Corrigé des 32 exercices sur les fonctions affines en 3ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Par ailleurs, exercice n° 1.

De même, a. \( f : x \mapsto 3x + 7 \) se lit « la fonction \( f \) qui, à tout nombre \( x \), associe le nombre \( 3x + 7 \) ». Puis on multiplie \( x \) par 3 puis on ajoute 7.

Par conséquent, b. \( f(x) = -2x + 3 \) signifie que l’image du nombre \( x \) par \( f \) est \( -2x + 3 \). Par exemple \( f(1) = 1 \). De plus, les deux notations décrivent la même chose : un programme de calcul.

De plus, exercice n° 2. Une fonction est affine si elle s’écrit \( x \mapsto ax + b \) ; elle est linéaire si, en plus, \( b = 0 \).

• \( f : x \mapsto 5x + 2 \) : affine (\( a = 5 \), \( b = 2 \)).
• \( g : x \mapsto -4 + 3x \) : affine (\( a = 3 \), \( b = -4 \)).
• \( h : x \mapsto 2x \) : linéaire (donc aussi affine avec \( b = 0 \)).
• \( i : x \mapsto 8 \) : affine (\( a = 0 \), \( b = 8 \)) ; c’est une fonction constante.
• \( j : x \mapsto -4x^2 – 4 \) : pas affine (terme en \( x^2 \)).
• \( k : x \mapsto -\dfrac{3x}{7} = -\dfrac{3}{7}x \) : linéaire (coefficient \( -\dfrac{3}{7} \)).
• \( l : x \mapsto 3\sqrt{x} + 7 \) : pas affine (racine carrée de \( x \)).
• \( m : x \mapsto 3 + \dfrac{1}{x} \) : pas affine (\( x \) au dénominateur).

Ainsi, exercice n° 3. \( f(x) = -5x + 2 \).

Enfin, a. \( f(2) = -10 + 2 = -8 \) ; \( f(-3) = 15 + 2 = 17 \) ; \( f(0) = 2 \).

Ensuite, b. \( f(4) = -20 + 2 = -18 \).

Par ailleurs, c. Ensuite, on résout \( -5x + 2 = \dfrac{5}{3} \) :

\[ \begin{aligned} -5x &= \frac{5}{3} – 2 = \frac{5}{3} – \frac{6}{3} = -\frac{1}{3} \\ x &= -\frac{1}{3} \div (-5) = \frac{1}{15} \end{aligned} \]

1. Enfin, en magasin : \( 15 \times \) nombre de cartouches. Sur Internet : \( 10 \times \) nombre de cartouches \( + 40 \).

2. Ensuite, a. \( P_A(x) = 15x \) (fonction linéaire). b. \( P_B(x) = 10x + 40 \) (fonction affine).

3. Ainsi, on trouve \( d \) passe par l’origine et par \( (10\,;\,150) \) ; \( d^{\prime} \) passe par \( (0\,;\,40) \) et \( (10\,;\,140) \).

4. De même, a. Par ailleurs, on trace la verticale d’abscisse 6 : elle coupe \( d \) à 90 et \( d^{\prime} \) à 100. Puis en magasin, 6 cartouches coûtent 90 € contre 100 € sur Internet : le magasin est plus avantageux.

Par conséquent, b. Ensuite, on trace l’horizontale d’ordonnée 80. Puis elle coupe \( d^{\prime} \) en \( x = 4 \) et \( d \) en \( x \approx 5{,}3 \). Avec 80 €, Sonia peut acheter 4 cartouches sur Internet (\( 10 \times 4 + 40 = 80 \)) mais 5 en magasin (\( 15 \times 5 = 75 \)). De plus, il vaut mieux acheter en magasin.

5. De plus, les droites se coupent au point \( (8\,;\,120) \) ; à droite de ce point, \( d^{\prime} \) est sous \( d \). Par le calcul : \( 10x + 40 \leqslant 15x \iff 40 \leqslant 5x \iff x \geqslant 8 \).

1) De même, la serre est formée d’un pavé droit de dimensions 8 m, 6 m et 3 m, surmonté d’une pyramide de base le rectangle \( ABCD \) (8 m sur 6 m) et de hauteur \( SK = x \).

\[ \begin{aligned} V_{\text{pavé}} &= 8 \times 6 \times 3 = 144 \text{ m}^3 \\ V_{\text{pyramide}} &= \frac{1}{3} \times (8 \times 6) \times x = \frac{48x}{3} = 16x \\ V &= 144 + 16x \end{aligned} \]

Ensuite, on a donc \( V \) est donc une fonction affine de \( x \).

2) Ensuite, on a \( V = 144 + 16 \times 1{,}5 = 144 + 24 = 168 \). Ensuite, le volume est 168 m³.

3) Ainsi, on trouve \( 144 + 16x = 200 \iff 16x = 56 \iff x = \dfrac{56}{16} = 3{,}5 \).

Ensuite, on a 1) Coefficient directeur \( a = -3 \) et \( f(0) = b = 2 \) : \( f(x) = -3x + 2 \), \( a = -3 \), \( b = 2 \).

Ainsi, on trouve 2) On ajoute 6 puis on multiplie par \( -4 \) : \( f(x) = -4(x + 6) = -4x – 24 \). Donc \( a = -4 \), \( b = -24 \).

Par conséquent, on obtient 3) On multiplie par 3, on ajoute 4, on divise par 2 : \( f(x) = \dfrac{3x + 4}{2} = \dfrac{3}{2}x + 2 \). Donc \( a = 1{,}5 \), \( b = 2 \).

De plus, on obtient 4) On développe avec l’identité remarquable :

\[ f(x) = (x + 1)^2 – x^2 = x^2 + 2x + 1 – x^2 = 2x + 1 \]

Donc \( a = 2 \), \( b = 1 \) : malgré les carrés, \( f \) est affine.

