Problèmes de partage et nombres premiers : contrôle de maths en 3ème
Voici un contrôle de maths en 3ème sur le thème « problèmes de partage et nombres premiers », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet te met face aux problèmes de partage qui tombent régulièrement au brevet. Il se prépare en fin de premier trimestre, une fois la leçon sur les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers bien assimilée. Tu commences par chercher des diviseurs communs et par reconnaître des nombres premiers, puis tu justifies quatre affirmations par une preuve ou un contre-exemple.
La suite est faite de situations concrètes : poser des dalles carrées sans aucune découpe, trouver quand deux bus repassent en même temps à un arrêt, puis composer des bouquets tous identiques en utilisant toutes les fleurs. Ce contrôle récompense surtout la qualité des justifications.
Ce qu’évalue le contrôle : problèmes de partage et nombres premiers
L’essentiel du sujet
- Niveau3ème
- Durée55 minutes
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Arithmétique (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Reconnaître un nombre premier en testant sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs à sa racine carrée
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers et s’en servir pour trouver le plus grand diviseur commun
- Répartir des objets en lots identiques ou carreler une surface avec le plus grand nombre ou la plus grande dalle possible
- Déterminer le premier instant où deux phénomènes périodiques se reproduisent en même temps
- Justifier ou réfuter une affirmation sur les nombres premiers par une preuve ou un contre-exemple
Avant de commencer le devoir
Dans chaque problème, demande-toi d’abord ce que l’on cherche : un nombre qui divise les deux données (lots, dalles) ou un nombre qui est multiple des deux (rendez-vous de bus). Écris ensuite les décompositions en facteurs premiers et entoure les facteurs communs. La calculatrice ne sert qu’à vérifier une division : une réponse sans décomposition ni phrase de conclusion perd des points. Pour un vrai-faux, un seul contre-exemple suffit à prouver qu’une affirmation est fausse.
Le sujet du contrôle : problèmes de partage et nombres premiers
Exercice 1 – Diviseurs et nombres premiers (4 points)
- Écris d’abord la liste de tous les diviseurs de 36, puis celle de tous les diviseurs de 60.
- Donne les diviseurs communs à 36 et à 60, puis le plus grand d’entre eux.
- Parmi les nombres 51 ; 53 ; 57 ; 59 et 87, lesquels sont premiers ? Justifie chaque réponse, car un simple oui ou non ne suffit pas.
- Enfin, décompose 750 en produit de facteurs premiers.
Exercice 2 – Vrai ou faux (4 points)
Pour chaque affirmation, indique si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse.
- D’abord, l’affirmation 1 : « La somme de deux nombres premiers est toujours un nombre pair. »
- Ensuite, l’affirmation 2 : « 2 est le seul nombre premier pair. »
- Puis l’affirmation 3 : « 91 est un nombre premier. »
- Enfin, l’affirmation 4 : « Un nombre divisible à la fois par 4 et par 6 est toujours divisible par 24. »
Exercice 3 – Le carrelage de la véranda (5 points)
Malik veut carreler le sol rectangulaire de sa véranda, qui mesure 4,50 m sur 3,30 m. Il veut des dalles carrées toutes identiques, dont le côté est un nombre entier de centimètres, et il ne veut aucune découpe. Il fait d’abord un essai sur plan avec des dalles de 50 cm de côté.
Ainsi, la figure est à l’échelle.
- Explique, à l’aide d’un calcul, pourquoi les dalles de 50 cm ne conviennent pas.
- Ensuite, décompose 450 et 330 en produits de facteurs premiers.
- On en déduit donc la longueur du côté de la plus grande dalle que Malik peut utiliser.
- Alors, combien de dalles de cette taille lui faudra-t-il ?
- Enfin, ces dalles sont vendues par cartons de 12 au prix de 18 € le carton. Quelle somme Malik va-t-il dépenser ?
Exercice 4 – Deux bus à l’arrêt Gare (4 points)
À l’arrêt Gare, le bus A passe toutes les 12 minutes et le bus B toutes les 18 minutes. Ce matin, les deux bus sont passés ensemble à 7 h 00. La frise ci-dessous montre les premiers passages ; les ronds marqués d’un point d’interrogation sont à compléter.
- D’abord, donne toutes les heures de passage de chaque bus entre 7 h 00 et 8 h 00.
- Décompose 12 et 18 en produits de facteurs premiers, puis déduis-en le plus petit nombre non nul qui est à la fois multiple de 12 et de 18.
- Ensuite, à quelle heure les deux bus repasseront-ils ensemble pour la première fois après 7 h 00 ?
- Combien de fois les deux bus passent-ils ensemble entre 7 h 00 et 12 h 00, en comptant celui de 7 h 00 ? À quelle heure est-ce la dernière fois ?
Exercice 5 – Les bouquets du fleuriste (3 points)
Une fleuriste, Nadège, a reçu 126 roses, 90 tulipes et 54 iris. Elle veut composer le plus grand nombre possible de bouquets tous identiques en utilisant toutes ses fleurs.
| Fleur | Rose | Tulipe | Iris |
| Prix d’achat à l’unité | 0,80 € | 0,60 € | 1,00 € |
- Combien de bouquets peut-elle composer au maximum ? Donne la composition d’un bouquet.
- Ensuite, calcule le prix d’achat des fleurs d’un bouquet.
- Nadège vend chaque bouquet 15 €. Alors, quel bénéfice réalise-t-elle si elle vend tous ses bouquets ?
Réviser problèmes de partage et nombres premiers avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon arithmétique et décomposition en facteurs premiers ; entraîne-toi sur la fiche arithmétique et décomposition en facteurs premiers avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en 3ème regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
Sujets proches à faire ensuite
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