Théorème de Thalès en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10
Voici le corrigé exercices théorème de Thalès 3ème pour les dix premiers énoncés de la fiche. Ils couvrent les deux sens du théorème : le théorème direct, qui permet de calculer une longueur dès que deux droites sont parallèles, et la réciproque, qui permet de prouver un parallélisme en comparant deux quotients. On retrouve les deux configurations du programme, les triangles « emboîtés » et la configuration papillon, dans des situations très variées : piste de ski, largeur d’une rivière mesurée en pas, contrefort de bâtiment, ombres chinoises, cônes opposés par le sommet, boîte en tronc de pyramide et funiculaire, où Thalès se combine avec Pythagore.
Chaque solution commence par vérifier les hypothèses (points alignés dans le même ordre, droites parallèles), écrit l’égalité des trois quotients, puis fait le calcul. Une figure accompagne chaque exercice. Cherche d’abord seul, puis compare ta rédaction à cette correction : au brevet, la citation correcte des hypothèses rapporte autant de points que le résultat.
Les énoncés se trouvent sur la fiche Théorème de Thalès : exercices de maths en 3ème corrigés en PDF. (32 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.
Corrigé des exercices 1 à 10 sur le théorème de Thalès en 3ème
Exercice 1 : Théorème de Thalès
Revoir l’énoncé de l’exercice 1
Les points \( O, M, A, N \) sont alignés, ainsi que les points \( O, B, C \).
Dans les triangles \( OBM \) et \( OCA \) : \( M \in [OA] \), \( B \in [OC] \) et \( (BM) \) // \( (AC) \). D’après le théorème de Thalès :
\[ \frac{OM}{OA} = \frac{OB}{OC} = \frac{BM}{CA} \]
Dans les triangles \( OBA \) et \( OCN \) : \( A \in [ON] \), \( B \in [OC] \) et \( (AB) \) // \( (NC) \). D’après le théorème de Thalès :
\[ \frac{OA}{ON} = \frac{OB}{OC} = \frac{AB}{NC} \]
Les deux égalités contiennent le même quotient \( \dfrac{OB}{OC} \), donc \( \dfrac{OM}{OA} = \dfrac{OA}{ON} \). Par égalité des produits en croix :
\[ OA \times OA = OM \times ON, \quad \text{soit} \quad OA^2 = OM \times ON \]
Exercice 2 : Théorème de Thalès et sa réciproque
Revoir l’énoncé de l’exercice 2
Remarque sur l’énoncé. Avec \( BC = 4{,}9 \) cm, le triangle \( ABC \) n’est pas rectangle : \( AC^2 + BC^2 = 40{,}96 + 24{,}01 = 64{,}97 \) alors que \( AB^2 = 64 \). La valeur attendue est très probablement \( BC = 4{,}8 \) cm : alors \( AC^2 + BC^2 = 40{,}96 + 23{,}04 = 64 = AB^2 \) et, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, \( ABC \) est rectangle en \( C \). On corrige avec cette valeur.
a) Dans le triangle \( ABC \) rectangle en \( C \), \( [AB] \) est l’hypoténuse et \( [AC] \) le côté adjacent à l’angle \( \widehat{A} \) :
\[ \cos \widehat{A} = \frac{AC}{AB} = \frac{6{,}4}{8} = 0{,}8 \qquad \text{donc} \qquad \widehat{A} \approx 36{,}9^\circ \]
(Avec \( BC = 4{,}9 \) cm exactement, on trouverait \( \widehat{A} \approx 37{,}8^\circ \), mais ce calcul, dans un triangle quelconque, dépasse le programme de troisième.)
b) Les points \( A, B, E \) sont alignés dans cet ordre, ainsi que \( A, C, F \). On compare :
\[ \frac{AE}{AB} = \frac{12}{8} = 1{,}5 \qquad \frac{AF}{AC} = \frac{9{,}6}{6{,}4} = 1{,}5 \]
Les quotients sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \( (BC) \) // \( (EF) \). Or \( (BC) \perp (AC) \) ; si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre, donc \( (EF) \perp (AF) \).
Contrôle : \( EF = 1{,}5 \times 4{,}8 = 7{,}2 \) cm et \( AF^2 + EF^2 = 92{,}16 + 51{,}84 = 144 = 12^2 = AE^2 \).