Par conséquent, on obtient 5) Pour une fonction affine, les accroissements de \( f(x) \) sont proportionnels à ceux de \( x \), avec le coefficient \( a \) : \( a = \dfrac{12}{3} = 4 \). Et \( b = f(0) = 1 \). Donc \( f(x) = 4x + 1 \).

1. De même, formule A : 40 € d’adhésion plus 10 € par mois, donc \( A(x) = 10x + 40 \). Formule B : 18 € par mois, donc \( B(x) = 18x \).

2. Par conséquent, on obtient \( A \) est affine : droite passant par \( (0\,;\,40) \) et \( (10\,;\,140) \). \( B \) est linéaire : droite passant par l’origine et \( (5\,;\,90) \).

3. De plus, a) Les droites se coupent au point d’abscisse 5 : les prix sont les mêmes pour 5 mois (90 €).

Ainsi, b) \( 10x + 40 = 18x \iff 40 = 8x \iff x = 5 \). Vérification : \( A(5) = B(5) = 90 \).

4. Enfin, pour \( x = 4 \), la droite de \( B \) est en dessous de celle de \( A \) : \( B(4) = 72 \) € et \( A(4) = 80 \) €. Par ailleurs, la formule B est la plus avantageuse.

5. Ainsi, on trouve \( 10x + 40 \leqslant 113 \iff 10x \leqslant 73 \iff x \leqslant 7{,}3 \). Puis le nombre de mois est entier : on peut payer au maximum 7 mois (\( A(7) = 110 \) €).

1) Ensuite, on a \( f(x) = -2x + 3 \).

Enfin, a) \( f(0) = -2 \times 0 + 3 = 3 \). Attention : 3 est l’image de 0, ce n’est pas une valeur de \( x \).

Ensuite, b) \( -2x + 3 = 5 \iff -2x = 2 \iff x = -1 \). Ensuite, L’antécédent de 5 est −1.

2) Par ailleurs, a) \( g(x) = ax + b \). Puis le coefficient se calcule avec les deux valeurs connues :

\[ a = \frac{g(3) – g(-2)}{3 – (-2)} = \frac{4 – (-2)}{5} = \frac{6}{5} \]

Puis \( g(3) = 4 \) donne \( \dfrac{6}{5} \times 3 + b = 4 \), soit \( b = 4 – \dfrac{18}{5} = \dfrac{2}{5} \). Donc \( g(x) = \dfrac{6}{5}x + \dfrac{2}{5} \).

Enfin, b) \( g(0) = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 \) et \( g(3) = \dfrac{18}{5} + \dfrac{2}{5} = 4 \) (on retrouve la donnée).

3) Ensuite, a) La droite de \( f \) passe par \( (0\,;\,3) \) et \( (-1\,;\,5) \) ; celle de \( g \) par \( (-2\,;\,-2) \) et \( (3\,;\,4) \).

Par ailleurs, b) On résout \( f(x) = g(x) \) :

\[ \begin{aligned} -2x + 3 &= \frac{6}{5}x + \frac{2}{5} \\ -10x + 15 &= 6x + 2 \quad \text{(on multiplie par 5)} \\ 13 &= 16x \\ x &= \frac{13}{16} \end{aligned} \]

Puis \( y = f\left(\dfrac{13}{16}\right) = -\dfrac{26}{16} + 3 = -\dfrac{13}{8} + \dfrac{24}{8} = \dfrac{11}{8} \).

a. Par conséquent, une fois par mois : 12 entrées dans l’année.

• Tarif 1 : 100 €.
• Tarif 2 : \( 40 + 12 \times 1 = 52 \) €.
• Tarif 3 : \( 12 \times 2 = 24 \) €.

De plus, le tarif 3 est le plus intéressant dans ce cas.

b. De plus, on obtient \( t_1(x) = 100 \) (constante) ; \( t_2(x) = x + 40 \) (affine) ; \( t_3(x) = 2x \) (linéaire).

c. Enfin, représentations : une droite horizontale, une droite passant par \( (0\,;\,40) \) et une droite passant par l’origine.

d. Ensuite, une fois par semaine : \( 4 \times 12 = 48 \) entrées. Deux fois par semaine : \( 2 \times 48 = 96 \) entrées.

e. Par ailleurs, pour 48 entrées : \( t_1 = 100 \), \( t_2 = 88 \), \( t_3 = 96 \) : le tarif 2 est le plus intéressant. De plus, pour 96 entrées : \( t_1 = 100 \), \( t_2 = 136 \), \( t_3 = 192 \) : le tarif 1 est le plus intéressant.

f. De même, la droite de \( t_1 \) passe sous celle de \( t_2 \) après leur point d’intersection \( (60\,;\,100) \) (et elle est déjà sous celle de \( t_3 \) dès 50 entrées). À 60 entrées, tarifs 1 et 2 coûtent tous deux 100 € ; au-delà de 60 entrées (donc à partir de 61), le tarif 1 est le moins cher.

Ensuite, pour tracer chaque droite, on place deux points (l’ordonnée à l’origine \( b \), puis un second point calculé) :

• \( d(x) = -2x + 1 \) : \( (0\,;\,1) \) et \( (2\,;\,-3) \).
• \( u(x) = 3x – 4 \) : \( (0\,;\,-4) \) et \( (2\,;\,2) \).
• \( h(x) = -x + 3 \) : \( (0\,;\,3) \) et \( (3\,;\,0) \).
• \( t(x) = 2 \) : droite horizontale passant par \( (0\,;\,2) \).
• \( k(x) = 2{,}5x \) : \( (0\,;\,0) \) et \( (2\,;\,5) \) (droite passant par l’origine).
• \( m(x) = -2x – 3 \) : \( (0\,;\,-3) \) et \( (-2\,;\,1) \).

