Problèmes de partage et nombres premiers : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « problèmes de partage et nombres premiers », question par question.
Cette correction suit l’ordre du sujet et donne pour chaque question la rédaction complète attendue le jour du brevet : décompositions posées, facteurs communs repérés, puis phrase de conclusion. Le plan de la véranda et la frise des bus sont redessinés une fois complétés, pour que tu voies la réponse autant que tu la lis.
Compare d’abord tes résultats, puis relis les justifications, car c’est souvent là que se perdent les points. Le barème détaillé sépare la méthode du résultat final. Les remarques « Piège classique » pointent la confusion la plus fréquente de ce chapitre : prendre un diviseur commun quand il faut un multiple commun, et inversement.
L’énoncé complet se trouve ici : Problèmes de partage et nombres premiers : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : problèmes de partage et nombres premiers
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Diviseurs et nombres premiers | 4 points |
| 2. Vrai ou faux | 4 points |
| 3. Le carrelage de la véranda | 5 points |
| 4. Deux bus à l’arrêt Gare | 4 points |
| 5. Les bouquets du fleuriste | 3 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : problèmes de partage et nombres premiers
Exercice 1 – Diviseurs et nombres premiers (4 points)
- On cherche les produits égaux à 36 : \(1 \times 36\), \(2 \times 18\), \(3 \times 12\), \(4 \times 9\), \(6 \times 6\).
Diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.
De même pour 60 : \(1 \times 60\), \(2 \times 30\), \(3 \times 20\), \(4 \times 15\), \(5 \times 12\), \(6 \times 10\).
Diviseurs de 60 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60. - Ainsi, les nombres présents dans les deux listes sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12. Le plus grand diviseur commun à 36 et 60 est 12.
- 51 : la somme de ses chiffres vaut \(5 + 1 = 6\), multiple de 3, donc 51 est divisible par 3 : \(51 = 3 \times 17\). 51 n’est pas premier.
53 : il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7. De plus, \(11 \times 11 = 121 > 53\). Il n’a donc pas d’autre diviseur que 1 et lui-même : 53 est premier.
57 : \(5 + 7 = 12\) est multiple de 3, donc \(57 = 3 \times 19\). 57 n’est pas premier.
59 : il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 (\(7 \times 8 = 56\) et \(7 \times 9 = 63\)). Ensuite, \(11 \times 11 > 59\), donc 59 est premier.
87 : \(8 + 7 = 15\) est multiple de 3, donc \(87 = 3 \times 29\). 87 n’est pas premier.
Les nombres premiers de la liste sont 53 et 59. - \(750 = 2 \times 375\)
\(375 = 3 \times 125\)
\(125 = 5 \times 5 \times 5\)
Donc \(750 = 2 \times 3 \times 5^3\). Vérification : \(2 \times 3 \times 125 = 6 \times 125 = 750\).
Piège classique : 51, 57 et 87 « ressemblent » à des nombres premiers. Teste toujours la divisibilité par 3 avec la somme des chiffres avant de conclure.
Exercice 2 – Vrai ou faux (4 points)
- Faux. Contre-exemple : 2 et 3 sont premiers, mais \(2 + 3 = 5\) est impair.
- Vrai. Les diviseurs de 2 sont 1 et 2 : il en a exactement deux, donc 2 est premier. En revanche, tout autre nombre pair \(n\) plus grand que 2 est divisible par 1, par 2 et par lui-même. Il a donc au moins trois diviseurs et n’est pas premier.
- Faux. \(91 = 7 \times 13\) : 91 est divisible par 7, il a donc d’autres diviseurs que 1 et lui-même.
- Faux. Contre-exemple : 12 est divisible par 4 (\(12 = 4 \times 3\)) et par 6 (\(12 = 6 \times 2\)). Pourtant, 12 n’est pas divisible par 24, car \(12 < 24\).
Piège classique : donner plusieurs exemples où l’affirmation 1 marche (3 + 5, 7 + 11…) ne prouve rien. Pour montrer qu’une affirmation est fausse, il faut au contraire un seul cas où elle ne marche pas.
Exercice 3 – Le carrelage de la véranda (5 points)
- On travaille en centimètres : 4,50 m = 450 cm et 3,30 m = 330 cm.
\(450 \div 50 = 9\), donc 9 dalles tiennent exactement dans la longueur.
\(330 \div 50 = 6{,}6\) n’est pas un nombre entier : 6 dalles couvrent 300 cm et il reste une bande de 30 cm.
Les dalles de 50 cm ne conviennent pas car 50 ne divise pas 330 : il faudrait découper des dalles. - \(450 = 2 \times 225 = 2 \times 9 \times 25\), donc \(450 = 2 \times 3^2 \times 5^2\).
