
Facteur commun \((4x + 2)\) : \(L = (4x + 2)\left[(2x – 3) + (7x – 8)\right] = (4x + 2)(9x – 11) = 2(2x + 1)(9x – 11)\).

Vérification pour \(I\) avec \(x = 1\) : \(60 + 19 – 33 = 46\) et \(2 \times 23 = 46\).

Réponse : I = 60x² + 19x − 33 = (5x − 3)(12x + 11) ; J = 80x² − 6x − 9 = (8x − 3)(10x + 3) ; K = 60x² + 60x + 15 = 15(2x + 1)² ; L = 36x² − 26x − 22 = 2(2x + 1)(9x − 11).

Exercice 2 : Développer et réduire – Identités remarquables

Revoir l’énoncé de l’exercice 2

\[ \begin{aligned} A &= 12x^2 + (16x^2 + 40x + 25) = 28x^2 + 40x + 25 \\ B &= 7x – (36x^2 + 24x + 4) = -36x^2 – 17x – 4 \\ C &= -16x^2 – (16x^2 – 1) = -32x^2 + 1 \\ D &= (36x^2 – 48x + 16) + (4x^2 – 24x + 36) = 40x^2 – 72x + 52 \end{aligned} \]

On a utilisé \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) pour A et B, \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\) pour C, \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) pour D. Pour B et C, le signe moins devant la parenthèse change tous les signes du développement.

Réponse : A = 28x² + 40x + 25 ; B = −36x² − 17x − 4 ; C = −32x² + 1 ; D = 40x² − 72x + 52.

Exercice 3 : Calcul littéral

Revoir l’énoncé de l’exercice 3

1. On remarque que \((2x – 3)^2 = (2x – 3)(2x – 3)\) : le facteur \((2x – 3)\) est commun aux deux termes.

\[ \begin{aligned} D &= (2x – 3)(5x + 4) + (2x – 3)(2x – 3) \\ &= (2x – 3)\left[(5x + 4) + (2x – 3)\right] \\ &= (2x – 3)(7x + 1) \end{aligned} \]

2. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[ 2x – 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2} \qquad \text{ou} \qquad 7x + 1 = 0 \iff x = -\frac{1}{7} \]

Réponse : D = (2x − 3)(7x + 1) ; l’équation a deux solutions : 3/2 et −1/7.

Exercice 4 : Calcul littéral-développer et factoriser

Revoir l’énoncé de l’exercice 4

\[ \begin{aligned} A &= (4x^2 – 9) – (6x^2 – 9x + 2x – 3) \\ &= 4x^2 – 9 – 6x^2 + 7x + 3 \\ &= -2x^2 + 7x – 6 \end{aligned} \]

2. Facteur commun \((2x – 3)\) :

\[ A = (2x – 3)\left[(2x + 3) – (3x + 1)\right] = (2x – 3)(-x + 2) \]

3. Équation produit nul : \(2x – 3 = 0\) donne \(x = \dfrac{3}{2}\) ; \(-x + 2 = 0\) donne \(x = 2\).

Réponse : A = −2x² + 7x − 6 = (2x − 3)(−x + 2) ; solutions 3/2 et 2.

Exercice 5 : Calcul litteral avec les identites remarquables

Revoir l’énoncé de l’exercice 5

\[ \begin{aligned} A &= 12x^2 + (4x)^2 + 2 \times 4x \times 5 + 5^2 = 12x^2 + 16x^2 + 40x + 25 = 28x^2 + 40x + 25 \\ B &= 7x – \left[(6x)^2 + 2 \times 6x \times 2 + 2^2\right] = 7x – 36x^2 – 24x – 4 = -36x^2 – 17x – 4 \\ C &= -16x^2 – \left[(4x)^2 – 1^2\right] = -16x^2 – 16x^2 + 1 = -32x^2 + 1 \\ D &= (36x^2 – 48x + 16) + (4x^2 – 24x + 36) = 40x^2 – 72x + 52 \end{aligned} \]

Ce sont les mêmes expressions que dans l’exercice 2 : on retrouve bien les mêmes résultats (dans C, l’ordre des facteurs \((4x + 1)(4x – 1)\) ne change rien).

Réponse : A = 28x² + 40x + 25 ; B = −36x² − 17x − 4 ; C = −32x² + 1 ; D = 40x² − 72x + 52.

Exercice 6 : Aire et identites remarquables

Revoir l’énoncé de l’exercice 6

1. Figure orange : grand carré de côté \(x + 1\) auquel on enlève le carré blanc de côté 1.

\[ \mathcal{A}_1 = (x + 1)^2 – 1^2 = x^2 + 2x + 1 – 1 = x^2 + 2x \]

Figure verte : rectangle de dimensions \(x\) et \(x + 2\).

\[ \mathcal{A}_2 = x(x + 2) = x^2 + 2x \]

2. On remarque que les deux aires sont égales quelle que soit la valeur de \(x\). C’est l’identité \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = x + 1\) et \(b = 1\) : \((x + 1)^2 – 1 = x(x + 2)\).

Les deux aires colorées sont égales à x² + 2x

Réponse : les deux aires valent x² + 2x : elles sont égales pour tout x.

Exercice 7 : Identités remarquables

Revoir l’énoncé de l’exercice 7

\[ \begin{aligned} A &= (y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9 \\ B &= (1 + t)^2 = 1 + 2t + t^2 \\ C &= (7 – y)^2 = 49 – 14y + y^2 \\ D &= (3x – 10)^2 = 9x^2 – 60x + 100 \\ E &= (7 – 2y)(7 + 2y) = 49 – 4y^2 \\ F &= (7a + 4)^2 = 49a^2 + 56a + 16 \end{aligned} \]

Le double produit se calcule à part : pour D, \(2 \times 3x \times 10 = 60x\) ; pour F, \(2 \times 7a \times 4 = 56a\).

