Fonctions affines en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Exercice n° 1.

a. \( f : x \mapsto 3x + 7 \) se lit « la fonction \( f \) qui, à tout nombre \( x \), associe le nombre \( 3x + 7 \) ». On multiplie \( x \) par 3 puis on ajoute 7.

b. \( f(x) = -2x + 3 \) signifie que l’image du nombre \( x \) par \( f \) est \( -2x + 3 \). Par exemple \( f(1) = 1 \). Les deux notations décrivent la même chose : un programme de calcul.

Exercice n° 2. Une fonction est affine si elle s’écrit \( x \mapsto ax + b \) ; elle est linéaire si, en plus, \( b = 0 \).

• \( f : x \mapsto 5x + 2 \) : affine (\( a = 5 \), \( b = 2 \)).
• \( g : x \mapsto -4 + 3x \) : affine (\( a = 3 \), \( b = -4 \)).
• \( h : x \mapsto 2x \) : linéaire (donc aussi affine avec \( b = 0 \)).
• \( i : x \mapsto 8 \) : affine (\( a = 0 \), \( b = 8 \)) ; c’est une fonction constante.
• \( j : x \mapsto -4x^2 – 4 \) : pas affine (terme en \( x^2 \)).
• \( k : x \mapsto -\dfrac{3x}{7} = -\dfrac{3}{7}x \) : linéaire (coefficient \( -\dfrac{3}{7} \)).
• \( l : x \mapsto 3\sqrt{x} + 7 \) : pas affine (racine carrée de \( x \)).
• \( m : x \mapsto 3 + \dfrac{1}{x} \) : pas affine (\( x \) au dénominateur).

Exercice n° 3. \( f(x) = -5x + 2 \).

a. \( f(2) = -10 + 2 = -8 \) ; \( f(-3) = 15 + 2 = 17 \) ; \( f(0) = 2 \).

b. \( f(4) = -20 + 2 = -18 \).

c. On résout \( -5x + 2 = \dfrac{5}{3} \) :

\[ \begin{aligned} -5x &= \frac{5}{3} – 2 = \frac{5}{3} – \frac{6}{3} = -\frac{1}{3} \\ x &= -\frac{1}{3} \div (-5) = \frac{1}{15} \end{aligned} \]

1. En magasin : \( 15 \times \) nombre de cartouches. Sur Internet : \( 10 \times \) nombre de cartouches \( + 40 \).

2. a. \( P_A(x) = 15x \) (fonction linéaire). b. \( P_B(x) = 10x + 40 \) (fonction affine).

3. \( d \) passe par l’origine et par \( (10\,;\,150) \) ; \( d^{\prime} \) passe par \( (0\,;\,40) \) et \( (10\,;\,140) \).

4. a. On trace la verticale d’abscisse 6 : elle coupe \( d \) à 90 et \( d^{\prime} \) à 100. En magasin, 6 cartouches coûtent 90 € contre 100 € sur Internet : le magasin est plus avantageux.

b. On trace l’horizontale d’ordonnée 80. Elle coupe \( d^{\prime} \) en \( x = 4 \) et \( d \) en \( x \approx 5{,}3 \). Avec 80 €, Sonia peut acheter 4 cartouches sur Internet (\( 10 \times 4 + 40 = 80 \)) mais 5 en magasin (\( 15 \times 5 = 75 \)). Il vaut mieux acheter en magasin.

5. Les droites se coupent au point \( (8\,;\,120) \) ; à droite de ce point, \( d^{\prime} \) est sous \( d \). Par le calcul : \( 10x + 40 \leqslant 15x \iff 40 \leqslant 5x \iff x \geqslant 8 \).

1) La serre est formée d’un pavé droit de dimensions 8 m, 6 m et 3 m, surmonté d’une pyramide de base le rectangle \( ABCD \) (8 m sur 6 m) et de hauteur \( SK = x \).

\[ \begin{aligned} V_{\text{pavé}} &= 8 \times 6 \times 3 = 144 \text{ m}^3 \\ V_{\text{pyramide}} &= \frac{1}{3} \times (8 \times 6) \times x = \frac{48x}{3} = 16x \\ V &= 144 + 16x \end{aligned} \]

\( V \) est donc une fonction affine de \( x \).

2) \( V = 144 + 16 \times 1{,}5 = 144 + 24 = 168 \). Le volume est 168 m³.

3) \( 144 + 16x = 200 \iff 16x = 56 \iff x = \dfrac{56}{16} = 3{,}5 \).

