Corrigé des 32 exercices sur le théorème de Thalès en 3ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Ensuite, les points \( O, M, A, N \) sont alignés, ainsi que les points \( O, B, C \).

Par ailleurs, dans les triangles \( OBM \) et \( OCA \) : \( M \in [OA] \), \( B \in [OC] \) et \( (BM) \) // \( (AC) \). D’après le théorème de Thalès :

\[ \frac{OM}{OA} = \frac{OB}{OC} = \frac{BM}{CA} \]

De même, dans les triangles \( OBA \) et \( OCN \) : \( A \in [ON] \), \( B \in [OC] \) et \( (AB) \) // \( (NC) \). D’après le théorème de Thalès :

\[ \frac{OA}{ON} = \frac{OB}{OC} = \frac{AB}{NC} \]

Par conséquent, les deux égalités contiennent le même quotient \( \dfrac{OB}{OC} \), donc \( \dfrac{OM}{OA} = \dfrac{OA}{ON} \). Par égalité des produits en croix :

\[ OA \times OA = OM \times ON, \quad \text{soit} \quad OA^2 = OM \times ON \]

Par ailleurs, remarque sur l’énoncé. Avec \( BC = 4{,}9 \) cm, le triangle \( ABC \) n’est pas rectangle : \( AC^2 + BC^2 = 40{,}96 + 24{,}01 = 64{,}97 \) alors que \( AB^2 = 64 \). Ensuite, la valeur attendue est très probablement \( BC = 4{,}8 \) cm : alors \( AC^2 + BC^2 = 40{,}96 + 23{,}04 = 64 = AB^2 \) et, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, \( ABC \) est rectangle en \( C \). Puis on corrige avec cette valeur.

a) De même, dans le triangle \( ABC \) rectangle en \( C \), \( [AB] \) est l’hypoténuse et \( [AC] \) le côté adjacent à l’angle \( \widehat{A} \) :

\[ \cos \widehat{A} = \frac{AC}{AB} = \frac{6{,}4}{8} = 0{,}8 \qquad \text{donc} \qquad \widehat{A} \approx 36{,}9^\circ \]

Ainsi, on trouve (Avec \( BC = 4{,}9 \) cm exactement, on trouverait \( \widehat{A} \approx 37{,}8^\circ \), mais ce calcul, dans un triangle quelconque, dépasse le programme de troisième.)

b) De plus, les points \( A, B, E \) sont alignés dans cet ordre, ainsi que \( A, C, F \). De plus, on compare :

\[ \frac{AE}{AB} = \frac{12}{8} = 1{,}5 \qquad \frac{AF}{AC} = \frac{9{,}6}{6{,}4} = 1{,}5 \]

Ainsi, les quotients sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \( (BC) \) // \( (EF) \). Or \( (BC) \perp (AC) \) ; si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre, donc \( (EF) \perp (AF) \).

Enfin, contrôle : \( EF = 1{,}5 \times 4{,}8 = 7{,}2 \) cm et \( AF^2 + EF^2 = 92{,}16 + 51{,}84 = 144 = 12^2 = AE^2 \).

De plus, pour utiliser le théorème de Thalès, il faut deux droites sécantes et deux droites parallèles qui les coupent.

Ainsi, a. Non. Les droites \( (BE) \) et \( (CD) \) se coupent en \( M \) : elles ne sont pas parallèles. Aucun parallélisme n’est donné dans le triangle \( ACD \).

Enfin, b. Oui. Les codages montrent que \( G \) est le milieu de \( [FH] \), \( I \) celui de \( [HJ] \), \( M \) celui de \( [FL] \) et \( K \) celui de \( [LJ] \). Ensuite, dans le triangle \( HFJ \), \( \dfrac{HG}{HF} = \dfrac{HI}{HJ} = \dfrac{1}{2} \), donc \( (GI) \) // \( (FJ) \) (réciproque de Thalès, ou théorème des milieux). De même \( (MK) \) // \( (FJ) \) dans le triangle \( LFJ \). Par ailleurs, on peut ensuite appliquer Thalès, par exemple \( \dfrac{GI}{FJ} = \dfrac{1}{2} \).

