Construire l’image par une homothétie : contrôle de maths en 3ème
Voici un contrôle de maths en 3ème sur le thème « construire l’image par une homothétie », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet évalue la notion d’homothétie du programme de 3ème. Tu places d’abord des images sur une droite graduée, puis tu construis sur quadrillage l’image d’un triangle avec un rapport positif, et ensuite avec un rapport négatif qui fait passer la figure de l’autre côté du centre. Un exercice te demande de reconnaître une homothétie parmi d’autres transformations, et le dernier applique la notion à l’ombre d’une figurine projetée sur un mur.
Fais ce contrôle à la fin du chapitre sur les transformations, avant d’étudier les agrandissements et leurs effets sur les aires et les volumes. Prévois une règle et un crayon bien taillé.
Ce qu’évalue le contrôle : construire l’image par une homothétie
L’essentiel du sujet
- Niveau3ème
- Durée50 minutes
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Homothéties (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Placer l’image d’un point par une homothétie de centre donné sur une droite graduée
- Construire l’image d’un triangle sur quadrillage avec un rapport positif puis négatif
- Retrouver le rapport d’une homothétie à partir d’un point et de son image
- Distinguer une homothétie d’une translation, d’une symétrie axiale ou centrale
- Utiliser l’effet d’une homothétie sur les longueurs et les aires dans un problème
Avant de commencer le devoir
Pour chaque construction, trace au crayon les demi-droites issues du centre O et compte les carreaux horizontalement puis verticalement : c’est plus sûr que de mesurer. Avec un rapport négatif, l’image se place de l’autre côté de O, jamais du même côté. Contrôle ensuite ta figure : les côtés de l’image doivent rester parallèles à ceux de la figure de départ. Dans l’exercice 4, décris chaque motif avant de conclure, et garde assez de temps pour le problème final, qui rapporte 5 points.
Le sujet du contrôle : construire l’image par une homothétie
Exercice 1 – Sur la droite graduée (3 points)
Sur la droite graduée ci-dessous, l’unité est représentée par un intervalle. Les points O, A, B, D, E et F ont pour abscisses respectives 0, 2, 3, 6, \(-4\) et \(-6\).
- D’abord, quel point est l’image du point A par l’homothétie de centre O et de rapport 3 ? Justifie.
- Puis quel point est l’image du point A par l’homothétie de centre O et de rapport \(-2\) ? Justifie.
- Ensuite, quel est le rapport de l’homothétie de centre O qui transforme le point D en le point B ?
- Enfin, quel est le rapport de l’homothétie de centre O qui transforme le point E en le point A ?
Exercice 2 – Agrandir le triangle ABC (4 points)
Reproduis le quadrillage ci-dessous, avec le triangle ABC et le point O. On note h l’homothétie de centre O et de rapport 2.
- D’abord, construis le point A’, image du point A par h. Explique ensuite ta construction.
- Construis les points B’ et C’, puis le triangle A’B’C’, image du triangle ABC par h.
- Le segment [AB] mesure 3 carreaux. Alors combien de carreaux mesure le segment [A’B’] ?
- Calcule l’aire du triangle ABC puis celle du triangle A’B’C’, en carreaux. Ainsi, par quel nombre l’aire a-t-elle été multipliée ?
Exercice 3 – Un rapport négatif (4 points)
Reproduis le quadrillage ci-dessous, avec le triangle DEF et le point O.
- Construis le triangle D’E’F’, image du triangle DEF par l’homothétie de centre O et de rapport \(-1{,}5\).
- Le segment [DE] mesure 2 carreaux. Donc, sans mesurer, donne la longueur du segment [D’E’] en carreaux, en justifiant par un calcul.
- Enfin, le triangle D’E’F’ est-il un agrandissement ou une réduction du triangle DEF ? Justifie.
- Quelle transformation connue depuis la 5ème est l’homothétie de centre O et de rapport \(-1\) ?
Exercice 4 – Six motifs à identifier (4 points)
Sur la figure ci-dessous, les motifs numérotés de 2 à 6 sont tous obtenus à partir du motif 1 (en bleu) par une transformation. Le point O et la droite (d) sont tracés.
- Parmi les motifs 2 à 6, lesquels sont l’image du motif 1 par une homothétie de centre O ? Donne le rapport de chacune.
- Ensuite, par quelle transformation passe-t-on du motif 1 au motif 2 ? Du motif 1 au motif 4 ?
- Le motif 1 est l’image du motif 3 par une homothétie de centre O. Quel est alors son rapport ?
Exercice 5 – Le théâtre d’ombres (5 points)
Pour un spectacle d’ombres, Maëlys place une lampe L à 200 cm d’un mur. Ensuite, entre les deux, à 40 cm de la lampe, elle tient une figurine en carton de 12 cm de haut, bien parallèle au mur. L’ombre A’B’ de la figurine [AB] apparaît sur le mur : c’est l’image de [AB] par une homothétie de centre L.
Mais le schéma n’est pas à l’échelle.
- D’abord, détermine le rapport k de cette homothétie à l’aide des distances à la lampe.
- Puis calcule la hauteur de l’ombre sur le mur.
- Ensuite, la silhouette de la figurine a une aire de \(30\text{ cm}^2\). Quelle est l’aire de son ombre sur le mur ?
- Maëlys veut que l’ombre mesure \(1{,}5\text{ m}\) de haut, sans déplacer la lampe ni le mur. À quelle distance de la lampe doit-elle placer la figurine ?
Réviser construire l’image par une homothétie avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon homothéties ; entraîne-toi sur la fiche homothéties avant de retenter le sujet.
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