Par ailleurs, les droites représentant \( d \) et \( m \) sont parallèles. Ensuite, la raison : elles ont le même coefficient directeur \( a = -2 \). Quand \( x \) augmente de 1, les deux images diminuent de 2 : les droites ont la même « pente », seules leurs ordonnées à l’origine (1 et \( -3 \)) diffèrent.

Enfin, sur le graphique, une unité correspond à deux carreaux sur chaque axe. Par ailleurs, pour chaque droite, on lit l’ordonnée à l’origine \( b \) (intersection avec l’axe des ordonnées), puis le coefficient \( a \) = variation verticale pour une unité vers la droite.

• \( (d_f) \) : elle coupe l’axe des ordonnées en 2,5 et l’axe des abscisses en \( -2{,}5 \) ; \( a = \dfrac{2{,}5}{2{,}5} = 1 \). \( f(x) = x + 2{,}5 \).
• \( (d_g) \) : elle passe par l’origine et par \( (1\,;\,3) \). \( g(x) = 3x \) (linéaire).
• \( (d_h) \) : elle coupe l’axe des ordonnées en \( -2 \) et passe par \( (-1\,;\,0) \) ; \( a = \dfrac{-2 – 0}{0 – (-1)} = -2 \). \( h(x) = -2x – 2 \).
• \( (d_k) \) : très pentue et descendante ; quand \( x \) augmente de 1, elle descend de 4, et elle coupe l’axe des ordonnées juste au-dessus de 0, en 0,5 environ. \( k(x) = -4x + 0{,}5 \).
• \( (d_u) \) : droite horizontale d’ordonnée 2. \( u(x) = 2 \) (fonction constante, \( a = 0 \)).

a. Ensuite, on a \( ABCD \) est un trapèze rectangle de bases \( AB = 5 \) m et \( DC = 8 \) m, et de hauteur \( AD = 10 \) m.

\[ \mathcal{A} = \frac{(AB + DC) \times AD}{2} = \frac{(5 + 8) \times 10}{2} = 65 \text{ m}^2 \]

b. Ainsi, le rectangle de rayonnage a pour largeur \( x \), mesurée sur \( [AB] \) : on doit avoir \( 0 \leqslant x \leqslant 5 \).

c. Enfin, le rectangle mesure \( x \) sur \( AD = 10 \) : \( r(x) = 10x \) (fonction linéaire). Puis le coin lecture est le reste du trapèze : \( c(x) = 65 – 10x \) (fonction affine).

d. Ensuite, on trace les deux droites sur \( [0\,;\,5] \) : elles se coupent au point \( (3{,}25\,;\,32{,}5) \).

Par ailleurs, vérification par le calcul : \( 10x = 65 – 10x \iff 20x = 65 \iff x = 3{,}25 \), et chaque partie mesure alors \( 32{,}5 \) m², la moitié de 65 m².

Enfin, dans ce repère, un grand carreau vaut une unité et chaque unité est partagée en deux petits carreaux de 0,5. Ensuite, la droite (d1), représentant h, est celle qui monte (son nom est écrit en bas à gauche) ; (d3) est celle qui descend.

1. Ensuite, un antécédent de −3 par h est l’abscisse du point de (d1) d’ordonnée −3. Puis on part de −3 sur l’axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu’à (d1), puis on descend verticalement jusqu’à l’axe des abscisses : on lit −3,5. Donc \( h(-3{,}5) = -3 \).

2. Par ailleurs, L’image de −2,5 par h est l’ordonnée du point de (d1) d’abscisse −2,5. De plus, on part de −2,5 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à (d1), puis on va horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées : on lit −0,5. Donc \( h(-2{,}5) = -0{,}5 \).

3. Ainsi, on trouve \( k : x \mapsto -4x+0 \), c’est-à-dire \( k(x) = -4x \) : k est une fonction linéaire, sa représentation (d2) est une droite qui passe par l’origine. Ensuite, il suffit d’un second point : \( k(1) = -4 \), donc (d2) passe par \( (1\,;\,-4) \). Contrôle : \( k(-1) = 4 \), le point \( (-1\,;\,4) \) est aussi sur la droite.

4. Par conséquent, on obtient (d3) est une droite qui ne passe pas par l’origine : l est une fonction affine, \( l(x) = ax+b \).

• (d3) coupe l’axe des ordonnées en −3, donc l’ordonnée à l’origine est \( b = -3 \).
• (d3) passe par \( (-4\,;\,5) \) et \( (1\,;\,-5) \) : quand \( x \) augmente de 5, \( y \) diminue de 10, donc \( a = \dfrac{-5-5}{1-(-4)} = \dfrac{-10}{5} = -2 \).

De plus, contrôle : \( l(1) = -2\times 1-3 = -5 \) et \( l(-4) = 8-3 = 5 \).

1. De même, pour \( x \) DVD empruntés :

• tarif A (5 € par DVD) : \( f(x) = 5x \) ;
• tarif B (18 € d’abonnement, puis 2,50 € par DVD) : \( g(x) = 2{,}5x+18 \) ;
• tarif C (70 € quel que soit le nombre de DVD) : \( h(x) = 70 \).

