Homothéties : exercices de maths en 3ème corrigés à télécharger en PDF

Complète en cochant la bonne case.

Par quelle homothétie passe-t-on…

a. de la figure \(\mathcal{F}_1\) à la figure \(\mathcal{F}_2\) ? ……

b. de la figure \(\mathcal{F}_2\) à la figure \(\mathcal{F}_1\) ? ……

On considère les figures suivantes.

Précise la transformation qui transforme…

a. la figure \(\mathcal{B}_1\) en la figure \(\mathcal{B}_4\) ? ……

b. la figure \(\mathcal{B}_1\) en la figure \(\mathcal{B}_2\) ? ……

c. la figure \(\mathcal{B}_1\) en la figure \(\mathcal{B}_5\) ? ……

d. la figure \(\mathcal{B}_2\) en la figure \(\mathcal{B}_3\) ? ……

On considère les figures suivantes.

• Dans chaque cas, précise le rapport de l’homothétie de centre O qui transforme M en M’.

• Pour chaque homothétie, précise s’il s’agit d’un agrandissement ou d’une réduction.

Dans chaque cas, construis le point M’, image de M par l’homothétie de centre O et de rapport \(k\).

1. \(k = \dfrac{5}{7}\)
   

   

2. \(k = \dfrac{10}{7}\)
   

   

3. \(k = 2\)
   

   

4. \(k = -1\)
   

   

5. \(k = -\dfrac{3}{5}\)
   

   

6. \(k = -\dfrac{7}{5}\)
   

   

Images d’un triangle

a. Construis en bleu l’image du triangle gris par l’homothétie de centre O et de rapport 2 ;

b. Construis en rouge l’image du triangle gris par l’homothétie de centre O et de rapport \(\dfrac{1}{2}\).

Construis l’image du cercle de centre A par l’homothétie de centre O et de rapport…

a. \(-\dfrac{1}{4}\) b. \(-\dfrac{1}{2}\) c. \(-\dfrac{3}{4}\)

Soit \(k\) un nombre entier variant de 2 à 8.

Pour tout \(k\), construis l’image du triangle gris par l’homothétie de centre O et de rapport \(k\). Colorie.

Construis les images de la figure grise…

• par l’homothétie de centre O et de rapport \(-1\),
• par l’homothétie de centre O’ et de rapport \(-1{,}5\).

Le quadrilatère BELO est l’image du quadrilatère RAMI, par une homothétie de rapport \(\dfrac{2}{3}\).

a. Complète le tableau suivant.

Tu justifieras ensuite chaque réponse.

b. Quelle est la longueur du segment [LE] ? ……

c. Quelle autre longueur peux-tu déterminer ? ……

Complète les phrases suivantes.

a. On passe du petit poussin au grand poussin par une homothétie de rapport ……

b. Dans cette homothétie, les longueurs du poussin image sont multipliées par ……

c. Dans cette homothétie, l’aire du poussin image est multipliée par ……

Voici les images des points d’une figure, par une homothétie de rapport 5.

Tu justifieras chaque réponse.

a. Quel est le centre de cette homothétie ? ……

b. Sachant que EC = 3 cm, que vaut EI ? ……

c. Sachant que PR = 5,4 cm, que vaut SA ? ……

d. On sait que \(\widehat{RCH} = 50^{\circ}\). Déduis-en la mesure d’un autre angle. ……

Les droites (CN) et (DA) sont sécantes en M.

Le triangle DCM est un agrandissement du triangle ANM.

Décrire cette figure en employant les mots homothétie et centre.

Le triangle BGI est l'image du triangle BEF par l'homothétie de centre B et de rapport 1,5.

Donner les longueurs de trois côtés du triangle BGI.

Le triangle LJ'K' est l'image du triangle LJK par l'homothétie de centre L et de rapport \(-0{,}4\).

Donner les longueurs des trois côtés du triangle LJ'K'.

Dans chaque cas, le triangle AMN est l'image du triangle ABC par une homothétie de centre A. Donner son rapport.

a.

b.

Les droites (AD) et (BC) sont sécantes en O. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

a. Quels sont le centre et le rapport de l'homothétie qui transforme OAB en OCD ?

b. En déduire les longueurs OB et OD.

Le triangle AB'C' est l'image du triangle ABC par une homothétie de centre A et de rapport \(k\). Calculer mentalement la longueur AB' qui correspond à la longueur AB.

a. \(k = 4\) ; \(\quad AB = 3{,}6\ \text{cm}\)

b. \(k = 0{,}8\) ; \(\quad AB = 9\ \text{cm}\)

c. \(k = -6\) ; \(\quad AB = 2{,}5\ \text{cm}\)

d. \(k = -0{,}7\) ; \(\quad AB = 0{,}6\ \text{cm}\)

Les points O, P et U sont alignés ainsi que les points O, Q et V. Les droites (QP) et (VU) sont parallèles.

Calculer mentalement OU et QP.

