Fonctions linéaires et affines : cours de maths en 3ème à imprimer en PDF.
Mis à jour le 29 mai 2025
I. Les fonctions linéaires :
1.Définitions et vocabulaire :
Soit a un nombre relatif.
- On appelle fonction linéaire, toute fonction dont l’expression est de la forme f(x)=ax.
- x est appelé l’antécédent du nombre f(x);
- f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.
Remarque :
Lorsque a=0, nous avons f(x)=0. Cette fonction est appelée la fonction nulle.
Exemple :
Considérons la fonction f qui à un nombre x associe son triple.
Cette fonction f est définie par .
C’est bien une fonction linéaire car elle est du type f(x)=ax avec a=3.
Compléter le tableau de valeurs suivants :
Est-ce un tableau de proportionnalité ?
Tous les rapports sont égaux donc c’est un tableau de proportionnalité et la valeur du coefficient de proportionnalité est a=3.
Soit f une fonction linéaire telle que f(x)=ax.Toute fonction linéaire provient d’une situation de proportionnalité.
2.Courbe représentative d’une fonction linéaire :
Exemple :
Reprenons l’exemple précédent.
Dans un repère cartésien, placer les points A,B,….,K puis tracer la courbe de cette fonction.
Soit un nombre relatif.Soit
une fonction linéaire définie par
.
- La courbe de cette fonction
est une droite qui passe par l’origine.
- L’équation de cette droite (d) est
.
- Le nombre
est appelé coefficient directeur (ou pente ) de la droite.
Soit un nombre relatif.Soit
une fonction linéaire définie par
.
- Si a>0, f est croissante;
- Si a<0, f est décroissante;
- Si a=0, f est constante, c’est la fonction nulle.
II.Les fonctions affines :
1.Définitions et vocabulaire :
Soit a et b deux nombres relatifs.
- On appelle fonction affine, toute fonction dont l’expression est de la forme f(x)=ax+b.
- x est appelé l’antécédent du nombre f(x);
- f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.
Remarque :
Lorsque a=0, nous avons f(x)=b. Cette fonction est appelée la fonction constante.
Lorsque b=0. La fonction affine devient une fonction linéaire.
Une fonction linéaire est une fonction affine.La réciproque est fausse.
Remarque :
Si f, définie par f(x)=ax, est une fonction linéaire alors l’expression de la fonction linéaire peut aussi s’écrire .
C’est donc une fonction affine.
Contre-exemple :
Par contre, la fonction f définie par est une fonction affine mais ce n’est pas une fonction linéaire.
Exemple :
Considérons la fonction qui à un nombre x associe le périmètre du rectangle suivant :
Cette fonction est définie par
.
C’est bien une fonction affine car elle est du type avec a=2 et b=4.
Compléter le tableau de valeurs suivant :
Est-ce un tableau de proportionnalité ?
Tous les rapports ne sont pas égaux donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
2.Courbe représentative d’une fonction affine :
Exemple :
Reprenons l’exemple du périmètre du rectangle.
Dans un repère cartésien, placer les points A,B,….,K puis tracer la courbe de cette fonction affine.
Soient et
deux nombres relatifs.Soit
une fonction affine définie par
.
- La courbe de cette fonction
est une droite .
- L’équation de cette droite (d) est
.
- Le nombre
est appelé coefficient directeur (ou pente ) de la droite.
- Le nombre
est appelé l’ordonnée à l’origine.
Soient et
deux nombres relatifs.
Soit une fonction linéaire définie par
.
- Si a>0, f est croissante;
- Si a<0, f est décroissante;
- Si a=0, f est constante.
III. Cartes mentales sur les fonctions linéaires et les fonctions affines :
Autre version de cette leçon
I. Les fonctions linéaires :
1.Définition et vocabulaire
Soit « a » un nombre fixé. En associant à chaque nombre « x » un nombre « ax » appelé « image de x », on définit une fonction linéaire de coefficient a.