2. Par conséquent, f est linéaire : sa droite passe par l’origine et par \( (20\,;\,100) \). g est affine : sa droite passe par \( (0\,;\,18) \) et \( (20\,;\,68) \). h est constante : c’est la droite horizontale d’ordonnée 70. Avec l’échelle demandée (1 cm pour 2 DVD en abscisse, 1 cm pour 5 € en ordonnée), cela donne :

De plus, on a donc 4. a)

\[ \begin{aligned} 5x &= 2{,}5x+18 \\ 5x-2{,}5x &= 18 \\ 2{,}5x &= 18 \\ x &= \frac{18}{2{,}5} = 7{,}2 \end{aligned} \]

b) Ainsi, pour \( x = 7{,}2 \), les tarifs A et B donneraient le même prix : \( 5\times 7{,}2 = 36 \) €. C’est l’abscisse du point d’intersection des droites de f et g. Comme on emprunte un nombre entier de DVD, on compare de part et d’autre : pour 7 DVD, A coûte 35 € et B coûte 35,50 € ; pour 8 DVD, A coûte 40 € et B coûte 38 €. Par ailleurs, le tarif A est plus avantageux jusqu’à 7 DVD, le tarif B à partir de 8 DVD.

Ainsi, on trouve 5. a) Résoudre graphiquement \( 70 \leqslant 2{,}5x+18 \), c’est chercher les abscisses des points de la droite de g situés sur ou au-dessus de la droite horizontale d’ordonnée 70. Puis les deux droites se coupent en \( x = 20{,}8 \) environ, et g est au-dessus à droite de ce point : les solutions sont les nombres \( x \geqslant 20{,}8 \).

b) Ensuite, par le calcul :

\[ \begin{aligned} 70 &\leqslant 2{,}5x+18 \\ 52 &\leqslant 2{,}5x \\ 20{,}8 &\leqslant x \end{aligned} \]

De plus, on obtient (on divise par 2,5, nombre positif, donc le sens de l’inégalité ne change pas). Ensuite, pour un nombre entier de DVD : à partir de 21 DVD, le tarif B coûte au moins 70 € et le tarif C devient plus intéressant.

1. Enfin, le débit est la taille téléchargée divisée par la durée :

\[ \text{débit} = \frac{3{,}5 \text{ Mo}}{7 \text{ s}} = 0{,}5 \text{ Mo/s} \]

Ensuite, le débit de la connexion est de 0,5 Mo/s.

Ainsi, on a donc 3. a. Il faut exprimer les prix dans la même unité, l’euro : 5 centimes = 0,05 €. Puis le tarif C coûte 8 € plus 0,05 € par élève, soit pour \( x \) élèves :

\[ C_2 = 8+0{,}05x \]

De même, C1 = 8 + 5x mélange les euros et les centimes (5x serait 5 € par élève), et C3 = 0,05 + 8x inverse le prix fixe et le prix par élève. C’est donc C2.

b. Par conséquent, ce n’est pas une situation de proportionnalité : à cause des 8 € fixes, le prix ne s’écrit pas sous la forme \( a\times x \). Par exemple, pour 100 élèves on paie \( 8+5 = 13 \) €, et pour 200 élèves \( 8+10 = 18 \) € : le nombre d’élèves double, mais pas le prix. De plus, la fonction \( x \mapsto 8+0{,}05x \) est affine et non linéaire.

Par conséquent, on obtient (La question 2 ne figure pas dans l’énoncé.)

De même, la représentation d’une fonction linéaire ou affine est une droite : deux points suffisent, et un troisième sert de contrôle. Ensuite, on choisit des valeurs de \( x \) qui donnent des points dans le repère (ici, y ne va que de −2 à 9 environ).

Par conséquent, les deux fonctions linéaires ont des droites qui passent par l’origine. Par ailleurs, pour \( 2x-3 \), le point \( (0\,;\,-3) \) est sous le repère : on trace la droite à partir de \( (2\,;\,1) \) et \( (6\,;\,9) \), et on vérifie qu’elle coupe l’axe des abscisses en 1,5. Puis pour k, seule une petite partie de la droite est visible, en bas à gauche, entre \( (-2\,;\,0) \) et \( (-1\,;\,-2) \).

De plus, remarque : l’énoncé appelle deux fonctions « f » ; il vaudrait mieux nommer la troisième autrement, par exemple h.

De même, la figure ne précise pas quelle droite représente f et laquelle représente g : on appelle f la fonction dont la droite passe par A et B, et g celle dont la droite passe par C et D. Ensuite, une fonction affine s’écrit \( ax+b \).

Par conséquent, fonction f : A(−1,5 ; 7,95) et B(−1 ; 5,45).

\[ a = \frac{f(-1)-f(-1{,}5)}{-1-(-1{,}5)} = \frac{5{,}45-7{,}95}{0{,}5} = \frac{-2{,}5}{0{,}5} = -5 \]

De plus, avec B : \( f(-1) = -5\times(-1)+b = 5+b = 5{,}45 \), donc \( b = 0{,}45 \). Contrôle avec A : \( -5\times(-1{,}5)+0{,}45 = 7{,}5+0{,}45 = 7{,}95 \).

Ainsi, fonction g : C(−1 ; 1) et D(1 ; 7).

\[ a = \frac{7-1}{1-(-1)} = \frac{6}{2} = 3 \]

Enfin, avec D : \( 3\times 1+b = 7 \), donc \( b = 4 \). Puis on le voit aussi sur la figure : la droite coupe l’axe des ordonnées en 4. Contrôle avec C : \( 3\times(-1)+4 = 1 \).

De plus, on cherche \( f(x) = ax+b \) sachant que \( f(-1) = 1 \) et \( f(1) = 5 \).

\[ a = \frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{5-1}{2} = 2 \]

Puis \( f(1) = 2\times 1+b = 5 \), donc \( b = 3 \). Contrôle : \( f(-1) = -2+3 = 1 \).

