Fonctions linéaires et affines : cours de maths en 3ème à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

📚Cours de Mathématiques3ème • collège

Fonctions linéaires et affines

⏱️Temps de lecture : 8 min

🎯Difficulté : Confirmé

📚Cycle 4

📋Prérequis : Programme 4ème maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Les fonctions linéaires et affines à travers un cours de maths en 3ème afin d’assimiler les définitions et les propriétés de ce chapitre. L’élève devra connaître l’écriture d’une fonction linéaire (f(x)=ax) et d’une fonction affine (f(x)=ax+b) où le nombre a est appelé le coefficient directeur et b est appelé l’ordonnée à l’origine. Calculer l’image ou déterminer l’antécédent et être capable de tracer la courbe représentative de des fonctions en troisième.

I. Les fonctions linéaires :

1.Définitions et vocabulaire :

Définition :

Soit a un nombre relatif.

On appelle fonction linéaire, toute fonction dont l’expression est de la forme f(x)=ax.
x est appelé l’antécédent du nombre f(x);
f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

Remarque :

Lorsque a=0, nous avons f(x)=0. Cette fonction est appelée la fonction nulle.

Exemple :

Considérons la fonction f qui à un nombre x associe son triple.

Cette fonction f est définie par $f:x\mapsto \,3x$ .

C’est bien une fonction linéaire car elle est du type f(x)=ax avec a=3.

Compléter le tableau de valeurs suivants :

Est-ce un tableau de proportionnalité ?

$\frac{3}{1}=3;\frac{6}{2}=3;\frac{9}{3}=3;....;\frac{30}{10}=3$

Tous les rapports sont égaux donc c’est un tableau de proportionnalité et la valeur du coefficient de proportionnalité est a=3.

Propriété :

Soit f une fonction linéaire telle que f(x)=ax.Toute fonction linéaire provient d’une situation de proportionnalité.

2.Courbe représentative d’une fonction linéaire :

Exemple :

Reprenons l’exemple précédent.

Dans un repère cartésien, placer les points A,B,….,K puis tracer la courbe de cette fonction.

Propriété :

Soit un nombre relatif.Soit une fonction linéaire définie par f(x)=ax .

La courbe de cette fonction est une droite qui passe par l’origine.
L’équation de cette droite (d) est .
Le nombre est appelé coefficient directeur (ou pente ) de la droite.

Propriété :

Soit un nombre relatif.Soit une fonction linéaire définie par f(x)=ax .

Si a>0, f est croissante;
Si a<0, f est décroissante;
Si a=0, f est constante, c’est la fonction nulle.

II.Les fonctions affines :

1.Définitions et vocabulaire :

Définition :

Soit a et b deux nombres relatifs.

On appelle fonction affine, toute fonction dont l’expression est de la forme f(x)=ax+b.
x est appelé l’antécédent du nombre f(x);
f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

Remarque :

Lorsque a=0, nous avons f(x)=b. Cette fonction est appelée la fonction constante.

Lorsque b=0. La fonction affine devient une fonction linéaire.

Propriété :

Une fonction linéaire est une fonction affine.La réciproque est fausse.

Remarque :

Si f, définie par f(x)=ax, est une fonction linéaire alors l’expression de la fonction linéaire peut aussi s’écrire $f(x)=ax+0\,(b=0)$ .

C’est donc une fonction affine.

Contre-exemple :

Par contre, la fonction f définie par est une fonction affine mais ce n’est pas une fonction linéaire.

Exemple :

Considérons la fonction qui à un nombre x associe le périmètre du rectangle suivant :

Cette fonction est définie par .

C’est bien une fonction affine car elle est du type avec a=2 et b=4.

Compléter le tableau de valeurs suivant :

Est-ce un tableau de proportionnalité ?

$\frac{6}{1}=6;\frac{8}{2}=4$

Tous les rapports ne sont pas égaux donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

2.Courbe représentative d’une fonction affine :

Exemple :

Reprenons l’exemple du périmètre du rectangle.

Dans un repère cartésien, placer les points A,B,….,K puis tracer la courbe de cette fonction affine.

Propriété :

Soient et deux nombres relatifs.Soit une fonction affine définie par .

La courbe de cette fonction est une droite .
L’équation de cette droite (d) est .
Le nombre est appelé coefficient directeur (ou pente ) de la droite.
Le nombre est appelé l’ordonnée à l’origine.

Propriété :

Soient et deux nombres relatifs.

Soit une fonction linéaire définie par .

Si a>0, f est croissante;
Si a<0, f est décroissante;
Si a=0, f est constante.

III. Cartes mentales sur les fonctions linéaires et les fonctions affines :

Autre version de cette leçon

I. Les fonctions linéaires :

1.Définition et vocabulaire

Définition :

Soit « a » un nombre fixé. En associant à chaque nombre « x » un nombre « ax » appelé « image de x », on définit une fonction linéaire de coefficient a.

On notera cette fonction ainsi : $f:x\,\mapsto \,ax$

L’image de x sera notée : f(x).

x est appelé l’antécédent de f(x)

Exemple :

Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2.

On la note : $f:x\,\mapsto \,2x$

alors :

L’image de 5 est : $f(5)\,=\,2\times \,5\,=\,10$ .
L’image de (-3) est : $f(-3)\,=\,2\,\times \,(-3)\,=\,-6$ .
L’image de 1 est : $f(1)\,=\,2\,\times \,1\,=\,2$ .

