Interpréter la courbe d’une fonction : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « interpréter la courbe d’une fonction », question par question.
Cette correction montre, pour chaque question, depuis quel axe partir et comment conclure par une phrase liée à la situation. Deux graphiques corrigés font apparaître les traits de lecture : la température de 6 °C, la période au-dessus de 10 °C et les points d’intersection de deux courbes.
Les calculs d’images avec une formule sont détaillés ligne par ligne, en respectant les priorités opératoires, puis comparés au graphique. Pour le tableur, tu trouveras la formule attendue et la comparaison des deux tarifs par une inégalité. Le barème détaillé indique ce que rapporte chaque étape, et les pièges classiques signalent les confusions les plus fréquentes au brevet.
L’énoncé complet se trouve ici : Interpréter la courbe d’une fonction : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : interpréter la courbe d’une fonction
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. La température d’une journée d’avril | 4 points |
| 2. Le dégagement du gardien | 5 points |
| 3. Formules, tableau et courbes | 4 points |
| 4. Deux tarifs de location au tableur | 3 points |
| 5. La sortie à vélo de Nadia | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : interpréter la courbe d’une fonction
Exercice 1 – La température d’une journée d’avril (4 points)
- On part de 3 sur l’axe des abscisses, puis on monte jusqu’à la courbe. On lit alors l’ordonnée : il faisait 2 °C à 3 h. De même, il faisait 10 °C à 18 h.
- D’abord, le point le plus bas de la courbe a pour coordonnées \((6 \,;\, 1)\) : la température la plus basse, 1 °C, a été relevée à 6 h.
Ensuite, le point le plus haut a pour coordonnées \((15 \,;\, 14)\) : la température la plus haute, 14 °C, a été relevée à 15 h. - On trace la droite horizontale d’ordonnée 6. Elle coupe la courbe en deux points, d’abscisses 9 et 21.
Les solutions de \(T(x) = 6\) sont 9 et 21 : il faisait 6 °C à 9 h et à 21 h. - La courbe est au-dessus de la droite d’ordonnée 10 entre les abscisses 11 et 18, donc on calcule la différence.
\(18 – 11 = 7\)
La température a été supérieure ou égale à 10 °C pendant 7 heures.
Piège classique : confondre image et antécédent. Pour \(T(x) = 6\), on part de 6 sur l’axe vertical et on cherche les heures sur l’axe horizontal, pas l’inverse.
Exercice 2 – Le dégagement du gardien (5 points)
- D’abord, le point de la courbe d’abscisse 1 a pour ordonnée 15 : au bout d’une seconde, le ballon est à 15 m de hauteur.
Ensuite, le sommet de la courbe a pour coordonnées \((2 \,;\, 20)\) : la hauteur maximale est de 20 m, atteinte au bout de 2 secondes. - La droite horizontale d’ordonnée 15 coupe la courbe aux points d’abscisses 1 et 3, donc le ballon est à 15 m de hauteur au bout de 1 s et au bout de 3 s (une fois en montant, une fois en descendant).
- Enfin, la courbe coupe à nouveau l’axe des abscisses en 4, donc le ballon retombe au sol au bout de 4 secondes.
- \(h(0{,}5) = -5 \times 0{,}5^2 + 20 \times 0{,}5\)
\(h(0{,}5) = -5 \times 0{,}25 + 10\)
\(h(0{,}5) = -1{,}25 + 10\)
\(h(0{,}5) = 8{,}75\)
\(h(3) = -5 \times 3^2 + 20 \times 3\)
\(h(3) = -45 + 60\)
\(h(3) = 15\)
Sur le graphique, le point d’abscisse 0,5 a une ordonnée comprise entre 8 et 10, proche de 8,75. De plus, le point d’abscisse 3 a pour ordonnée 15, comme trouvé à la question b. Les résultats sont cohérents avec le graphique.
Piège classique : calculer \(-5 \times 0{,}5^2\) comme \((-5 \times 0{,}5)^2 = 6{,}25\). La puissance est prioritaire : on calcule d’abord \(0{,}5^2 = 0{,}25\).
Exercice 3 – Formules, tableau et courbes (4 points)
- D’abord, \(f\) et \(h\) sont des fonctions affines : leurs courbes sont des droites. En revanche, \(g\) n’est pas affine, car elle contient \(x^2\) : \(g\) est représentée par \(\mathcal{C}_1\), la seule courbe qui n’est pas une droite.
\(f(2) = 2 \times 2 – 1 = 3\) : la droite \(\mathcal{C}_3\) passe par le point \((2 \,;\, 3)\), donc \(f\) est représentée par \(\mathcal{C}_3\).
