Calculer une hauteur par trigonométrie : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « calculer une hauteur par trigonométrie », question par question.
Chaque réponse de ce corrigé suit la même démarche : on nomme le triangle rectangle utilisé, on écrit le rapport trigonométrique choisi en disant pourquoi, puis on isole l’inconnue avant de taper le calcul. Ce chemin est celui qu’un correcteur de brevet attend sur une copie.
Les résultats sont donnés avec l’arrondi demandé et une phrase de conclusion. Pour l’échelle, un schéma codé montre comment traduire le texte en figure. Le barème précise les points de méthode, et les pièges signalent les confusions les plus fréquentes, comme la calculatrice restée en radians. Reprends d’abord les exercices où tu as perdu des points de méthode.
L’énoncé complet se trouve ici : Calculer une hauteur par trigonométrie : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : calculer une hauteur par trigonométrie
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Deux triangles pour s’échauffer | 4 points |
| 2. La hauteur du phare | 4 points |
| 3. Une rampe pour fauteuil roulant | 4 points |
| 4. L’échelle du couvreur | 3,5 points |
| 5. Le décollage au-dessus de la colline | 4,5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : calculer une hauteur par trigonométrie
Exercice 1 – Deux triangles pour s’échauffer (4 points)
- Dans le triangle \(KLM\) rectangle en \(L\), pour l’angle \(\widehat{LKM}\), \([KL]\) est le côté adjacent et \([LM]\) le côté opposé. On utilise la tangente :
\(\tan(\widehat{LKM}) = \frac{LM}{KL}\), donc \(LM = 7 \times \tan(38^\circ)\).
\(LM \approx 5{,}5\) cm. - \([KM]\) est l’hypoténuse. On utilise le cosinus :
\(\cos(\widehat{LKM}) = \frac{KL}{KM}\), donc \(KM = \frac{7}{\cos(38^\circ)}\).
\(KM \approx 8{,}9\) cm. - Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\). D’après le théorème de Pythagore :
\(RT^2 = RS^2 + ST^2 = 4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25\)
\(RT = \sqrt{56{,}25}\)
\(RT = 7{,}5\) cm. - Pour l’angle \(\widehat{SRT}\), \([RS]\) est le côté adjacent et \([ST]\) le côté opposé :
\(\tan(\widehat{SRT}) = \frac{ST}{RS} = \frac{6}{4{,}5}\)
Avec la touche arctan : \(\widehat{SRT} \approx 53{,}13^\circ\).
\(\widehat{SRT} \approx 53^\circ\).
Exercice 2 – La hauteur du phare (4 points)
- Dans le triangle \(OHS\) rectangle en \(H\), pour l’angle \(\widehat{HOS}\), \([OH]\) est le côté adjacent et \([HS]\) le côté opposé. On utilise la tangente : \(\tan(\widehat{HOS}) = \frac{HS}{OH}\).
- \(\tan(32^\circ) = \frac{HS}{45}\), donc \(HS = 45 \times \tan(32^\circ) \approx 28{,}119\).
\(HS \approx 28{,}1\) m. - Le point \(H\) est à 1,6 m du sol, comme les yeux d’Inès. La hauteur du phare est donc \(HS + 1{,}6 \approx 28{,}119 + 1{,}6 \approx 29{,}7\).
Le phare mesure environ 29,7 m de haut. - \([OS]\) est l’hypoténuse : \(\cos(32^\circ) = \frac{45}{OS}\), donc \(OS = \frac{45}{\cos(32^\circ)}\).
\(OS \approx 53{,}1\) m.
Piège classique : oublier d’ajouter les 1,6 m de la hauteur des yeux. Le calcul trigonométrique donne seulement la partie du phare située au-dessus de l’horizontale d’Inès.
Exercice 3 – Une rampe pour fauteuil roulant (4 points)
- Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\), \([AC]\) est l’hypoténuse et \([BC]\) le côté opposé à l’angle \(\widehat{BAC}\). On utilise le sinus :
\(\sin(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AC} = \frac{0{,}3}{4{,}5}\)
Avec la touche arcsin : \(\widehat{BAC} \approx 3{,}82^\circ\).
\(\widehat{BAC} \approx 3{,}8^\circ\). - D’après le théorème de Pythagore dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\) :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\), donc \(AB^2 = 4{,}5^2 – 0{,}3^2 = 20{,}25 – 0{,}09 = 20{,}16\).
\(AB = \sqrt{20{,}16} \approx 4{,}48999\)
\(AB \approx 4{,}49\) m. - \(\frac{BC}{AB} \approx \frac{0{,}3}{4{,}48999} \approx 0{,}0668\)
La pente vaut environ \(6{,}7\,\%\).
Remarque : c’est aussi \(\tan(\widehat{BAC})\), puisque la tangente est le quotient du côté opposé par le côté adjacent. - \(6{,}7\,\% > 5\,\%\) : la rampe n’est pas conforme.