\(330 = 2 \times 165 = 2 \times 3 \times 55\), donc \(330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11\). - Pour éviter toute découpe, le côté d’une dalle doit diviser à la fois 450 et 330. Ainsi, le plus grand diviseur commun s’obtient en multipliant les facteurs communs : \(2 \times 3 \times 5 = 30\).
La plus grande dalle possible mesure 30 cm de côté. - D’abord, \(450 \div 30 = 15\) dalles dans la longueur et \(330 \div 30 = 11\) dalles dans la largeur.
\(15 \times 11 = 165\).
Il faut 165 dalles. - \(165 \div 12 = 13{,}75\) : 13 cartons ne suffisent pas (\(13 \times 12 = 156\) dalles), il faut donc 14 cartons.
\(14 \times 18 = 252\).
Malik dépensera 252 € (il lui restera \(168 – 165 = 3\) dalles).
Piège classique : acheter 13,75 cartons n’a pas de sens. On arrondit toujours à l’entier supérieur quand il faut couvrir toute la surface.
Exercice 4 – Deux bus à l’arrêt Gare (4 points)
- On ajoute 12 minutes à chaque fois pour le bus A et 18 minutes pour le bus B.
Bus A : 7 h 00 ; 7 h 12 ; 7 h 24 ; 7 h 36 ; 7 h 48 ; 8 h 00.
Bus B : 7 h 00 ; 7 h 18 ; 7 h 36 ; 7 h 54. - \(12 = 2^2 \times 3\) et \(18 = 2 \times 3^2\).
Un multiple commun de 12 et de 18 doit contenir au moins \(2^2\) (à cause de 12). Il doit aussi contenir \(3^2\) (à cause de 18). Le plus petit est donc \(2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\).
Le plus petit multiple commun non nul de 12 et 18 est 36. Vérification : \(36 = 12 \times 3 = 18 \times 2\). - Les deux bus se retrouvent toutes les 36 minutes : \(7\text{ h }00 + 36\text{ min}\). Ils repasseront ensemble à 7 h 36, ce que confirme la frise.
- De 7 h 00 à 12 h 00, il s’écoule 5 h, soit \(5 \times 60 = 300\) minutes.
\(300 = 36 \times 8 + 12\) : il y a donc 8 rendez-vous après celui de 7 h 00. Le dernier a lieu \(8 \times 36 = 288\) minutes après 7 h 00.
288 min = 4 h 48 min, et 7 h 00 + 4 h 48 = 11 h 48.
Les bus passent ensemble 9 fois (7 h 00 compris), la dernière fois à 11 h 48.
Piège classique : ici on cherche un multiple commun, pas un diviseur commun. Répondre « 6 minutes » (plus grand diviseur commun de 12 et 18) n’a pas de sens : les bus ne passent pas toutes les 6 minutes.
Exercice 5 – Les bouquets du fleuriste (3 points)
- D’abord, le nombre de bouquets doit diviser 126, 90 et 54.
\(126 = 2 \times 3^2 \times 7\)
\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
\(54 = 2 \times 3^3\)
Les facteurs communs aux trois décompositions sont \(2 \times 3^2 = 18\).
\(126 \div 18 = 7\) ; \(90 \div 18 = 5\) ; \(54 \div 18 = 3\).
Nadège peut composer au maximum 18 bouquets, chacun formé de 7 roses, 5 tulipes et 3 iris. - \(7 \times 0{,}80 + 5 \times 0{,}60 + 3 \times 1 = 5{,}60 + 3 + 3 = 11{,}60\).
Les fleurs d’un bouquet coûtent 11,60 €. - Bénéfice par bouquet : \(15 – 11{,}60 = 3{,}40\) €.
Pour 18 bouquets : \(18 \times 3{,}40 = 61{,}20\) €.
Vérification : la recette vaut \(18 \times 15 = 270\) €. Ensuite, le coût total est \(126 \times 0{,}80 + 90 \times 0{,}60 + 54 \times 1 = 100{,}80 + 54 + 54 = 208{,}80\) €. Enfin, \(270 – 208{,}80 = 61{,}20\) €.
Nadège réalise un bénéfice de 61,20 €.
À retenir de ce contrôle
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même ; 1 n’est donc pas premier et 2 est le seul nombre premier pair.
- Pour faire le plus grand nombre de lots identiques, on cherche le plus grand diviseur commun, en multipliant les facteurs premiers communs aux décompositions.
- Pour trouver quand deux événements réguliers se reproduisent ensemble, on cherche le plus petit multiple commun de leurs périodes.
- Un seul contre-exemple suffit pour prouver qu’une affirmation est fausse, mais des exemples ne suffisent jamais pour prouver qu’elle est vraie.
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