Ensuite, c. Non. \( (RV) \perp (VT) \) et \( (TU) \perp (RU) \) : les deux droites sont perpendiculaires à des droites différentes, rien ne prouve que \( (RV) \) // \( (TU) \).

Par ailleurs, d. Oui. \( (MQ) \perp (QP) \) et \( (OP) \perp (QP) \) : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc \( (MQ) \) // \( (OP) \). Avec \( M, N, O \) et \( Q, N, P \) alignés, c’est une configuration papillon.

De même, e. Oui. Le triangle \( WAX \) est inscrit dans le cercle de diamètre \( [WX] \) : il est rectangle en \( A \). De même \( XYZ \) est rectangle en \( Y \). Puis les droites \( (WA) \) et \( (ZY) \) sont donc toutes deux perpendiculaires à \( (AY) \), donc parallèles ; avec \( W, X, Z \) et \( A, X, Y \) alignés, on a une configuration papillon de centre \( X \).

Ensuite, les droites \( (AB) \) et \( (KI) \) se coupent en \( S \), et \( (BI) \) // \( (KA) \). D’après le théorème de Thalès (configuration papillon) :

\[ \frac{SI}{SK} = \frac{SB}{SA} = \frac{BI}{KA} \qquad \text{donc} \qquad \frac{4}{6} = \frac{BI}{4{,}5} \]
\[ BI = \frac{4 \times 4{,}5}{6} = \frac{18}{6} = 3 \text{ cm} \]

Ainsi, les droites \( (DH) \) et \( (CA) \) sont toutes deux perpendiculaires au sol \( (AB) \), donc parallèles. Ensuite, les points \( B, D, C \) sont alignés, ainsi que \( B, H, A \). D’après le théorème de Thalès dans les triangles \( BDH \) et \( BCA \) :

\[ \frac{BD}{BC} = \frac{BH}{BA} = \frac{DH}{CA} \qquad \text{donc} \qquad \frac{DB}{1\,200} = \frac{150}{200} \]
\[ DB = \frac{1\,200 \times 150}{200} = 900 \text{ m} \]

a. Par conséquent, les deux côtés marqués d’un angle droit (la largeur \( d \) de la rivière et le côté de 1 pas) sont perpendiculaires à la même droite (la berge où Julien marche) : ils sont parallèles. Puis la droite qui passe par le premier arbre et le pied du second arbre coupe la berge au pied du second arbre : c’est une configuration papillon.

\[ \frac{d}{1} = \frac{20}{5} \qquad \text{donc} \qquad d = 4 \text{ pas} \]

b. Ainsi, on trouve \( 4 \times 65 = 260 \) cm.

a. De même, le triangle \( ABS \) est rectangle en \( B \). D’après le théorème de Pythagore :

\[ AS^2 = AB^2 + BS^2 = 2{,}5^2 + 6^2 = 6{,}25 + 36 = 42{,}25 \qquad AS = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5 \text{ m} \]

b. Ainsi, on trouve \( SM = SA – AM = 6{,}5 – 1{,}95 = 4{,}55 \) m et \( SN = SB – NB = 6 – 1{,}8 = 4{,}2 \) m.

c. De plus, les points \( S, M, A \) et \( S, N, B \) sont alignés dans le même ordre. De plus, on compare :

\[ \frac{SM}{SA} = \frac{4{,}55}{6{,}5} = 0{,}7 \qquad \frac{SN}{SB} = \frac{4{,}2}{6} = 0{,}7 \]

Ainsi, les quotients sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \( (MN) \) // \( (AB) \). Ensuite, la traverse est bien parallèle au sol.