1) Coefficient directeur \( a = -3 \) et \( f(0) = b = 2 \) : \( f(x) = -3x + 2 \), \( a = -3 \), \( b = 2 \).

2) On ajoute 6 puis on multiplie par \( -4 \) : \( f(x) = -4(x + 6) = -4x – 24 \). Donc \( a = -4 \), \( b = -24 \).

3) On multiplie par 3, on ajoute 4, on divise par 2 : \( f(x) = \dfrac{3x + 4}{2} = \dfrac{3}{2}x + 2 \). Donc \( a = 1{,}5 \), \( b = 2 \).

4) On développe avec l’identité remarquable :

\[ f(x) = (x + 1)^2 – x^2 = x^2 + 2x + 1 – x^2 = 2x + 1 \]

Donc \( a = 2 \), \( b = 1 \) : malgré les carrés, \( f \) est affine.

5) Pour une fonction affine, les accroissements de \( f(x) \) sont proportionnels à ceux de \( x \), avec le coefficient \( a \) : \( a = \dfrac{12}{3} = 4 \). Et \( b = f(0) = 1 \). Donc \( f(x) = 4x + 1 \).

1. Formule A : 40 € d’adhésion plus 10 € par mois, donc \( A(x) = 10x + 40 \). Formule B : 18 € par mois, donc \( B(x) = 18x \).

2. \( A \) est affine : droite passant par \( (0\,;\,40) \) et \( (10\,;\,140) \). \( B \) est linéaire : droite passant par l’origine et \( (5\,;\,90) \).

3. a) Les droites se coupent au point d’abscisse 5 : les prix sont les mêmes pour 5 mois (90 €).

b) \( 10x + 40 = 18x \iff 40 = 8x \iff x = 5 \). Vérification : \( A(5) = B(5) = 90 \).

4. Pour \( x = 4 \), la droite de \( B \) est en dessous de celle de \( A \) : \( B(4) = 72 \) € et \( A(4) = 80 \) €. La formule B est la plus avantageuse.

5. \( 10x + 40 \leqslant 113 \iff 10x \leqslant 73 \iff x \leqslant 7{,}3 \). Le nombre de mois est entier : on peut payer au maximum 7 mois (\( A(7) = 110 \) €).

1) \( f(x) = -2x + 3 \).

a) \( f(0) = -2 \times 0 + 3 = 3 \). Attention : 3 est l’image de 0, ce n’est pas une valeur de \( x \).

b) \( -2x + 3 = 5 \iff -2x = 2 \iff x = -1 \). L’antécédent de 5 est −1.

2) a) \( g(x) = ax + b \). Le coefficient se calcule avec les deux valeurs connues :

\[ a = \frac{g(3) – g(-2)}{3 – (-2)} = \frac{4 – (-2)}{5} = \frac{6}{5} \]

Puis \( g(3) = 4 \) donne \( \dfrac{6}{5} \times 3 + b = 4 \), soit \( b = 4 – \dfrac{18}{5} = \dfrac{2}{5} \). Donc \( g(x) = \dfrac{6}{5}x + \dfrac{2}{5} \).

b) \( g(0) = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 \) et \( g(3) = \dfrac{18}{5} + \dfrac{2}{5} = 4 \) (on retrouve la donnée).

3) a) La droite de \( f \) passe par \( (0\,;\,3) \) et \( (-1\,;\,5) \) ; celle de \( g \) par \( (-2\,;\,-2) \) et \( (3\,;\,4) \).

b) On résout \( f(x) = g(x) \) :

\[ \begin{aligned} -2x + 3 &= \frac{6}{5}x + \frac{2}{5} \\ -10x + 15 &= 6x + 2 \quad \text{(on multiplie par 5)} \\ 13 &= 16x \\ x &= \frac{13}{16} \end{aligned} \]

Puis \( y = f\left(\dfrac{13}{16}\right) = -\dfrac{26}{16} + 3 = -\dfrac{13}{8} + \dfrac{24}{8} = \dfrac{11}{8} \).

a. Une fois par mois : 12 entrées dans l’année.

• Tarif 1 : 100 €.
• Tarif 2 : \( 40 + 12 \times 1 = 52 \) €.
• Tarif 3 : \( 12 \times 2 = 24 \) €.