Exercice 3 : Utilisation du théorème de Thalès
Revoir l’énoncé de l’exercice 3
Pour utiliser le théorème de Thalès, il faut deux droites sécantes et deux droites parallèles qui les coupent.
a. Non. Les droites \( (BE) \) et \( (CD) \) se coupent en \( M \) : elles ne sont pas parallèles. Aucun parallélisme n’est donné dans le triangle \( ACD \).
b. Oui. Les codages montrent que \( G \) est le milieu de \( [FH] \), \( I \) celui de \( [HJ] \), \( M \) celui de \( [FL] \) et \( K \) celui de \( [LJ] \). Dans le triangle \( HFJ \), \( \dfrac{HG}{HF} = \dfrac{HI}{HJ} = \dfrac{1}{2} \), donc \( (GI) \) // \( (FJ) \) (réciproque de Thalès, ou théorème des milieux). De même \( (MK) \) // \( (FJ) \) dans le triangle \( LFJ \). On peut ensuite appliquer Thalès, par exemple \( \dfrac{GI}{FJ} = \dfrac{1}{2} \).
c. Non. \( (RV) \perp (VT) \) et \( (TU) \perp (RU) \) : les deux droites sont perpendiculaires à des droites différentes, rien ne prouve que \( (RV) \) // \( (TU) \).
d. Oui. \( (MQ) \perp (QP) \) et \( (OP) \perp (QP) \) : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc \( (MQ) \) // \( (OP) \). Avec \( M, N, O \) et \( Q, N, P \) alignés, c’est une configuration papillon.
e. Oui. Le triangle \( WAX \) est inscrit dans le cercle de diamètre \( [WX] \) : il est rectangle en \( A \). De même \( XYZ \) est rectangle en \( Y \). Les droites \( (WA) \) et \( (ZY) \) sont donc toutes deux perpendiculaires à \( (AY) \), donc parallèles ; avec \( W, X, Z \) et \( A, X, Y \) alignés, on a une configuration papillon de centre \( X \).
Exercice 4 : Deux cônes de révolution et théorème de Thalès
Revoir l’énoncé de l’exercice 4
Les droites \( (AB) \) et \( (KI) \) se coupent en \( S \), et \( (BI) \) // \( (KA) \). D’après le théorème de Thalès (configuration papillon) :
\[ \frac{SI}{SK} = \frac{SB}{SA} = \frac{BI}{KA} \qquad \text{donc} \qquad \frac{4}{6} = \frac{BI}{4{,}5} \]
\[ BI = \frac{4 \times 4{,}5}{6} = \frac{18}{6} = 3 \text{ cm} \]
Exercice 5 : Sports d'hiver et théorème de Thalès
Revoir l’énoncé de l’exercice 5
Les droites \( (DH) \) et \( (CA) \) sont toutes deux perpendiculaires au sol \( (AB) \), donc parallèles. Les points \( B, D, C \) sont alignés, ainsi que \( B, H, A \). D’après le théorème de Thalès dans les triangles \( BDH \) et \( BCA \) :
\[ \frac{BD}{BC} = \frac{BH}{BA} = \frac{DH}{CA} \qquad \text{donc} \qquad \frac{DB}{1\,200} = \frac{150}{200} \]
\[ DB = \frac{1\,200 \times 150}{200} = 900 \text{ m} \]
Exercice 6 : Parcours dans les bois et théorème de Thalès
Revoir l’énoncé de l’exercice 6
a. Les deux côtés marqués d’un angle droit (la largeur \( d \) de la rivière et le côté de 1 pas) sont perpendiculaires à la même droite (la berge où Julien marche) : ils sont parallèles. La droite qui passe par le premier arbre et le pied du second arbre coupe la berge au pied du second arbre : c’est une configuration papillon.
\[ \frac{d}{1} = \frac{20}{5} \qquad \text{donc} \qquad d = 4 \text{ pas} \]
b. \( 4 \times 65 = 260 \) cm.
Exercice 7 : Consolidation d'un bâtiment et théorème de Thalès
Revoir l’énoncé de l’exercice 7
a. Le triangle \( ABS \) est rectangle en \( B \). D’après le théorème de Pythagore :
\[ AS^2 = AB^2 + BS^2 = 2{,}5^2 + 6^2 = 6{,}25 + 36 = 42{,}25 \qquad AS = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5 \text{ m} \]
b. \( SM = SA – AM = 6{,}5 – 1{,}95 = 4{,}55 \) m et \( SN = SB – NB = 6 – 1{,}8 = 4{,}2 \) m.
c. Les points \( S, M, A \) et \( S, N, B \) sont alignés dans le même ordre. On compare :
\[ \frac{SM}{SA} = \frac{4{,}55}{6{,}5} = 0{,}7 \qquad \frac{SN}{SB} = \frac{4{,}2}{6} = 0{,}7 \]
Les quotients sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \( (MN) \) // \( (AB) \). La traverse est bien parallèle au sol.