Par conséquent, L’ombre est la plus grande possible quand elle occupe toute la hauteur de l’écran, soit 2 m = 200 cm. Par ailleurs, la marionnette et l’écran sont verticaux, donc parallèles ; les rayons lumineux partent de la lampe. Si \( d \) est la distance lampe-écran, le théorème de Thalès donne :

\[ \frac{30}{d} = \frac{24}{200} \qquad \text{donc} \qquad d = \frac{30 \times 200}{24} = 250 \text{ cm} \]

a. Par ailleurs, la pyramide est régulière : \( (SO) \) est sa hauteur, perpendiculaire à la base, donc à \( (OA) \). Puis le triangle \( AOS \) est rectangle en \( O \). D’après le théorème de Pythagore :

\[ SO^2 = SA^2 – OA^2 = 400 – 144 = 256 \qquad SO = \sqrt{256} = 16 \text{ cm} \]

b. De même, la section parallèle à la base donne une pyramide \( SIJKL \) réduction de \( SABCD \). Ensuite, le coefficient est le rapport des hauteurs :

\[ k = \frac{SM}{SO} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \]

c. Par conséquent, les longueurs sont multipliées par \( k \) : \( SI = \dfrac{1}{8} \times SA = \dfrac{20}{8} = 2{,}5 \) cm. Puis \( IA = SA – SI = 20 – 2{,}5 = 17{,}5 \) cm.

1) Par ailleurs, le triangle \( DPM \) est rectangle en \( P \). D’après le théorème de Pythagore :

\[ DP^2 = DM^2 – MP^2 = 420^2 – 252^2 = 176\,400 – 63\,504 = 112\,896 \qquad DP = \sqrt{112\,896} = 336 \text{ m} \]

De plus, on obtient 2) a) \( (MP) \perp (DH) \) et \( (AH) \perp (DH) \). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : \( (MP) \) // \( (HA) \).

b) Par conséquent, les points \( D, M, A \) et \( D, P, H \) sont alignés et \( (MP) \) // \( (AH) \). D’après le théorème de Thalès :

\[ \frac{DM}{DA} = \frac{DP}{DH} \qquad \text{donc} \qquad DA = \frac{420 \times 1\,000}{336} = 1\,250 \text{ m} \]

Par ailleurs, mesures par comptage des briques. Une brique mesure 20 cm de long et 10 cm de haut ; le mortier est déjà compté.

• Sur l’arête verticale [OR] : B est à 4 rangées au-dessus de O, donc OB = 4 × 10 = 40 cm ; D est à 7 rangées, donc OD = 70 cm.
• Sur la rangée du bas, en partant de O : une demi-brique (10 cm) puis 3 briques jusqu’à A, donc OA = 10 + 60 = 70 cm ; puis encore 3 briques jusqu’à C, donc OC = 70 + 60 = 130 cm.

Ainsi, comparaison des quotients. Les points O, A, C d’une part et O, B, D d’autre part sont alignés dans le même ordre.

\[ \frac{OA}{OC} = \frac{70}{130} = \frac{7}{13} \approx 0{,}538 \qquad \frac{OB}{OD} = \frac{40}{70} = \frac{4}{7} \approx 0{,}571 \]

Enfin, produits en croix : \( 7 \times 7 = 49 \) et \( 13 \times 4 = 52 \). Comme \( 49 \neq 52 \), \( \dfrac{OA}{OC} \neq \dfrac{OB}{OD} \).

Ensuite, si (AB) et (CD) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait l’égalité \( \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} \). Puis ce n’est pas le cas, donc (c’est la contraposée du théorème de Thalès) les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.

1) Ainsi, le montant [BS] est perpendiculaire au sol, donc le triangle ABS est rectangle en B, d’hypoténuse [AS]. D’après le théorème de Pythagore :

\[ \begin{aligned} AS^2 &= AB^2 + BS^2 \\ &= 2{,}5^2 + 6^2 \\ &= 6{,}25 + 36 \\ &= 42{,}25 \end{aligned} \]

donc \( AS = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5 \). AS = 6,5 m.

2) Par conséquent, N est sur [SB] et M est sur [SA] :

• \( SN = SB – BN = 6 – 1{,}8 = 4{,}2 \) : SN = 4,2 m ;
• \( SM = SA – AM = 6{,}5 – 1{,}95 = 4{,}55 \) : SM = 4,55 m.