De même, \( g(-1) = 4 \) et \( g(1) = -2 \) :

\[ a = \frac{g(1)-g(-1)}{1-(-1)} = \frac{-2-4}{2} = -3 \]

Puis \( g(1) = -3\times 1+b = -2 \), donc \( b = 1 \). Contrôle : \( g(-1) = 3+1 = 4 \).

Par conséquent, le graphique confirme : Cf coupe l’axe des ordonnées en 3 et Cg en 1.

Par ailleurs, fonction f : \( f(-1) = 4{,}5 \) et \( f(1) = -1{,}5 \).

\[ a = \frac{-1{,}5-4{,}5}{1-(-1)} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Ainsi, on trouve \( f(1) = -3+b = -1{,}5 \), donc \( b = 1{,}5 \). Contrôle : \( f(-1) = 3+1{,}5 = 4{,}5 \).

Ensuite, fonction g : \( g(-1) = -4 \) et \( g(1) = 0 \).

\[ a = \frac{0-(-4)}{1-(-1)} = \frac{4}{2} = 2 \]

De plus, on obtient \( g(1) = 2+b = 0 \), donc \( b = -2 \). Contrôle : \( g(-1) = -2-2 = -4 \).

1. Enfin, tarif S : sa représentation est une droite qui passe par l’origine, donc la dépense est proportionnelle au nombre de spectacles. Tarif P : c’est une droite qui ne passe pas par l’origine (elle part de 20 € pour 0 spectacle), donc la dépense n’est pas proportionnelle au nombre de spectacles.

2. Ensuite, on lit des points sur les droites :

• S passe par \( (0\,;\,0) \) et \( (10\,;\,80) \) : le prix d’un spectacle est \( 80\div 10 = 8 \) €, donc \( S(x) = 8x \).
• P passe par \( (0\,;\,20) \) et \( (10\,;\,60) \) : 20 € au départ (un abonnement), puis \( (60-20)\div 10 = 4 \) € par spectacle, donc \( P(x) = 4x+20 \).

3. Par ailleurs, les deux messieurs paient le même prix au point d’intersection des deux droites. De plus, on lit ses coordonnées : abscisse 5, ordonnée 40.

4. De même, par le calcul, on résout \( S(x) = P(x) \) :

\[ \begin{aligned} 8x &= 4x+20 \\ 4x &= 20 \\ x &= 5 \end{aligned} \]

Par conséquent, et \( S(5) = 8\times 5 = 40 \) ; \( P(5) = 4\times 5+20 = 40 \). Ensuite, on retrouve bien la lecture graphique.

Par ailleurs, L’énoncé écrit \( f : x \mapsto 30x+5 \) puis parle du nombre \( 3x+5 \) : il s’agit d’une coquille, et on prend \( f(x) = 3x+5 \), comme le dit la phrase qui explique la notation.

1. Ainsi, on trouve \( g(0{,}5) = 2\times 0{,}5+7 = 1+7 = 8 \).

2. Par conséquent, on obtient \( h(2) = -5\times 2+3 = -10+3 = -7 \).

3. De plus, on obtient \( k(1) = 3\times 1-5 = -2 \).

4. Ainsi, avec \( f(x) = 3x+5 \) :

\[ f(0) = 3\times 0+5 = 5 \qquad f(5) = 15+5 = 20 \qquad f(10) = 30+5 = 35 \qquad f(x) = 3x+5 \]

Ensuite, on a (Si l’on gardait \( 30x+5 \), on trouverait 5, 155 et 305.)

5.

\[ \begin{aligned} &g(0) = 7 &\quad &g(1) = 2+7 = 9 &\quad &g(x) = 2x+7 \\ &h(0) = 3 &\quad &h(1) = -5+3 = -2 &\quad &h(x) = -5x+3 \\ &k(0) = -5 &\quad &k(1) = 3-5 = -2 &\quad &k(x) = 3x-5 \end{aligned} \]

De plus, on remarque que l’image de 0 est toujours le nombre \( b \) de l’écriture \( ax+b \) : c’est l’ordonnée à l’origine.

De même, nature de f : sa représentation graphique est une droite qui ne passe pas par l’origine, donc f est une fonction affine (non linéaire). Par ailleurs, on peut même trouver son expression : la droite passe par \( (-2\,;\,2) \) et \( (2\,;\,3) \), donc \( a = \dfrac{3-2}{2-(-2)} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 \), et elle coupe l’axe des ordonnées en 2,5 : \( f(x) = 0{,}25x+2{,}5 \).

Par conséquent, pour les lectures, chaque carreau vaut 1 en abscisse comme en ordonnée.

• 1. On part de 2 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la droite, puis on lit sur l’axe des ordonnées : f(2) = 3.
• 2. On part de 4 sur l’axe des ordonnées, on va jusqu’à la droite, puis on descend : le nombre qui a pour image 4 est 6.
• 3. On part de −2 sur l’axe des abscisses : f(−2) = 2.
• 4. On part de 1 sur l’axe des ordonnées : le nombre qui a pour image 1 est −6.

De plus, contrôle avec \( f(x) = 0{,}25x+2{,}5 \) : \( f(2) = 3 \), \( f(6) = 4 \), \( f(-2) = 2 \), \( f(-6) = 1 \).

Ainsi, que peut-on dire de ces deux fonctions ? Elles s’écrivent toutes deux sous la forme \( ax+b \) avec \( b \neq 0 \) : ce sont des fonctions affines (non linéaires). Puis pour h, \( a = 2 \) est positif : h est croissante. Ensuite, pour k, \( a = -0{,}5 \) est négatif : k est décroissante.

Enfin, image de 0 : \( h(0) = 2\times 0-3 = -3 \) et \( k(0) = -0{,}5\times 0+1 = 1 \).

Ensuite, image de 2 : \( h(2) = 2\times 2-3 = 1 \) et \( k(2) = -0{,}5\times 2+1 = -1+1 = 0 \).