Remarque :

On peut regrouper ces résultats dans un tableau :

x	5	-3	1
f(x)	10	-6	2

C’est un tableau de proportionnalité. Et le coefficient de proportionnalité qui permet d’exprimer f(x) en fonction de x est 2 ! D’où l’égalité : $f(x)\,=\,2\,x$ .

2.Représentation graphique :

Propriété et vocabulaire :

Soit f la fonction linéaire définie par : $f\,:\,x\,\mapsto \,ax$ L’ensemble des points de coordonnées $(x\,;\,ax)$ est appelé représentation graphique de la fonction linéaire.

Dans un repère, cette représentation est la droite passant par :

L’origine du repère.
Le point de coordonnées $(1\,;\,a)$ .

On dit que cette droite a pour équation : $y\,=\,ax$ .

« a » est le coefficient directeur de la droite. Il indique « l’inclinaison » de la droite.

3.Sens de variation d’une fonction linéaire :

Propriété :

Si a>0 alors la fonction linéaire est croissante;
Si a<0 alors la fonction linéaire est décroissante.

Remarque :

Si a = 0, la représentation la droite se confond avec l’axe des abscisses.

II. Fonctions linéaires et pourcentages

1.Pourcentages d’augmentation et de diminution

Propriété :

Augmenter un nombre de t % revient à multiplier ce nombre par $k=1+\frac{t}{100}$ .
Diminuer un nombre de t% revient à multiplier ce nombre par $k=1-\frac{t}{100}$ .

Exemples :
Si une boite de 400 g est vendue avec 25% de produit en plus, sa nouvelle masse (en g) est :

$m\,=\,400\,\times \,\,(\,1+\frac{4}{100}\,\,)\,=\,400\times \,1,25\,=500$ , c’est à dire m = 500 g.

En France, une baisse de 4% a été enregistrée sur un effectif annuel de 750 000 naissances.
Le nouvel effectif est :

$N\,=\,750\,000\,\times \,\,(\,1-\frac{4}{100}\,\,)\,=\,750\,000\times \,0,96=720\,000$ c’est à dire N = 720 000.

2.Application des pourcentages aux fonctions linéaires

	Prendre 5% de x.	Augmenter x de 5%.	Diminuer x de 5%.
Calcul à effectuer	Multiplier par 0,05	Multiplier par 1,05	Multiplier par 0,95
Fonction linéaire	$f\,:\,x\,\mapsto \,0,05\,x$	$g\,:\,x\,\mapsto \,1,05\,x$	$h\,:\,x\,\mapsto \,0,95\,x$
Exemple :	Prendre 5% de 20 : $f(20)\,=\,0,05\,\times \,20\,=\,1$	Augmenter 20 de 5% : $g(20)\,=\,1,05\,\times \,20\,=\,21$	Diminuer 20 de 5% : $h(20)\,=\,0,95\,\times \,20\,=\,19$

Propriété :

De manière générale, on peut associer une fonction linéaire à toute variation de k %.Notons la fonction f qui à la valeur x de départ associe la valeur f(x) après variation.

Pour une augmentation de k %, nous avons $f(x)=\,(\,1+\frac{k}{100}\,\,)x$ .
Pour une réduction de k %, nous avons $f(x)=\,(\,1-\frac{k}{100}\,\,)x$ .

I. Les fonctions affines : définition et vocabulaire.

Définition :

Soit « a » et « b » deux nombres fixés.En associant à chaque nombre « x » un nombre « ax + b» appelé « image de x »,

on définit une fonction affine.

On notera cette fonction ainsi : $g\,:x\,\mapsto \,ax\,+\,b$ .

L’image de x sera notée : g(x).

Exemple :

Soit g est la fonction affine définie par : $g\,:\,x\,\mapsto \,2x-3$ .

alors :

l’image de 5 est : $g(5)=\,2\,\times \,5-\,3\,=\,10-3\,=\,7$ .
l’image de (-3) est : $g(-3)\,=\,2\,\times \,(-3)\,-3\,=\,-6\,-\,3\,=\,-9$ .
l’image de 0 est : $g(0)\,=\,2\,\times \,0\,-\,3\,=\,0\,-\,3\,=\,-3$ .

Remarque :

La fonction $f\,:\,x\,\mapsto \,2x$ est la fonction linéaire associée à g.

Une fonction linéaire est affine, la réciproque est fausse.

Si b=0, nous obtenons la fonction linéaire associée $f:x\,\mapsto \,ax$ .

II. Représentation graphique d’une fonction affine

Propriété :

Soit g la fonction affine définie par : $g\,:\,x\,\mapsto \,ax\,+\,b$ .L’ensemble des points M de coordonnées $M\,(x\,;\,ax\,+\,b)$ est appelé représentation graphique de la fonction affine.

Dans un repère, cette représentation est la droite :

parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée.
passant par le point de coordonnées $(0\,;\,b)$ .

On dit que cette droite a pour équation : $y\,=\,ax\,+\,b$ .

« a » est le coefficient directeur.
« b » est l’ordonnée à l’origine. Il indique la « hauteur » à laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées.

Remarques :

– Si a = 0, la droite d’équation $y\,=\,ax\,+\,b$ est parallèle à l’axe des abscisses.

– Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme y = ax + b, et représente donc une fonction affine.

III. Sens de variation d’une fonction affine

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs.

Soit g la fonction affine définie par $g:x\,\mapsto \,ax+b$ .

Si a>0 alors g est croissante.
Si a<0 alors g est décroissante.

Exemple :

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