Avec une pente de \(5\,\%\), il faut \(\frac{0{,}30}{\text{longueur horizontale}} = 0{,}05\), donc longueur horizontale \(= \frac{0{,}30}{0{,}05} = 6\).
Il faudrait une longueur horizontale d’au moins 6 m.
Piège classique : calculer la pente avec la longueur de la rampe \(AC\) au lieu de la longueur horizontale \(AB\). Ici l’écart est faible, mais la définition demande bien \(\frac{BC}{AB}\).
Exercice 4 – L’échelle du couvreur (3,5 points)
- Le mur est vertical et le sol horizontal : le triangle \(PME\) est rectangle en \(P\), avec \(PM = 1{,}8\) m et \(ME = 6\) m (hypoténuse).
Pour l’angle \(\widehat{PME}\), \([PM]\) est le côté adjacent :
\(\cos(\widehat{PME}) = \frac{PM}{ME} = \frac{1{,}8}{6} = 0{,}3\)
Avec la touche arccos : \(\widehat{PME} \approx 72{,}5^\circ\), soit environ \(73^\circ\).
L’angle est compris entre \(65^\circ\) et \(75^\circ\) : l’échelle est placée en sécurité. - D’après le théorème de Pythagore dans le triangle \(PME\) rectangle en \(P\) :
\(PE^2 = ME^2 – PM^2 = 36 – 3{,}24 = 32{,}76\)
\(PE = \sqrt{32{,}76} \approx 5{,}7236\)
Le haut de l’échelle touche le mur à environ 5,72 m de hauteur. - Avec \(\widehat{PME} = 75^\circ\) et \(ME = 6\) m :
\(\cos(75^\circ) = \frac{PM}{6}\), donc \(PM = 6 \times \cos(75^\circ) \approx 1{,}55\).
\(\sin(75^\circ) = \frac{PE}{6}\), donc \(PE = 6 \times \sin(75^\circ) \approx 5{,}80\).
Samir doit placer le pied à environ 1,55 m du mur ; l’échelle atteint alors environ 5,80 m.
Exercice 5 – Le décollage au-dessus de la colline (4,5 points)
- Le triangle \(DPA\) est rectangle en \(P\), avec \(DP = 2\,000\) m. Pour l’angle \(\widehat{PDA} = 12^\circ\), \([DP]\) est le côté adjacent et \([PA]\) le côté opposé :
\(\tan(12^\circ) = \frac{PA}{2\,000}\), donc \(PA = 2\,000 \times \tan(12^\circ) \approx 425{,}1\).
L’avion est à environ 425 m d’altitude. - Hauteur de l’avion au-dessus du sommet : \(425 – 150 = 275\).
\(275 \geq 250\) : la marge de 275 m respecte la règle de sécurité. - \([DA]\) est l’hypoténuse : \(\cos(12^\circ) = \frac{2\,000}{DA}\), donc \(DA = \frac{2\,000}{\cos(12^\circ)} \approx 2\,044{,}7\).
L’avion a parcouru environ 2 045 m en vol. - On cherche la distance horizontale \(d\) telle que \(\tan(12^\circ) = \frac{1\,000}{d}\), donc \(d = \frac{1\,000}{\tan(12^\circ)} \approx 4\,704{,}6\).
L’avion atteindra 1 000 m d’altitude à environ 4 700 m de \(D\), mesurés horizontalement.
Piège classique : écrire \(d = 1\,000 \times \tan(12^\circ)\). Quand l’inconnue est au dénominateur, on divise : \(d = \frac{1\,000}{\tan(12^\circ)}\). Un contrôle de bon sens aide : l’avion monte lentement, la distance horizontale doit donc être bien plus grande que 1 000 m.
À retenir de ce contrôle
- Dans un triangle rectangle, cosinus = adjacent sur hypoténuse, sinus = opposé sur hypoténuse, tangente = opposé sur adjacent.
- Pour une hauteur inaccessible, la tangente de l’angle d’élévation relie la hauteur cherchée et la distance horizontale connue.
- Quand l’observateur a les yeux au-dessus du sol, on ajoute la hauteur de ses yeux au résultat du calcul trigonométrique.
- La pente d’une rampe est le rapport entre la hauteur gagnée et la distance horizontale : c’est la tangente de l’angle avec le sol.
- On garde les valeurs non arrondies pendant tout le calcul et on n’arrondit qu’au résultat final, avec son unité.
Revenir à l’énoncé du contrôle
Consolider calculer une hauteur par trigonométrie après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon trigonométrie dans le triangle rectangle ; entraîne-toi sur la fiche trigonométrie.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en 3ème.
Autres corrigés sur le même thème
Télécharger ou imprimer cette fiche «calculer une hauteur par trigonométrie : corrigé du contrôle de maths en 3ème» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