\(h(2) = -2 + 2 = 0\) : la droite \(\mathcal{C}_2\) passe par le point \((2 \,;\, 0)\), donc \(h\) est représentée par \(\mathcal{C}_2\). - \(h(-1) = 1 + 2 = 3\), \(h(0) = 2\), \(h(1) = 1\) et \(h(2) = 0\) : toutes les valeurs du tableau sont vérifiées. En effet, \(f(0) = -1\) et \(g(0) = -1\), qui sont différents de 2. Le tableau est celui de la fonction \(h\).
- Les solutions de \(f(x) = g(x)\) sont les abscisses des points d’intersection de \(\mathcal{C}_3\) et \(\mathcal{C}_1\). Ces points sont \((0 \,;\, -1)\) et \((2 \,;\, 3)\).
Vérification : \(f(0) = -1\) et \(g(0) = 0^2 – 1 = -1\) ; \(f(2) = 3\) et \(g(2) = 2^2 – 1 = 3\).
Les solutions de l’équation \(f(x) = g(x)\) sont 0 et 2.
Piège classique : donner les points d’intersection au lieu de leurs abscisses. Les solutions d’une équation sont des valeurs de \(x\) : ici 0 et 2, et non \(-1\) et 3.
Exercice 4 – Deux tarifs de location au tableur (3 points)
- Le tarif B coûte 1,50 € par heure, auquel on ajoute 6 € de forfait. La durée est dans la cellule B1. La formule saisie en B3 est =1,5*B1+6 (ou =6+1,5*B1).
- Par exemple, pour 4 heures : tarif A, \(2{,}5 \times 4 = 10\) ; tarif B, \(1{,}5 \times 4 + 6 = 12\).
Ensuite, pour 6 heures : tarif A, \(2{,}5 \times 6 = 15\) ; tarif B, \(1{,}5 \times 6 + 6 = 15\).
E2 contient 10, E3 contient 12, G2 contient 15 et G3 contient 15. - Pour une durée de \(x\) heures, le tarif A coûte \(2{,}5x\) euros et le tarif B coûte \(1{,}5x + 6\) euros. Le tarif B est donc plus avantageux quand \(1{,}5x + 6 < 2{,}5x\). Cela revient à \(6 < 2{,}5x – 1{,}5x\), soit \(6 < x\).
Pour 6 heures, les deux tarifs coûtent 15 €. Au-delà, le tableur le confirme (16,50 € contre 17,50 € pour 7 heures).
Le tarif B est plus avantageux pour une location de plus de 6 heures.
Exercice 5 – La sortie à vélo de Nadia (4 points)
- Le point d’abscisse 1 a pour ordonnée 18 : au bout d’une heure, Nadia a parcouru 18 km. Ensuite, le dernier point du graphique a pour ordonnée 45 : la randonnée mesure 45 km.
- Entre 1 h et 1 h 30, la distance reste égale à 18 km, donc Nadia fait une pause d’une demi-heure.
- Puis, le point de la courbe d’ordonnée 36 a pour abscisse 2,5 : Nadia a parcouru 36 km au bout de 2 h 30 min.
9 h 00 + 2 h 30 min = 11 h 30.
Nadia a parcouru 36 km à 11 h 30. - Première heure : \(v = \dfrac{18\text{ km}}{1\text{ h}}\), soit 18 km/h.
Ensuite, sur l’ensemble de la randonnée : \(v = \dfrac{45\text{ km}}{3\text{ h}}\), soit 15 km/h.
Le graphique n’est pas une droite passant par l’origine, car il y a un palier pendant la pause. Ainsi, la distance n’est pas proportionnelle à la durée. Les deux vitesses moyennes différentes le confirment.
Piège classique : répondre « 2,5 h » ou « 11 h 50 » à la question c. La lecture donne une durée écoulée, qu’il faut convertir (0,5 h = 30 min) puis ajouter à l’heure de départ.
À retenir de ce contrôle
- Pour lire l’image d’un nombre, on part de ce nombre sur l’axe des abscisses et on lit l’ordonnée du point de la courbe.
- Résoudre graphiquement f(x) = k, c’est chercher les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée vaut k.
- Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes, et non leurs ordonnées.
- Une formule de tableur commence par le signe égal et fait référence à une cellule, pour pouvoir être étirée.
- Une situation est proportionnelle seulement si sa représentation graphique est une droite passant par l’origine du repère.
Revenir à l’énoncé du contrôle
Consolider interpréter la courbe d’une fonction après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon fonctions et généralités ; entraîne-toi sur la fiche généralités sur les fonctions.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en 3ème.
Autres corrigés sur le même thème
Télécharger ou imprimer cette fiche «interpréter la courbe d'une fonction : corrigé du contrôle de maths en 3ème» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