Par ailleurs, tracés : on place les points \( (0\,;\,-3) \) et \( (2\,;\,1) \) pour h, \( (0\,;\,1) \) et \( (2\,;\,0) \) pour k, puis on trace les deux droites. L’énoncé appelle les deux droites (d3) ; on nomme ici (d3) celle de h et (d4) celle de k.

Enfin, compléter le tableau à l’aide du dessin. Sur le dessin, le ressort qui porte la masse de 20 g mesure 6 cm, et celui qui mesure 8 cm porte la masse de 40 g. Donc \( f(20) = 6 \) et la valeur de \( x \) cherchée est 40.

Ensuite, nature de la fonction. \( f(x) = 0{,}1 \times x + 4 \) est de la forme \( f(x) = ax + b \) avec \( a = 0{,}1 \) et \( b = 4 \) : f est une fonction affine (elle n’est pas linéaire car \( b \neq 0 \)).

Par ailleurs, image de 20.

De plus, on obtient \[ f(20) = 0{,}1 \times 20 + 4 = 2 + 4 = 6 \]

Par conséquent, L’image de 20 est 6 : avec une masse de 20 g, le ressort mesure 6 cm, ce qui correspond bien au dessin.

De plus, image de 40.

Ainsi, on trouve \[ f(40) = 0{,}1 \times 40 + 4 = 4 + 4 = 8 \]

Enfin, L’image de 40 est 8 : avec 40 g, le ressort mesure 8 cm, comme sur le dessin.

Ensuite, longueur à vide. « À vide » signifie qu’aucun objet n’est suspendu : la masse est \( x = 0 \).

Ensuite, on a \[ f(0) = 0{,}1 \times 0 + 4 = 4 \]

Enfin, le ressort mesure 4 cm à vide (c’est l’ordonnée à l’origine \( b = 4 \)).

Ensuite, masse quand le ressort s’allonge de 9 cm. Le ressort mesure 4 cm à vide ; s’il s’allonge de 9 cm, sa longueur devient \( 4 + 9 = 13 \) cm. Puis on cherche donc \( x \) tel que \( f(x) = 13 \) :

\[ \begin{aligned} 0{,}1x + 4 &= 13 \\ 0{,}1x &= 13 – 4 \\ 0{,}1x &= 9 \\ x &= \frac{9}{0{,}1} = 90 \end{aligned} \]

La masse suspendue est de 90 g. Vérification : \( 0{,}1 \times 90 + 4 = 9 + 4 = 13 \) cm, soit bien 9 cm de plus qu’à vide.

Remarque : si l’on comprend « le ressort mesure 9 cm », on résout \( 0{,}1x + 4 = 9 \), soit \( 0{,}1x = 5 \) et \( x = 50 \) : la masse serait alors de 50 g.

1. Pour 8 jours :

• tarif A : \( 300 \times 8 = 2\,400 \) € ;
• tarif B : \( 1\,000 + 200 \times 8 = 1\,000 + 1\,600 = 2\,600 \) €.

Après cela, pour 8 jours, le tarif A est le plus intéressant (2 400 € contre 2 600 €).

Pour 15 jours :

• tarif A : \( 300 \times 15 = 4\,500 \) € ;
• tarif B : \( 1\,000 + 200 \times 15 = 1\,000 + 3\,000 = 4\,000 \) €.

De même, pour 15 jours, le tarif B est le plus intéressant (4 000 € contre 4 500 €).

2. Avec le tarif A, on paie 300 € par jour : \( f(x) = 300x \). C’est une expression de la forme \( ax \) : f est une fonction linéaire (le prix est proportionnel au nombre de jours).

3. Avec le tarif B, on paie 1 000 € de forfait plus 200 € par jour : \( g(x) = 200x + 1\,000 \). C’est une expression de la forme \( ax + b \) avec \( b \neq 0 \) : g est une fonction affine (non linéaire).

4. La droite de f passe par l’origine et par le point \( (10\,;\,3\,000) \). De plus, la droite de g passe par \( (0\,;\,1\,000) \) et par \( (10\,;\,3\,000) \), puisque \( g(10) = 200 \times 10 + 1\,000 = 3\,000 \).

5. Graphiquement : les deux droites se coupent au point d’abscisse 10 (et d’ordonnée 3 000). Par le calcul :

\[ \begin{aligned} 300x &= 200x + 1\,000 \\ 300x – 200x &= 1\,000 \\ 100x &= 1\,000 \\ x &= 10 \end{aligned} \]

Les deux tarifs sont égaux pour 10 jours de location : on paie alors 3 000 € dans les deux cas.

6. Graphiquement : la droite rouge (tarif A) est en dessous de la droite bleue avant l’abscisse 10, et au-dessus après. Par le calcul, le tarif A est moins cher quand :

\[ \begin{aligned} 300x &\lt 200x + 1\,000 \\ 100x &\lt 1\,000 \\ x &\lt 10 \end{aligned} \]

On divise par 100, qui est positif : le sens de l’inégalité ne change pas. De même, \( 300x \gt 200x + 1\,000 \) donne \( x \gt 10 \).

Expressions. Tarif A : 400 € de forfait plus 2 € par kilomètre, donc \( f(x) = 2x + 400 \). Tarif B : 200 € de forfait plus 4 € par kilomètre, donc \( g(x) = 4x + 200 \).

Ces deux expressions sont de la forme \( ax + b \) avec \( b \neq 0 \) : f et g sont des fonctions affines (non linéaires).