On notera cette fonction ainsi :
L’image de x sera notée : f(x).
x est appelé l’antécédent de f(x)
Exemple :
Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2.
On la note :
alors :
- L’image de 5 est :
.
- L’image de (-3) est :
.
- L’image de 1 est :
.
Remarque :
On peut regrouper ces résultats dans un tableau :
x | 5 | -3 | 1 |
f(x) | 10 | -6 | 2 |
C’est un tableau de proportionnalité. Et le coefficient de proportionnalité qui permet d’exprimer f(x) en fonction de x est 2 ! D’où l’égalité : .
2.Représentation graphique :
Soit f la fonction linéaire définie par : L’ensemble des points de coordonnées
est appelé représentation graphique de la fonction linéaire.
Dans un repère, cette représentation est la droite passant par :
- L’origine du repère.
- Le point de coordonnées
.
On dit que cette droite a pour équation : .
« a » est le coefficient directeur de la droite. Il indique « l’inclinaison » de la droite.
3.Sens de variation d’une fonction linéaire :
- Si a>0 alors la fonction linéaire est croissante;
- Si a<0 alors la fonction linéaire est décroissante.
Remarque :
Si a = 0, la représentation la droite se confond avec l’axe des abscisses.
II. Fonctions linéaires et pourcentages
1.Pourcentages d’augmentation et de diminution
- Augmenter un nombre de t % revient à multiplier ce nombre par
.
- Diminuer un nombre de t% revient à multiplier ce nombre par
.
Exemples :
Si une boite de 400 g est vendue avec 25% de produit en plus, sa nouvelle masse (en g) est :
, c’est à dire m = 500 g.
- En France, une baisse de 4% a été enregistrée sur un effectif annuel de 750 000 naissances.
Le nouvel effectif est :
c’est à dire N = 720 000.
2.Application des pourcentages aux fonctions linéaires
Prendre 5% de x. | Augmenter x de 5%. | Diminuer x de 5%. | |
Calcul à effectuer | Multiplier par 0,05 | Multiplier par 1,05 | Multiplier par 0,95 |
Fonction linéaire | |||
Exemple : | Prendre 5% de 20 :
|
Augmenter 20 de 5% :
|
Diminuer 20 de 5% :
|
De manière générale, on peut associer une fonction linéaire à toute variation de k %.Notons la fonction f qui à la valeur x de départ associe la valeur f(x) après variation.
- Pour une augmentation de k %, nous avons
.
- Pour une réduction de k %, nous avons
.
I. Les fonctions affines : définition et vocabulaire.
Soit « a » et « b » deux nombres fixés.En associant à chaque nombre « x » un nombre « ax + b» appelé « image de x »,
on définit une fonction affine.
On notera cette fonction ainsi : .
L’image de x sera notée : g(x).
Exemple :
Soit g est la fonction affine définie par : .
alors :
- l’image de 5 est :
.
- l’image de (-3) est :
.
- l’image de 0 est :
.
Remarque :
La fonction est la fonction linéaire associée à g.
Une fonction linéaire est affine, la réciproque est fausse.
Si b=0, nous obtenons la fonction linéaire associée .
II. Représentation graphique d’une fonction affine
Soit g la fonction affine définie par : .L’ensemble des points M de coordonnées
est appelé représentation graphique de la fonction affine.
Dans un repère, cette représentation est la droite :
- parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée.
- passant par le point de coordonnées
.
On dit que cette droite a pour équation : .
- « a » est le coefficient directeur.
- « b » est l’ordonnée à l’origine. Il indique la « hauteur » à laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées.
Remarques :
– Si a = 0, la droite d’équation est parallèle à l’axe des abscisses.
– Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme y = ax + b, et représente donc une fonction affine.
III. Sens de variation d’une fonction affine
Soient a et b deux nombres relatifs.
Soit g la fonction affine définie par .
- Si a>0 alors g est croissante.
- Si a<0 alors g est décroissante.
Exemple :
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