Le tarif 3 est le plus intéressant dans ce cas.

b. \( t_1(x) = 100 \) (constante) ; \( t_2(x) = x + 40 \) (affine) ; \( t_3(x) = 2x \) (linéaire).

c. Représentations : une droite horizontale, une droite passant par \( (0\,;\,40) \) et une droite passant par l’origine.

d. Une fois par semaine : \( 4 \times 12 = 48 \) entrées. Deux fois par semaine : \( 2 \times 48 = 96 \) entrées.

e. Pour 48 entrées : \( t_1 = 100 \), \( t_2 = 88 \), \( t_3 = 96 \) : le tarif 2 est le plus intéressant. Pour 96 entrées : \( t_1 = 100 \), \( t_2 = 136 \), \( t_3 = 192 \) : le tarif 1 est le plus intéressant.

f. La droite de \( t_1 \) passe sous celle de \( t_2 \) après leur point d’intersection \( (60\,;\,100) \) (et elle est déjà sous celle de \( t_3 \) dès 50 entrées). À 60 entrées, tarifs 1 et 2 coûtent tous deux 100 € ; au-delà de 60 entrées (donc à partir de 61), le tarif 1 est le moins cher.

Pour tracer chaque droite, on place deux points (l’ordonnée à l’origine \( b \), puis un second point calculé) :

• \( d(x) = -2x + 1 \) : \( (0\,;\,1) \) et \( (2\,;\,-3) \).
• \( u(x) = 3x – 4 \) : \( (0\,;\,-4) \) et \( (2\,;\,2) \).
• \( h(x) = -x + 3 \) : \( (0\,;\,3) \) et \( (3\,;\,0) \).
• \( t(x) = 2 \) : droite horizontale passant par \( (0\,;\,2) \).
• \( k(x) = 2{,}5x \) : \( (0\,;\,0) \) et \( (2\,;\,5) \) (droite passant par l’origine).
• \( m(x) = -2x – 3 \) : \( (0\,;\,-3) \) et \( (-2\,;\,1) \).

Les droites représentant \( d \) et \( m \) sont parallèles. La raison : elles ont le même coefficient directeur \( a = -2 \). Quand \( x \) augmente de 1, les deux images diminuent de 2 : les droites ont la même « pente », seules leurs ordonnées à l’origine (1 et \( -3 \)) diffèrent.

Sur le graphique, une unité correspond à deux carreaux sur chaque axe. Pour chaque droite, on lit l’ordonnée à l’origine \( b \) (intersection avec l’axe des ordonnées), puis le coefficient \( a \) = variation verticale pour une unité vers la droite.

• \( (d_f) \) : elle coupe l’axe des ordonnées en 2,5 et l’axe des abscisses en \( -2{,}5 \) ; \( a = \dfrac{2{,}5}{2{,}5} = 1 \). \( f(x) = x + 2{,}5 \).
• \( (d_g) \) : elle passe par l’origine et par \( (1\,;\,3) \). \( g(x) = 3x \) (linéaire).
• \( (d_h) \) : elle coupe l’axe des ordonnées en \( -2 \) et passe par \( (-1\,;\,0) \) ; \( a = \dfrac{-2 – 0}{0 – (-1)} = -2 \). \( h(x) = -2x – 2 \).
• \( (d_k) \) : très pentue et descendante ; quand \( x \) augmente de 1, elle descend de 4, et elle coupe l’axe des ordonnées juste au-dessus de 0, en 0,5 environ. \( k(x) = -4x + 0{,}5 \).
• \( (d_u) \) : droite horizontale d’ordonnée 2. \( u(x) = 2 \) (fonction constante, \( a = 0 \)).

a. \( ABCD \) est un trapèze rectangle de bases \( AB = 5 \) m et \( DC = 8 \) m, et de hauteur \( AD = 10 \) m.

\[ \mathcal{A} = \frac{(AB + DC) \times AD}{2} = \frac{(5 + 8) \times 10}{2} = 65 \text{ m}^2 \]

b. Le rectangle de rayonnage a pour largeur \( x \), mesurée sur \( [AB] \) : on doit avoir \( 0 \leqslant x \leqslant 5 \).

c. Le rectangle mesure \( x \) sur \( AD = 10 \) : \( r(x) = 10x \) (fonction linéaire). Le coin lecture est le reste du trapèze : \( c(x) = 65 – 10x \) (fonction affine).

d. On trace les deux droites sur \( [0\,;\,5] \) : elles se coupent au point \( (3{,}25\,;\,32{,}5) \).

Vérification par le calcul : \( 10x = 65 – 10x \iff 20x = 65 \iff x = 3{,}25 \), et chaque partie mesure alors \( 32{,}5 \) m², la moitié de 65 m².