Calculer une hauteur par trigonométrie : contrôle de maths en 3ème
Voici un contrôle de maths en 3ème sur le thème « calculer une hauteur par trigonométrie », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet met la trigonométrie au service de situations réelles, comme au brevet. Après deux triangles d’échauffement, tu devras mesurer sans l’escalader la hauteur d’un phare grâce à un angle d’élévation, puis vérifier si une rampe d’accès respecte la norme de pente pour les fauteuils roulants.
Viennent ensuite une échelle posée contre un mur et un avion qui décolle au-dessus d’une colline : il faudra enchaîner le théorème de Pythagore et le cosinus, le sinus ou la tangente, puis arrondir avec bon sens. Ce contrôle se place en fin de chapitre, une fois les trois rapports trigonométriques bien connus.
Ce qu’évalue le contrôle : calculer une hauteur par trigonométrie
L’essentiel du sujet
- Niveau3ème
- Durée55 minutes
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Trigonométrie (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Choisir entre cosinus, sinus et tangente selon les côtés connus et le côté cherché dans un triangle rectangle
- Calculer une hauteur inaccessible à partir d’un angle d’élévation et d’une distance au sol
- Calculer un angle au degré ou au dixième de degré avec les touches arccos, arcsin ou arctan
- Enchaîner le théorème de Pythagore et la trigonométrie dans un même problème
- Arrondir un résultat de façon adaptée à la situation et conclure par une phrase
Avant de commencer le devoir
Pour chaque problème, repère le triangle rectangle et repasse-le en couleur sur la figure. Écris à côté l’angle connu, puis nomme hypoténuse, côté adjacent et côté opposé : le choix de la formule en découle. Vérifie que ta calculatrice est en mode degrés. Garde les valeurs exactes ou la mémoire de la calculatrice pendant les calculs et n’arrondis qu’à la fin, sinon les erreurs s’additionnent d’une question à l’autre.
Le sujet du contrôle : calculer une hauteur par trigonométrie
Exercice 1 – Deux triangles pour s’échauffer (4 points)
Le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\), avec \(KL = 7\) cm et \(\widehat{LKM} = 38^\circ\).
- D’abord, calcule la longueur \(LM\), arrondie au dixième de centimètre.
- Ensuite, calcule la longueur \(KM\), arrondie au dixième de centimètre.
Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\), avec \(RS = 4{,}5\) cm et \(ST = 6\) cm.
- Puis calcule la longueur \(RT\).
- Enfin, calcule la mesure de l’angle \(\widehat{SRT}\), arrondie au degré.
Exercice 2 – La hauteur du phare (4 points)
Inès se tient debout à 45 m du pied d’un phare, sur un sol horizontal. Ses yeux, au point \(O\), sont à 1,6 m du sol. Ensuite, elle vise le sommet \(S\) du phare et mesure un angle de \(32^\circ\) au-dessus de l’horizontale. Le point \(H\) du phare est à la hauteur de ses yeux, et le triangle \(OHS\) est rectangle en \(H\).
La figure n’est pas à l’échelle.
- D’abord, dans le triangle \(OHS\), cherche quel rapport trigonométrique de l’angle \(\widehat{HOS}\) relie les longueurs \(OH\) et \(HS\), puis écris l’égalité.
- Ensuite, calcule \(HS\), arrondie au dixième de mètre.
- Déduis-en donc la hauteur du phare.
- Enfin, calcule la distance \(OS\) entre les yeux d’Inès et le sommet du phare, arrondie au dixième de mètre.
Exercice 3 – Une rampe pour fauteuil roulant (4 points)
Pour rendre la bibliothèque accessible, la commune installe une rampe \([AC]\) de 4,5 m de long qui monte jusqu’au seuil de la porte, situé 0,30 m au-dessus du trottoir. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).
La figure n’est pas à l’échelle : la pente est exagérée.
La pente d’une rampe est le quotient de la hauteur gagnée par la longueur horizontale parcourue, exprimé en pourcentage : ici \(\frac{BC}{AB}\). La réglementation impose une pente d’au plus \(5\,\%\).
- D’abord, calcule l’angle \(\widehat{BAC}\) que fait la rampe avec le sol, arrondi au dixième de degré.
- Ensuite, calcule la longueur horizontale \(AB\), arrondie au centimètre.
- Puis calcule la pente de cette rampe, arrondie au dixième de pour cent.
- La rampe est-elle conforme ? Sinon, quelle longueur horizontale minimale faudrait-il pour monter les 0,30 m avec une pente de \(5\,\%\) ?
Exercice 4 – L’échelle du couvreur (3,5 points)
Samir, couvreur, appuie une échelle de 6 m contre un mur vertical. Le pied \(M\) de l’échelle est posé sur le sol horizontal à 1,8 m du pied \(P\) du mur, et le haut \(E\) de l’échelle touche le mur. Pour être stable, une échelle doit faire avec le sol un angle compris entre \(65^\circ\) et \(75^\circ\).
- Fais d’abord un schéma codé de la situation, puis calcule l’angle \(\widehat{PME}\), arrondi au degré. L’échelle est-elle placée en sécurité ?
- Ensuite, à quelle hauteur le haut de l’échelle touche-t-il le mur ? Arrondis au centimètre.
- Samir veut atteindre le point le plus haut possible tout en respectant la consigne. Il incline donc l’échelle de \(75^\circ\). À quelle distance du mur doit-il placer le pied, et à quelle hauteur arrive alors le haut de l’échelle ? Arrondis au centimètre.
Exercice 5 – Le décollage au-dessus de la colline (4,5 points)
Un avion quitte la piste au point \(D\) et monte en ligne droite en faisant un angle de \(12^\circ\) avec le sol horizontal. À 2 000 m de \(D\), mesurés horizontalement, se dresse une colline dont le sommet est à 150 m au-dessus du niveau de la piste. Lorsque l’avion passe à la verticale du sommet, il est au point \(A\), et \(P\) est le point du sol situé sous \(A\).
La figure n’est pas à l’échelle.
- D’abord, calcule l’altitude \(PA\) de l’avion au-dessus de la colline, arrondie au mètre.
- Par sécurité, l’avion doit survoler le sommet de la colline avec une marge d’au moins 250 m. Cette règle est-elle donc respectée ?
- Ensuite, calcule la distance \(DA\) parcourue en vol depuis le point \(D\), arrondie au mètre.
- Enfin, l’avion garde le même angle de montée. À quelle distance horizontale de \(D\) atteindra-t-il 1 000 m d’altitude ? Arrondis à la centaine de mètres.
Réviser calculer une hauteur par trigonométrie avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon trigonométrie dans le triangle rectangle ; entraîne-toi sur la fiche trigonométrie avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en 3ème regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
Sujets proches à faire ensuite
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