3) De plus, les points S, M, A et S, N, B sont alignés dans le même ordre. De plus, on calcule séparément :

\[ \frac{SM}{SA} = \frac{4{,}55}{6{,}5} = 0{,}7 \qquad \frac{SN}{SB} = \frac{4{,}2}{6} = 0{,}7 \]

Ainsi, les deux quotients sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AB) sont parallèles. Comme (AB) est le sol, la traverse [MN] est parallèle au sol.

Par conséquent, on lit : les points B, O, M, I sont alignés, ainsi que A, O, N, J, avec OB = 9, OA = 7,5, OJ = 17,5, OI = 21, NJ = 5 et MI = 6. Ensuite, on en déduit :

De plus, on obtient \( ON = OJ – NJ = 17{,}5 – 5 = 12{,}5 \) et \( OM = OI – MI = 21 – 6 = 15 \).

Ainsi, a. (MN) et (IJ). O, M, I et O, N, J sont alignés dans le même ordre.

\[ \frac{OM}{OI} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7} \qquad \frac{ON}{OJ} = \frac{12{,}5}{17{,}5} = \frac{5}{7} \]

Enfin, les quotients sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (IJ) sont parallèles.

Ensuite, b. (AB) et (MN). Configuration « papillon » : B et M sont de part et d’autre de O, de même que A et N ; les points B, O, M et A, O, N sont donc alignés dans le même ordre.

\[ \frac{OB}{OM} = \frac{9}{15} = 0{,}6 \qquad \frac{OA}{ON} = \frac{7{,}5}{12{,}5} = 0{,}6 \]

Par ailleurs, les quotients sont égaux : (AB) et (MN) sont parallèles.

De même, c. (AB) et (IJ). De même, B, O, I et A, O, J sont alignés dans le même ordre :

\[ \frac{OB}{OI} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7} \qquad \frac{OA}{OJ} = \frac{7{,}5}{17{,}5} = \frac{3}{7} \]

Enfin, on a donc (AB) et (IJ) sont parallèles (on pouvait aussi dire : deux droites parallèles à une même troisième droite (MN) sont parallèles entre elles).

De plus, les points O, A′, A et O, B′, B sont alignés dans le même ordre. D’après le théorème de Thalès et sa réciproque, (AB) et (A′B′) sont parallèles si et seulement si \( \dfrac{OA^{\prime}}{OA} = \dfrac{OB^{\prime}}{OB} \), c’est-à-dire :

\[ \frac{2x}{3} = \frac{x + 1}{2} \]

Ainsi, on résout par produit en croix :

\[ \begin{aligned} 2x \times 2 &= 3 \times (x + 1) \\ 4x &= 3x + 3 \\ 4x – 3x &= 3 \\ x &= 3 \end{aligned} \]

Enfin, vérification : pour \( x = 3 \), \( OA^{\prime} = 6 \) et \( OB^{\prime} = 4 \), d’où \( \dfrac{6}{3} = 2 \) et \( \dfrac{4}{2} = 2 \) : les quotients sont bien égaux. (A′ et B′ sont alors plus loin de O que A et B : la figure n’est qu’un schéma, mais les points restent dans le même ordre sur chaque droite.)

Ensuite, pour toute autre valeur de x, les quotients sont différents et les droites ne sont pas parallèles.

Ainsi, notons O le point où les pieds se croisent. Chaque pied est un segment qui passe par O : le pied qui mesure 26 cm au-dessus de O mesure 65 cm en dessous, et celui qui mesure 21,2 cm au-dessus mesure 53 cm en dessous. Par ailleurs, on a une configuration « papillon » : le plateau (en haut) et le sol (en bas).

Ensuite, la table est horizontale si le plateau est parallèle au sol. Puis on compare les quotients :

\[ \frac{26}{65} = 0{,}4 \qquad \frac{21{,}2}{53} = 0{,}4 \]

Par ailleurs, les deux quotients sont égaux, et les extrémités des pieds sont alignées avec O dans le même ordre (plateau d’un côté, sol de l’autre). D’après la réciproque du théorème de Thalès, la droite du plateau est parallèle à celle du sol.

De plus, comme le sol est horizontal, le plateau l’est aussi.

1. De même, dans le triangle AFG, le plus grand côté est [AF] avec AF = 5 cm.

De plus, on obtient \( AF^2 = 5^2 = 25 \) et \( FG^2 + AG^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \).