Réponse : A = y² + 6y + 9 ; B = t² + 2t + 1 ; C = y² − 14y + 49 ; D = 9x² − 60x + 100 ; E = 49 − 4y² ; F = 49a² + 56a + 16.

Exercice 8 : Développer et réduire

Revoir l’énoncé de l’exercice 8

\[ \begin{aligned} B &= (16a^2 – 9) – (9a^2 – 30a + 25) \\ &= 16a^2 – 9 – 9a^2 + 30a – 25 \\ &= 7a^2 + 30a – 34 \end{aligned} \]

2. On remplace \(a\) dans la forme réduite :

\[ \begin{aligned} a = 1 &: \quad B = 7 + 30 – 34 = 3 \\ a = 0{,}75 &: \quad B = 7 \times 0{,}5625 + 22{,}5 – 34 = 3{,}9375 + 22{,}5 – 34 = -7{,}5625 \\ a = 0 &: \quad B = -34 \end{aligned} \]

Contrôle pour \(a = 1\) avec la forme de départ : \(1 \times 7 – (-2)^2 = 7 – 4 = 3\).

Réponse : B = 7a² + 30a − 34 ; B = 3 pour a = 1, B = −7,5625 pour a = 0,75 et B = −34 pour a = 0.

Exercice 9 : Calcul numérique

Revoir l’énoncé de l’exercice 9

On décompose chaque nombre autour de 100 pour utiliser une identité remarquable.

\[ \begin{aligned} 101^2 &= (100 + 1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201 \\ 103^2 &= (100 + 3)^2 = 10\,000 + 600 + 9 = 10\,609 \\ 98^2 &= (100 – 2)^2 = 10\,000 – 400 + 4 = 9\,604 \\ 101 \times 99 &= (100 + 1)(100 – 1) = 10\,000 – 1 = 9\,999 \end{aligned} \]

Réponse : 101² = 10 201 ; 103² = 10 609 ; 98² = 9 604 ; 101 × 99 = 9 999.

Exercice 10 : Développer,réduire et factoriser

Revoir l’énoncé de l’exercice 10

\[ \begin{aligned} E &= (9x^2 + 12x + 4) – (15x + 10 – 6x^2 – 4x) \\ &= 9x^2 + 12x + 4 – 15x – 10 + 6x^2 + 4x \\ &= 15x^2 + x – 6 \end{aligned} \]

2. Facteur commun \((3x + 2)\) :

\[ \begin{aligned} E &= (3x + 2)\left[(3x + 2) – (5 – 2x)\right] \\ &= (3x + 2)(3x + 2 – 5 + 2x) \\ &= (3x + 2)(5x – 3) \end{aligned} \]

3. Avec la forme factorisée : \(E = (3 \times (-2) + 2)(5 \times (-2) – 3) = (-4) \times (-13) = 52\). Avec la forme développée : \(15 \times 4 – 2 – 6 = 52\).

Réponse : E = 15x² + x − 6 = (3x + 2)(5x − 3) ; pour x = −2, E = 52.

La méthode à retenir sur le calcul littéral

Double distributivité : \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\), puis on réduit.
Les trois identités remarquables : \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\).
Devant un signe moins suivi d’un produit, on développe d’abord le produit entre crochets, puis on retire les crochets en changeant tous les signes.
Pour factoriser, chercher un facteur commun visible, sinon faire apparaître une identité remarquable qui en crée un.
Équation produit nul : \(A \times B = 0\) équivaut à \(A = 0\) ou \(B = 0\).
Vérifier un développement ou une factorisation en testant une valeur simple de \(x\).

Les erreurs fréquentes

Écrire \((4x + 5)^2 = 16x^2 + 25\) en oubliant le double produit \(40x\).
Ne changer que le premier signe après un moins : \(7x – (36x^2 + 24x + 4)\) donne bien \(-36x^2 – 24x – 4\).
Oublier le coefficient au carré : \((3x)^2 = 9x^2\) et non \(3x^2\).
Laisser une factorisation incomplète, par exemple \((4x + 2)(9x – 11)\) sans remarquer le facteur 2.

Les exercices 11 à 42 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.

Questions fréquentes

Comment savoir s’il faut développer ou factoriser ?

La consigne le dit, mais le but aussi : pour résoudre une équation dont le second membre est 0, on factorise afin d’utiliser la règle du produit nul. Pour calculer une valeur ou comparer deux expressions, la forme développée et réduite est souvent la plus pratique.

Comment reconnaître une identité remarquable à factoriser ?

On cherche deux carrés : \(25x^2 = (5x)^2\), \(9 = 3^2\), \(64x^2 = (8x)^2\). S’ils sont séparés par un moins, c’est \(a^2 – b^2\). S’il y a trois termes, on vérifie que le terme du milieu vaut le double produit \(2ab\).

Les identités remarquables servent-elles en dehors du calcul littéral ?

Oui, pour le calcul mental : \(98^2 = (100 – 2)^2\) se calcule de tête. Elles servent aussi en géométrie pour exprimer des aires et, au lycée, pour résoudre des équations du second degré.

Pour aller plus loin :

Les énoncés : Calcul littéral : exercices de maths en 3ème corrigés en PDF.
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