cours troisième

Fonctions linéaires et affines : cours de maths en 4ème en PDF

I.Les fonctions linéaires :

1.Définitions et vocabulaire :

Définition :

Soit a un nombre relatif.

  • On appelle fonction linéaire, toute fonction dont l’expression est de la forme f(x)=ax.
  • x est appelé l’antécédent du nombre f(x);
  • f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

Remarque :

Lorsque a=0, nous avons f(x)=0. Cette fonction est appelée la fonction nulle.

Exemple :

Considérons la fonction f qui à un nombre x associe son triple.

Cette fonction f est définie par f:x \mapsto   3x.

C’est bien une fonction linéaire car elle est du type f(x)=ax avec a=3.

Compléter le tableau de valeurs suivants :

tableau valeurs fonction linéaire

Est-ce un tableau de proportionnalité ?

\frac{3}{1}=3;\frac{6}{2}=3;\frac{9}{3}=3;....;\frac{30}{10}=3

Tous les rapports sont égaux donc c’est un tableau de proportionnalité et la valeur du coefficient de proportionnalité est a=3.

Propriété :

Soit f une fonction linéaire telle que f(x)=ax.Toute fonction linéaire provient d’une situation de proportionnalité.

2.Courbe représentative d’une fonction linéaire :

Exemple :

Reprenons l’exemple précédent.

Dans un repère cartésien, placer les points A,B,….,K puis tracer la courbe de cette fonction.

courbe fonction linéaire

Propriété :

Soit a un nombre relatif.Soit f une fonction linéaire définie par f(x)=ax.

  • La courbe de cette fonction f est une droite qui passe par l’origine.
  • L’équation de cette droite (d) est y=ax.
  • Le nombre a est appelé coefficient directeur (ou pente ) de la droite.

courbe fonction linéaire

Propriété :

Soit a un nombre relatif.Soit f une fonction linéaire définie par f(x)=ax.

  • Si a>0, f est croissante;
  • Si a<0, f est décroissante;
  • Si a=0, f est constante, c’est la fonction nulle.

fonctions linéaires coefficient directeur

II.Les fonctions affines :

1.Définitions et vocabulaire :

Définition :

Soit a et b deux nombres relatifs.

  • On appelle fonction affine, toute fonction dont l’expression est de la forme f(x)=ax+b.
  • x est appelé l’antécédent du nombre f(x);
  • f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

Remarque :

Lorsque a=0, nous avons f(x)=b. Cette fonction est appelée la fonction constante.

Lorsque b=0. La fonction affine devient une fonction linéaire.

Propriété :

Une fonction linéaire est une fonction affine.La réciproque est fausse.

Remarque :

Si f, définie par f(x)=ax, est une fonction linéaire alors l’expression de la fonction linéaire peut aussi s’écrire f(x)=ax+0\,(b=0).

C’est donc une fonction affine.

Contre-exemple :

Par contre, la fonction f définie par f(x)=3x+5 est une fonction affine mais ce n’est pas une fonction linéaire.

Exemple :

Considérons la fonction P qui à un nombre x associe le périmètre du rectangle suivant :

rectangle

Cette fonction P est définie par P(x)=x+x+2+2=2x+4.

C’est bien une fonction affine car elle est du type P(x)=ax+b avec a=2 et b=4.

Compléter le tableau de valeurs suivant :

tableau valeur fonction affine

Est-ce un tableau de proportionnalité ?

\frac{6}{1}=6;\frac{8}{2}=4

Tous les rapports ne sont pas égaux donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

2.Courbe représentative d’une fonction affine :

Exemple :

Reprenons l’exemple du périmètre du rectangle.

Dans un repère cartésien, placer les points A,B,….,K puis tracer la courbe de cette fonction affine.

courbe périmètre fonction affine

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs.Soit f une fonction affine définie par f(x)=ax+b.

  • La courbe de cette fonction f est une droite .
  • L’équation de cette droite (d) est y=ax+b.
  • Le nombre a est appelé coefficient directeur (ou pente ) de la droite.
  • Le nombre b est appelé l’ordonnée à l’origine.

fonctions affines linéaires

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs.

Soit f une fonction linéaire définie par f(x)=ax+b.

  • Si a>0, f est croissante;
  • Si a<0, f est décroissante;
  • Si a=0, f est constante.

fonctions affines tracés

III. Cartes mentales sur les fonctions linéaires et les fonctions affines :

carte mentale fonctions linéaires

carte mentale fonction affine


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