1. Pour tracer chaque droite, deux points suffisent :

• f : \( f(0) = 400 \) et \( f(100) = 2 \times 100 + 400 = 600 \), d’où les points \( (0\,;\,400) \) et \( (100\,;\,600) \) ;
• g : \( g(0) = 200 \) et \( g(100) = 4 \times 100 + 200 = 600 \), d’où les points \( (0\,;\,200) \) et \( (100\,;\,600) \).

2. Tarifs égaux. Graphiquement, les droites se coupent au point d’abscisse 100. Par le calcul :

\[ \begin{aligned} 2x + 400 &= 4x + 200 \\ 400 – 200 &= 4x – 2x \\ 200 &= 2x \\ x &= 100 \end{aligned} \]

Les deux tarifs sont identiques pour 100 km (on paie alors 600 €).

Quand le tarif A est-il plus intéressant ? Graphiquement, la droite rouge est sous la droite bleue à droite de l’abscisse 100. Par le calcul :

\[ \begin{aligned} 2x + 400 &\lt 4x + 200 \\ 200 &\lt 2x \\ 100 &\lt x \end{aligned} \]

Le tarif A est plus intéressant au-delà de 100 km.

Quand le tarif B est-il plus intéressant ? Graphiquement, la droite bleue est sous la droite rouge à gauche de l’abscisse 100. Par le calcul, \( 4x + 200 \lt 2x + 400 \) donne \( 2x \lt 200 \), soit \( x \lt 100 \) : le tarif B est plus intéressant pour moins de 100 km.

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite : on calcule les coordonnées de deux points, puis on trace la droite qui les relie (un troisième point permet de vérifier).

• \( f(x) = 4 \) est une fonction constante : sa représentation est la droite horizontale passant par \( (0\,;\,4) \).
• \( g(x) = -2x + 2 \) : \( g(0) = 2 \) et \( g(1) = -2 \times 1 + 2 = 0 \). La droite passe par \( (0\,;\,2) \) et \( (1\,;\,0) \) ; elle descend car \( a = -2 \) est négatif.
• \( h(x) = 0{,}5x – 4 \) : \( h(0) = -4 \) et \( h(4) = 0{,}5 \times 4 – 4 = -2 \). La droite passe par \( (0\,;\,-4) \) et \( (4\,;\,-2) \).
• \( k(x) = \frac{3}{5}x \) est linéaire : sa droite passe par l’origine \( (0\,;\,0) \). Avec \( x = 5 \) : \( k(5) = \frac{3}{5} \times 5 = 3 \), d’où le point \( (5\,;\,3) \).

Une fonction est affine si elle s’écrit \( x \mapsto ax + b \). Ensuite, elle est linéaire si \( b = 0 \) (forme \( ax \)) et constante si \( a = 0 \) (forme \( b \)). Par ailleurs, une fonction linéaire ou constante est donc un cas particulier de fonction affine.

• a. \( f(x) = 3x \) : forme \( ax \) avec \( a = 3 \) → linéaire (donc aussi affine).
• b. \( g(x) = -7x + 2 \) : \( a = -7 \), \( b = 2 \) → affine (non linéaire).
• c. \( h(x) = 5x^2 – 3 \) : il y a un \( x^2 \), l’expression ne peut pas s’écrire \( ax + b \) → ni affine, ni linéaire, ni constante.
• d. \( k(x) = x \) : c’est \( 1 \times x \), avec \( a = 1 \) → linéaire (donc aussi affine).
• e. \( l(x) = 3x – 7 \) : \( a = 3 \), \( b = -7 \) → affine (non linéaire).

Aucune de ces fonctions n’est constante : chacune contient un terme en \( x \).

On compare chaque expression à la forme \( ax + b \) :

• \( f : x \mapsto 4x – 3 \) : \( a = 4 \), \( b = -3 \) → affine ;
• \( g : x \mapsto 5 – 2x \), c’est-à-dire \( -2x + 5 \) : \( a = -2 \), \( b = 5 \) → affine ;
• \( h : x \mapsto 4{,}5x \) : \( a = 4{,}5 \), \( b = 0 \) → affine et linéaire ;
• \( j : x \mapsto 3x^2 + 5 \) : terme en \( x^2 \) → pas affine ;
• \( k : x \mapsto -4 \) : \( a = 0 \), \( b = -4 \) → affine et constante ;
• \( l : x \mapsto \frac{1}{x} \) : on divise par \( x \), ce n’est pas de la forme \( ax + b \) → pas affine.

a. Fonctions affines : f, g, h et k.

b. Fonction linéaire : h.

c. Fonction constante : k.

d. Fonctions qui ne sont pas affines : j et l.

a. Quand \( x \) est donné, on calcule son image \( g(x) = 2x – 5 \) :

• \( g(-5{,}5) = 2 \times (-5{,}5) – 5 = -11 – 5 = -16 \) ;
• \( g(-3) = 2 \times (-3) – 5 = -6 – 5 = -11 \) ;
• \( g(0) = 2 \times 0 – 5 = -5 \) ;
• \( g(15) = 2 \times 15 – 5 = 30 – 5 = 25 \).