Comme \( AF^2 = FG^2 + AG^2 \), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AFG est rectangle en G.

2. Les points A, F, D et A, G, E sont alignés, et (FG) // (DE). D’après le théorème de Thalès :

\[ \frac{AF}{AD} = \frac{AG}{AE} = \frac{FG}{DE} \]

avec \( AE = AG + GE = 4 + 6{,}8 = 10{,}8 \) cm. Ensuite, on utilise \( \dfrac{AF}{AD} = \dfrac{AG}{AE} \) :

\[ \frac{5}{AD} = \frac{4}{10{,}8} \quad \text{donc} \quad AD = \frac{5 \times 10{,}8}{4} = 13{,}5 \]

AD = 13,5 cm, puis \( FD = AD – AF = 13{,}5 – 5 = 8{,}5 \) : FD = 8,5 cm.

3. Les points F, A, B et G, A, C sont alignés dans le même ordre (A est entre F et B, et entre G et C).

\[ \frac{AF}{AB} = \frac{5}{6{,}25} = 0{,}8 \qquad \frac{AG}{AC} = \frac{4}{5} = 0{,}8 \]

Les quotients sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, (FG) et (BC) sont parallèles.

Les droites (EH) et (FG) se coupent en A et (EF) // (HG) : c’est une configuration « papillon ». D’après le théorème de Thalès :

\[ \frac{AE}{AH} = \frac{AF}{AG} \quad \text{soit} \quad \frac{2}{x + 1} = \frac{3}{2x – 1} \]

Produit en croix :

\[ \begin{aligned} 2(2x – 1) &= 3(x + 1) \\ 4x – 2 &= 3x + 3 \\ 4x – 3x &= 3 + 2 \\ x &= 5 \end{aligned} \]

Vérification : \( AH = 5 + 1 = 6 \) cm et \( AG = 2 \times 5 – 1 = 9 \) cm ; \( \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \) et \( \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \).

Dans chaque cas, les deux droites en pointillés sont parallèles et on applique le théorème de Thalès dans le petit et le grand triangle qui ont un sommet commun.

Cas 1 (sommet A, (BC) // (MN)) : AM = 4,5, AC = 4, BC = 2, MN = 6.

\[ \frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

\( AN = 4 \times 3 = 12 \) et \( AB = \dfrac{4{,}5}{3} = 1{,}5 \) : AN = 12 et AB = 1,5.

Cas 2 (sommet C, (ST) // (BA)) : CS = 5, CB = 13, ST = 3, CA = 6,5.

\[ \frac{CS}{CB} = \frac{CT}{CA} = \frac{ST}{BA} = \frac{5}{13} \]

\( CT = \dfrac{5 \times 6{,}5}{13} = 2{,}5 \) et \( AB = \dfrac{3 \times 13}{5} = 7{,}8 \) : CT = 2,5 et AB = 7,8.

Cas 3 (sommet A, (PM) // (BC)) : AB = 5, PB = 2 donc \( AP = 5 – 2 = 3 \) ; AM = 6, PM = 2.

\[ \frac{AP}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{PM}{BC} = \frac{3}{5} \]

\( AC = \dfrac{6 \times 5}{3} = 10 \) et \( BC = \dfrac{2 \times 5}{3} = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33 \) : AC = 10 et BC = 10/3.

Cas 4 (sommet I, (ML) // (KJ)) : IM = 5, IL = 8, LJ = 2 donc \( IJ = 8 + 2 = 10 \) ; KJ = 7.

\[ \frac{IM}{IK} = \frac{IL}{IJ} = \frac{ML}{KJ} = \frac{8}{10} = 0{,}8 \]

\( IK = \dfrac{5}{0{,}8} = 6{,}25 \) et \( ML = 0{,}8 \times 7 = 5{,}6 \) : IK = 6,25 et ML = 5,6.

Les points C, D, M, A sont alignés sur le sol, et le rayon de soleil passe par B, N et A.

Longueur CA. \( CA = CD + DM + MA = 115 + 163{,}4 + 3{,}5 = 281{,}9 \) m.

