Fonctions linéaires et affines : cours de maths en 4ème en PDF

Sommaire

I.Les fonctions linéaires :

1.Définitions et vocabulaire :

Définition :

Soit a un nombre relatif.

On appelle fonction linéaire, toute fonction dont l’expression est de la forme f(x)=ax.
x est appelé l’antécédent du nombre f(x);
f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

Remarque :

Lorsque a=0, nous avons f(x)=0. Cette fonction est appelée la fonction nulle.

Exemple :

Considérons la fonction f qui à un nombre x associe son triple.

Cette fonction f est définie par $f:x \mapsto 3x$ .

C’est bien une fonction linéaire car elle est du type f(x)=ax avec a=3.

Compléter le tableau de valeurs suivants :

Est-ce un tableau de proportionnalité ?

$\frac{3}{1}=3;\frac{6}{2}=3;\frac{9}{3}=3;....;\frac{30}{10}=3$

Tous les rapports sont égaux donc c’est un tableau de proportionnalité et la valeur du coefficient de proportionnalité est a=3.

Propriété :

Soit f une fonction linéaire telle que f(x)=ax.Toute fonction linéaire provient d’une situation de proportionnalité.

2.Courbe représentative d’une fonction linéaire :

Exemple :

Reprenons l’exemple précédent.

Dans un repère cartésien, placer les points A,B,….,K puis tracer la courbe de cette fonction.

Propriété :

Soit $a$ un nombre relatif.Soit $f$ une fonction linéaire définie par $f(x)=ax$ .

La courbe de cette fonction $f$ est une droite qui passe par l’origine.
L’équation de cette droite (d) est $y=ax$ .
Le nombre $a$ est appelé coefficient directeur (ou pente ) de la droite.

Propriété :

Soit $a$ un nombre relatif.Soit $f$ une fonction linéaire définie par $f(x)=ax$ .

Si a>, f est croissante;
Si a<0, f est décroissante;
Si a=0, f est constante, c’est la fonction nulle.

II.Les fonctions affines :

1.Définitions et vocabulaire :

Définition :

Soit a et b deux nombres relatifs.

On appelle fonction affine, toute fonction dont l’expression est de la forme f(x)=ax+b.
x est appelé l’antécédent du nombre f(x);
f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

Remarque :

Lorsque a=0, nous avons f(x)=b. Cette fonction est appelée la fonction constante.

Lorsque b=0. La fonction affine devient une fonction linéaire.

Propriété :

Une fonction linéaire est une fonction affine.La réciproque est fausse.

Remarque :

Si f, définie par f(x)=ax, est une fonction linéaire alors l’expression de la fonction linéaire peut aussi s’écrire $f(x)=ax+0\,(b=0)$ .

C’est donc une fonction affine.

Contre-exemple :

Par contre, la fonction f définie par $f(x)=3x+5$ est une fonction affine mais ce n’est pas une fonction linéaire.

Exemple :

Considérons la fonction $P$ qui à un nombre x associe le périmètre du rectangle suivant :

Cette fonction $P$ est définie par $P(x)=x+x+2+2=2x+4$ .

C’est bien une fonction affine car elle est du type $P(x)=ax+b$ avec a=2 et b=4.

Compléter le tableau de valeurs suivant :

Est-ce un tableau de proportionnalité ?

$\frac{6}{1}=6;\frac{8}{2}=4$

Tous les rapports ne sont pas égaux donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

2.Courbe représentative d’une fonction affine :

Exemple :

Reprenons l’exemple du périmètre du rectangle.

Dans un repère cartésien, placer les points A,B,….,K puis tracer la courbe de cette fonction affine.

Propriété :

Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs.Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$ .

La courbe de cette fonction $f$ est une droite .
L’équation de cette droite (d) est $y=ax+b$ .
Le nombre $a$ est appelé coefficient directeur (ou pente ) de la droite.
Le nombre $b$ est appelé l’ordonnée à l’origine.

Propriété :

Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs.Soit $f$ une fonction linéaire définie par $f(x)=ax+b$ .

Si a>, f est croissante;
Si a<0, f est décroissante;
Si a=0, f est constante.

III.Cartes mentales sur les fonctions linéaires et les fonctions affines :

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