Dans chaque cas, on passe du triangle OBE au triangle ABC par une homothétie. Donner le centre et le rapport de l'homothétie, puis calculer les longueurs OE et BE.

a.

b.

a. Construire un cercle 𝒞 de centre O et de rayon 2 cm.

b. Par une homothétie, l'image d'un cercle est un cercle. Construire l'image du cercle 𝒞 par l'homothétie de centre O et de :

• rapport 1,5
• rapport 0,75
• rapport \(-2\).

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par une homothétie.

1) Déterminer le centre de l'homothétie.

2) Déterminer la mesure de l'angle \(\widehat{A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}}\). (On donnera l'arrondi à l'unité).

3) Calculer la distance A'C'.

4) Calculer l'aire du triangle ABC et l'aire du triangle A'B'C'. Comment passe-t-on de l'aire du triangle ABC à l'aire du triangle A'B'C' ? Justifier.

On dispose, sur le sol, une Tour Eiffel miniature non loin de la véritable Tour Eiffel. On obtient ainsi la figure ci-dessus.

Déterminer la hauteur de la Tour Eiffel miniature ? Justifier. (On donnera l'arrondi au centimètre près).

\(\text{Aire}_{ABCDEFGH} = 10\ \text{cm}^2\) ; \(\text{Aire}_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime}} = 4{,}9\ \text{cm}^2\)

On considère l'homothétie de centre O qui transforme la figure ABFD en A'B'F'D'.

1. Calculer la longueur BD.

2. Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{FBD}\).

3. Calculer la valeur du rapport \(k\).

4. Calculer l'aire de la figure A'B'F'D'.

\(A_1 = 5\ \text{cm}^2\) ; \(A_2 = 2{,}1125\ \text{cm}^2\)

Calculer la valeur du rapport de l'homothétie qui transforme le carré 1 en 2.

La mini-tour de Pise

En vacances en Italie, Florence réalise la maquette puzzle Legler de la tour de Pise offerte par ses grands-parents avant son départ. Elle la pose à 2 mètres d'elle dans un parc, non loin de la vraie tour de Pise.

À quelle distance de la vraie tour de Pise se trouve la maquette de Florence ? On arrondira au centimètre.

DOC 1 : La tour de Pise

La tour de Pise est une tour de pierre qui se situe dans la région de Toscane en Italie. En raison de différents problèmes de construction, il a fallu environ 177 ans aux architectes pour la terminer. Elle a été inaugurée le 9 août 1373. Construite dans le style roman, sa masse estimée est de 14 500 tonnes.

DOC 2 : Le puzzle Legler de 272 pièces

Dimensions : \(10 \times 10 \times 26\) cm.

DOC 3 : Florence à Pise

AB = 2 m.

1. Calculer la valeur de BC (arrondir au centième).

2. Calculer la valeur de l'angle \(\widehat{B^{\prime}C^{\prime}A^{\prime}}\).

3. Calculer la valeur du rapport \(k\) de l'homothétie de centre O.

4. Calculer l'aire du triangle A'B'C'.

5. Que peut-on dire des droites (BC) et (B'C') ? Justifier.

1. Calculer AB.

2. Calculer le rapport de l'homothétie.

3. Calculer la valeur de \(\widehat{ACB}\).

4. Calculer l'aire totale de la figure initiale et l'aire totale de la figure image.

Construire l'image du pentagone ABCDE par l'homothétie de centre O et de rapport :

1. \(k = 2{,}3\)

2. \(k = -1{,}6\)

Avec un logiciel de géométrie dynamique, on a construit la figure A.

En appliquant à la figure A des homothéties de centre O et de rapports différents, on a ensuite obtenu les autres figures.

1. Quel est le rapport de l'homothétie de centre O qui permet d'obtenir la figure C à partir de la figure A ?

Aucune justification n'est attendue.

2. On applique l'homothétie de centre O et de rapport \(\dfrac{3}{5}\) à la figure E. Quelle figure obtient-on ?

Aucune justification n'est attendue.

3. Quelle figure a une aire quatre fois plus grande que celle de la figure A ?

a) Construire un rectangle ABCD dont les dimensions sont AB = 3 cm et BC = 6 cm. Placer un point O à l'extérieur du rectangle. Construire l'image A'B'C'D' du rectangle ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport \(\dfrac{2}{3}\). Faire apparaître les traits de constructions en pointillés.

b) Quelle est la nature du quadrilatère A'B'C'D' ? Justifier

c) Calculer l'aire du rectangle ABCD.

d) Déterminer l'aire du quadrilatère A'B'C'D' en justifiant les calculs.

a) Construire un carré ABCD de côté 3 cm. Placer un point O à l'extérieur du carré. Construire l'image A'B'C'D' du carré ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport \(-\dfrac{1}{2}\).

b) Quelle est la nature du quadrilatère A'B'C'D' ? Justifier

c) Calculer l'aire du carré ABCD.

d) Déterminer l'aire du quadrilatère A'B'C'D' en justifiant les calculs.