Parallélisme. La hauteur (BC) de la pyramide et le disciple (MN) sont tous deux perpendiculaires au sol (CA). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (MN) // (BC).

Thalès. Les points A, M, C et A, N, B sont alignés, et (MN) // (CB), donc :

\[ \frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB} = \frac{MN}{CB} \quad \text{soit} \quad \frac{3{,}5}{281{,}9} = \frac{1{,}8}{CB} \]
\[ CB = \frac{1{,}8 \times 281{,}9}{3{,}5} \approx 144{,}98 \]

La pyramide mesure donc environ 145 m de haut (la hauteur réelle de Khéops était d’environ 146 m : la méthode de Thalès est remarquablement précise).

Parallélisme. D’après les codages, (EA) ⊥ (SG) et (LG) ⊥ (SG). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (EA) // (LG).

Thalès. Les points S, E, L et S, A, G sont alignés, et (EA) // (LG), donc :

\[ \frac{SE}{SL} = \frac{SA}{SG} = \frac{EA}{LG} \quad \text{soit} \quad \frac{5}{12} = \frac{AE}{9} \]
\[ AE = \frac{5 \times 9}{12} = \frac{45}{12} = 3{,}75 \]

Parallélisme. Les angles en H et en O sont droits : (SH) ⊥ (OH) et (OE) ⊥ (OH). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (SH) // (OE).

Thalès (configuration papillon). D ∈ [SE] et D ∈ [OH] : les points S, D, E et H, D, O sont alignés, et (SH) // (OE), donc :

\[ \frac{DO}{DH} = \frac{DE}{DS} = \frac{OE}{HS} \quad \text{soit} \quad \frac{3{,}6}{9} = \frac{2}{SH} \]
\[ SH = \frac{2 \times 9}{3{,}6} = \frac{18}{3{,}6} = 5 \]

1) Construction : on trace [AC] de 12 cm, puis la perpendiculaire à (AC) en C, sur laquelle on place B tel que BC = 5 cm (on vérifie ensuite que AB mesure bien 13 cm). Puis on place R sur [AC] tel que AR = 9 cm, puis on trace la perpendiculaire à (AC) passant par R : elle coupe [AB] en T.

2) Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AB]. De plus, on compare :

\[ AB^2 = 13^2 = 169 \qquad AC^2 + BC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \]

On a \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \), donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

3) Les droites (TR) et (BC) sont toutes les deux perpendiculaires à (AC) : elles sont donc parallèles. De plus, A, R, C sont alignés et A, T, B sont alignés. D’après le théorème de Thalès :

\[ \dfrac{AR}{AC} = \dfrac{AT}{AB} = \dfrac{TR}{BC} \qquad \text{soit} \qquad \dfrac{9}{12} = \dfrac{AT}{13} = \dfrac{TR}{5} \]

\[ AT = \dfrac{9 \times 13}{12} = \dfrac{117}{12} = 9{,}75 \text{ cm} \qquad TR = \dfrac{9 \times 5}{12} = \dfrac{45}{12} = 3{,}75 \text{ cm} \]

Les points A, O, B sont alignés, les points D, O, E sont alignés, et les droites (AD) et (BE) sont parallèles. C’est une configuration papillon : d’après le théorème de Thalès,

\[ \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OD}{OE} = \dfrac{AD}{BE} \qquad \text{soit} \qquad \dfrac{2}{3} = \dfrac{OD}{5} = \dfrac{2{,}6}{BE} \]

• \( OD = \dfrac{2 \times 5}{3} = \dfrac{10}{3} \) : la valeur exacte est \( OD = \dfrac{10}{3} \text{ cm} \) (environ 3,33 cm, mais on garde la fraction).
• \( BE = \dfrac{2{,}6 \times 3}{2} = \dfrac{7{,}8}{2} = 3{,}9 \) : BE = 3,9 cm.

Pour écrire l’égalité de Thalès, on repère le sommet commun (point d’intersection des deux sécantes), puis on écrit les côtés du petit triangle sur ceux du grand triangle, dans le même ordre.