Quand \( g(x) \) est donné, on cherche l’antécédent en résolvant une équation :

• \( 2x – 5 = 0 \) donne \( 2x = 5 \), soit \( x = 2{,}5 \) ;
• \( 2x – 5 = 5 \) donne \( 2x = 10 \), soit \( x = 5 \) ;
• \( 2x – 5 = 2{,}4 \) donne \( 2x = 7{,}4 \), soit \( x = 3{,}7 \).

b. Ce n’est pas un tableau de proportionnalité : par exemple \( g(0) = -5 \), alors que dans un tableau de proportionnalité, 0 a toujours pour image 0. Puis on peut aussi comparer deux quotients : \( \frac{5}{5} = 1 \) mais \( \frac{25}{15} \neq 1 \). Ensuite, la fonction g est affine avec \( b = -5 \neq 0 \) : elle n’est pas linéaire.

a. Un carreau vaut 1 unité (la graduation 1 est marquée sur chaque axe). Puis on lit l’abscisse sur l’axe horizontal, puis l’ordonnée sur l’axe vertical :

• \( A_1(1\,;\,3) \) ;
• \( A_2(1\,;\,-1{,}5) \) ;
• \( A_3(2\,;\,-1) \) ;
• \( A_4(5\,;\,2) \).

b. Un point appartient à la représentation graphique d’une fonction si son ordonnée est l’image de son abscisse. \( A_1 \) est sur \( (d_1) \), qui représente \( f_1 \), etc. :

\[ f_1(1) = 3 \qquad f_2(1) = -1{,}5 \qquad f_3(2) = -1 \qquad f_4(5) = 2 \]

Pour aller plus loin : une fonction linéaire s’écrit \( f(x) = ax \), et \( a = \frac{f(x)}{x} \). De plus, on en déduit \( f_1(x) = 3x \), \( f_2(x) = -1{,}5x \), \( f_3(x) = -0{,}5x \) (car \( \frac{-1}{2} = -0{,}5 \)) et \( f_4(x) = 0{,}4x \) (car \( \frac{2}{5} = 0{,}4 \)).

Pour une fonction \( x \mapsto ax + b \), on utilise deux indices : l’ordonnée à l’origine \( b \) (le point où la droite coupe l’axe des ordonnées) et le coefficient directeur \( a \) (quand on avance de 1 carreau vers la droite, on monte de \( a \) carreaux si \( a \gt 0 \), on descend si \( a \lt 0 \)).

Les droites qui passent par le point (0 ; 5) (b = 5) :

• \( x \mapsto 5 \) : coefficient 0, droite horizontale → \( (d_3) \) ;
• \( x \mapsto 2x + 5 \) : monte de 2 pour 1 → \( (d_5) \) ;
• \( x \mapsto -2x + 5 \) : descend de 2 pour 1 → \( (d_4) \) ;
• \( x \mapsto \frac{1}{2}x + 5 \) : monte de 1 pour 2 → \( (d_2) \) ;
• \( x \mapsto -\frac{1}{2}x + 5 \) : descend de 1 pour 2 → \( (d_1) \).

Les droites parallèles de coefficient 2 : elles montent toutes de 2 pour 1, on les distingue par leur ordonnée à l’origine.

• \( x \mapsto 2x + 1 \) coupe l’axe des ordonnées en 1 → \( (d_6) \) ;
• \( x \mapsto 2x – 3 \) coupe l’axe des ordonnées en −3 → \( (d_7) \) ;
• \( x \mapsto 2x – 7 \) coupe l’axe des ordonnées en −7 → \( (d_8) \).

Attention à l’échelle : la graduation 1 est à deux carreaux de l’origine, donc un carreau vaut 0,5.

a. On part de l’abscisse sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à \( (d_1) \), puis on lit l’ordonnée : \( f_1(1) = 0{,}5 \) et \( f_1(6) = 3 \).

b. De même sur \( (d_2) \) : \( f_2(1) = 4 \) et \( f_2(4) = 1 \).

c. Une fonction a un coefficient négatif quand sa droite descend de gauche à droite. Seule \( (d_2) \) descend : c’est \( f_2 \).

d. Les flèches en pointillés montrent le coefficient : on avance de 1 unité vers la droite, puis on lit de combien on monte ou on descend.

• \( (d_1) \) : pour 1 unité vers la droite, on monte de 0,5 → coefficient 0,5 ;
• \( (d_2) \) : pour 1 unité vers la droite, on descend de 1 → coefficient −1 ;
• \( (d_3) \) : pour 1 unité vers la droite, on monte de 2 → coefficient 2.

e. L’ordonnée à l’origine se lit là où la droite coupe l’axe des ordonnées : \( (d_1) \) passe par l’origine, \( (d_2) \) coupe l’axe en 5 et \( (d_3) \) en 1.

On en déduit \( f_1(x) = 0{,}5x \) (linéaire), \( f_2(x) = -x + 5 \) et \( f_3(x) = 2x + 1 \). Vérification : \( f_2(4) = -4 + 5 = 1 \) et \( f_1(6) = 0{,}5 \times 6 = 3 \), comme lu sur le graphique.

1. On calcule deux points pour chaque droite :

• \( f(x) = 5x \) est linéaire : \( C_f \) passe par l’origine \( (0\,;\,0) \) et par \( (1\,;\,5) \) ;
• \( g(x) = 5x + 2 \) est affine : \( C_g \) passe par \( (0\,;\,2) \) et par \( (-1\,;\,-3) \), car \( g(-1) = -5 + 2 = -3 \) ;
• \( h(x) = -\frac{1}{5}x – 4 \) est affine : \( C_h \) passe par \( (0\,;\,-4) \) et par \( (5\,;\,-5) \), car \( h(5) = -1 – 4 = -5 \).

2. On remarque que :

• \( C_f \) et \( C_g \) sont parallèles : les fonctions f et g ont le même coefficient directeur 5. On passe de \( C_f \) à \( C_g \) en « montant » de 2 unités, car \( g(x) = f(x) + 2 \).
• \( C_f \) passe par l’origine (f est linéaire), alors que \( C_g \) et \( C_h \) ne passent pas par l’origine.
• \( C_h \) semble perpendiculaire à \( C_f \) et à \( C_g \) : quand on avance de 1 et monte de 5 sur \( C_f \), on avance de 5 et descend de 1 sur \( C_h \) (on a « tourné » le carreau d’un quart de tour). Cela se voit bien parce que le repère est orthonormé.