Exercice 8 : Spectacle de marionnettes
Revoir l’énoncé de l’exercice 8
L’ombre est la plus grande possible quand elle occupe toute la hauteur de l’écran, soit 2 m = 200 cm. La marionnette et l’écran sont verticaux, donc parallèles ; les rayons lumineux partent de la lampe. Si \( d \) est la distance lampe-écran, le théorème de Thalès donne :
\[ \frac{30}{d} = \frac{24}{200} \qquad \text{donc} \qquad d = \frac{30 \times 200}{24} = 250 \text{ cm} \]
Exercice 9 : Fabrication de boîtes par un artisan
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a. La pyramide est régulière : \( (SO) \) est sa hauteur, perpendiculaire à la base, donc à \( (OA) \). Le triangle \( AOS \) est rectangle en \( O \). D’après le théorème de Pythagore :
\[ SO^2 = SA^2 – OA^2 = 400 – 144 = 256 \qquad SO = \sqrt{256} = 16 \text{ cm} \]
b. La section parallèle à la base donne une pyramide \( SIJKL \) réduction de \( SABCD \). Le coefficient est le rapport des hauteurs :
\[ k = \frac{SM}{SO} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \]
c. Les longueurs sont multipliées par \( k \) : \( SI = \dfrac{1}{8} \times SA = \dfrac{20}{8} = 2{,}5 \) cm. Puis \( IA = SA – SI = 20 – 2{,}5 = 17{,}5 \) cm.
Exercice 10 : Funiculaire, théorème de Thalès et Pythagore
Revoir l’énoncé de l’exercice 10
1) Le triangle \( DPM \) est rectangle en \( P \). D’après le théorème de Pythagore :
\[ DP^2 = DM^2 – MP^2 = 420^2 – 252^2 = 176\,400 – 63\,504 = 112\,896 \qquad DP = \sqrt{112\,896} = 336 \text{ m} \]
2) a) \( (MP) \perp (DH) \) et \( (AH) \perp (DH) \). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : \( (MP) \) // \( (HA) \).
b) Les points \( D, M, A \) et \( D, P, H \) sont alignés et \( (MP) \) // \( (AH) \). D’après le théorème de Thalès :
\[ \frac{DM}{DA} = \frac{DP}{DH} \qquad \text{donc} \qquad DA = \frac{420 \times 1\,000}{336} = 1\,250 \text{ m} \]
La méthode à retenir sur le théorème de Thalès
- Avant d’appliquer Thalès, on cite les points alignés et les droites parallèles (souvent obtenues par deux perpendiculaires à une même droite).
- On écrit les trois quotients dans le même ordre : petit triangle au numérateur, grand triangle au dénominateur, sommet commun en premier.
- On ne garde que l’égalité utile, puis on calcule par produit en croix.
- Réciproque : on calcule séparément les deux quotients ; s’ils sont égaux et que les points sont dans le même ordre, les droites sont parallèles.
- Dans un solide, on se ramène à un triangle plan (coupe) ; une section parallèle à la base est une réduction de coefficient \( k \).
- Thalès et Pythagore se combinent souvent : Pythagore donne la longueur manquante, Thalès fait le reste.
Les erreurs fréquentes
- Appliquer Thalès sans avoir justifié le parallélisme (exercice 3 a et c).
- Mélanger les côtés des deux triangles dans les quotients (mettre \( BI \) en face de \( SK \) au lieu de \( KA \)).
- Écrire \( \dfrac{SN}{NB} \) au lieu de \( \dfrac{SN}{SB} \) dans la réciproque : on compare toujours avec la longueur totale depuis le sommet.
- Oublier de convertir les unités (écran de 2 m et marionnette de 24 cm).
- Arrondir un quotient avant de conclure à l’égalité dans une réciproque : on compare des valeurs exactes.
Les exercices 11 à 32 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.
Questions fréquentes
Comment reconnaître une configuration papillon ?
Deux droites se coupent en un point, et les deux droites parallèles sont de part et d’autre de ce point, comme les ailes d’un papillon. Le théorème s’écrit de la même façon qu’avec des triangles emboîtés, en partant du point d’intersection.
Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?
Le théorème part du parallélisme pour obtenir des longueurs. La réciproque part de longueurs (deux quotients égaux) pour démontrer un parallélisme. On le repère à la question : « calculer » appelle le théorème, « démontrer que les droites sont parallèles » appelle la réciproque.
Faut-il toujours écrire les trois quotients ?
C’est la rédaction attendue : on écrit l’égalité des trois quotients, puis on choisit les deux qui contiennent la longueur cherchée et trois longueurs connues. Cela évite les erreurs d’ordre et montre au correcteur que la configuration a été comprise.
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