• a. Sommet commun C ; D sur [CA], E sur [CV], (DE) // (AV) : \[ \dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CV} = \dfrac{DE}{AV} \]
• b. Sommet commun T (configuration papillon) ; H, T, C alignés et E, T, D alignés, (EH) // (CD) : \[ \dfrac{TH}{TC} = \dfrac{TE}{TD} = \dfrac{HE}{CD} \]
• c. Sommet commun K ; J sur [KI], L sur [KM], (JL) // (IM) : \[ \dfrac{KJ}{KI} = \dfrac{KL}{KM} = \dfrac{JL}{IM} \]
• d. Sommet commun C (configuration papillon) ; P, C, F alignés et H, C, R alignés, (PH) // (RF) : \[ \dfrac{CF}{CP} = \dfrac{CR}{CH} = \dfrac{FR}{PH} \]

Contrôle : dans chaque quotient, le numérateur et le dénominateur sont sur la même droite (ou sur les deux droites parallèles pour le troisième quotient).

On lit sur la figure : CE = 2 cm, CF = 6 cm et CH = 1,4 cm.

Les droites (EF) et (HS) se coupent en C, et (EH) // (FS). D’après le théorème de Thalès dans les triangles CEH et CFS :

\[ \dfrac{CE}{CF} = \dfrac{CH}{CS} = \dfrac{EH}{FS} \qquad \text{donc} \qquad \dfrac{2}{6} = \dfrac{1{,}4}{CS} \]

\[ CS = \dfrac{6 \times 1{,}4}{2} = \dfrac{8{,}4}{2} = 4{,}2 \text{ cm} \]

Vérification : CF est le triple de CE, donc CS est bien le triple de CH : \( 3 \times 1{,}4 = 4{,}2 \).

On lit sur la figure : CF = 8 cm, EH = 2 cm, CH = 3 cm et CS = 7 cm.

Les droites (EF) et (HS) se coupent en C et (EH) // (FS). D’après le théorème de Thalès :

\[ \dfrac{CE}{CF} = \dfrac{CH}{CS} = \dfrac{EH}{FS} \qquad \text{soit} \qquad \dfrac{CE}{8} = \dfrac{3}{7} = \dfrac{2}{FS} \]

• \( CE = \dfrac{8 \times 3}{7} = \dfrac{24}{7} \), soit \( CE = \dfrac{24}{7} \text{ cm} \approx 3{,}43 \text{ cm} \).
• \( FS = \dfrac{2 \times 7}{3} = \dfrac{14}{3} \), soit \( FS = \dfrac{14}{3} \text{ cm} \approx 4{,}67 \text{ cm} \).

On lit sur la figure : AF = 3,4 cm, AG = 3,2 cm et GE = 3,6 cm. Ensuite, les points A, G, E sont alignés, F, G, C sont alignés, et (AF) // (EC) : c’est une configuration papillon. D’après le théorème de Thalès :

\[ \dfrac{GA}{GE} = \dfrac{GF}{GC} = \dfrac{AF}{EC} \qquad \text{soit} \qquad \dfrac{3{,}2}{3{,}6} = \dfrac{GF}{GC} = \dfrac{3{,}4}{EC} \]

1. Pour calculer GC, il faudrait utiliser l’égalité \( \dfrac{3{,}2}{3{,}6} = \dfrac{GF}{GC} \). Or la longueur GF n’est pas donnée : deux longueurs sont inconnues dans cette égalité. On ne peut donc pas déterminer GC avec ces données.

2. On utilise \( \dfrac{3{,}2}{3{,}6} = \dfrac{3{,}4}{EC} \) :

\[ EC = \dfrac{3{,}6 \times 3{,}4}{3{,}2} = \dfrac{12{,}24}{3{,}2} = 3{,}825 \text{ cm} \]

Les points D, T, N sont alignés, les points C, T, E sont alignés, et (DC) // (EN). D’après le théorème de Thalès (configuration papillon) dans les triangles TDC et TNE :

\[ \dfrac{TD}{TN} = \dfrac{TC}{TE} = \dfrac{DC}{EN} \qquad \text{soit} \qquad \dfrac{4{,}7}{5{,}2} = \dfrac{TC}{2{,}4} = \dfrac{DC}{4{,}3} \]

• \( DC = \dfrac{4{,}7 \times 4{,}3}{5{,}2} = \dfrac{20{,}21}{5{,}2} \approx 3{,}886 \), donc DC ≈ 3,9 cm au millimètre près.
• \( CT = \dfrac{4{,}7 \times 2{,}4}{5{,}2} = \dfrac{11{,}28}{5{,}2} \approx 2{,}169 \), donc CT ≈ 2,2 cm au millimètre près.

On utilise la réciproque du théorème de Thalès : on calcule séparément les deux quotients de longueurs prises à partir du point d’intersection des deux sécantes, et on vérifie l’ordre des points.

a. Sur le côté du haut, la droite bleue est à 2 cm du sommet sur 8 cm ; sur le côté du bas, elle est à 4 cm sur 12 cm.

\[ \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 \qquad \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33 \]

Les quotients ne sont pas égaux. Si les droites bleues étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait deux quotients égaux : les droites bleues ne sont pas parallèles.

b. Notons O le point d’intersection des deux droites noires. Sur la première, les droites bleues sont à 1,3 cm et 2,6 cm de O ; sur la seconde, à 1,7 cm et 3,4 cm de O, de part et d’autre de O dans les deux cas.

\[ \dfrac{1{,}3}{2{,}6} = 0{,}5 \qquad \dfrac{1{,}7}{3{,}4} = 0{,}5 \]

Les quotients sont égaux et les points sont dans le même ordre sur les deux droites (O est entre les deux points à chaque fois). D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites bleues sont parallèles.

On lit sur la figure : UT = 5 cm, US = 1,8 cm, UO = 7,5 cm et UR = 2,7 cm. Par ailleurs, les droites (TS) et (OR) se coupent en U.

On calcule séparément :

\[ \dfrac{US}{UT} = \dfrac{1{,}8}{5} = 0{,}36 \qquad \dfrac{UR}{UO} = \dfrac{2{,}7}{7{,}5} = 0{,}36 \]

Les quotients sont égaux, et les points T, U, S et O, U, R sont alignés dans le même ordre (U est entre les deux points dans les deux cas). D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (TO) et (SR) sont parallèles.

Remarque : on retrouve le même coefficient avec les troisièmes côtés, \( \dfrac{SR}{TO} = \dfrac{1{,}62}{4{,}5} = 0{,}36 \), mais ce calcul n’est pas nécessaire pour la réciproque.

On lit sur la figure : VT = 4,46 m, VS = 3,31 m (sur la droite (TS)) et VH = 3,98 m, VE = 2,95 m (sur la droite (EH)). Puis les points T, V, S et H, V, E sont alignés dans le même ordre.

On compare les quotients \( \dfrac{VT}{VS} \) et \( \dfrac{VH}{VE} \) avec les produits en croix, pour éviter les arrondis :

\[ VT \times VE = 4{,}46 \times 2{,}95 = 13{,}157 \qquad VS \times VH = 3{,}31 \times 3{,}98 = 13{,}1738 \]

Les produits en croix sont différents, donc \( \dfrac{VT}{VS} \neq \dfrac{VH}{VE} \) (environ 1,3474 contre 1,3492 : ils sont très proches, mais pas égaux).

Si les droites (TH) et (ES) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait des quotients égaux. Ensuite, ce n’est pas le cas : les droites (TH) et (ES) ne sont pas parallèles.

On lit sur la figure : BK = 3 cm, BA = 5,4 cm, BC = 5 cm et BH = 9 cm. Puis les points B, K, A sont alignés et B, C, H sont alignés dans le même ordre.

\[ \dfrac{BK}{BA} = \dfrac{3}{5{,}4} = \dfrac{30}{54} = \dfrac{5}{9} \qquad \dfrac{BC}{BH} = \dfrac{5}{9} \]

On peut aussi vérifier avec les produits en croix : \( 3 \times 9 = 27 \) et \( 5{,}4 \times 5 = 27 \).

Les quotients sont égaux et les points sont dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AH) et (CK) sont parallèles.