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Fonctions linéaires et affines – Cours de maths niveau 3e sur Maths-pdf.fr

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Sommaire

Les fonctions linéaires et affines à travers un cours de maths en 3ème afin d’assimiler les définitions et les propriétés de ce chapitre. L’élève devra connaître l’écriture d’une fonction linéaire (f(x)=ax) et d’une fonction affine (f(x)=ax+b) où le nombre a est appelé le coefficient directeur et b est appelé l’ordonnée à l’origine. Calculer l’image ou déterminer l’antécédent et être capable de tracer la courbe représentative de des fonctions en troisième.

À retenir : Une fonction linéaire s’écrit $f(x) = ax$ et sa représentation est une droite passant par l’origine ; $a$ est le coefficient de proportionnalité. Une fonction affine s’écrit $f(x) = ax + b$ et sa droite coupe l’axe des ordonnées en $b$. Exemple : une remise de 20 % revient à la fonction linéaire $x \mapsto 0{,}8x$.

I. Les fonctions linéaires :

1.Définitions et vocabulaire :

Définition :

Soit a un nombre relatif.

On appelle fonction linéaire, toute fonction dont l’expression est de la forme f(x)=ax.
x est appelé l’antécédent du nombre f(x);
f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

Remarque :

Lorsque a=0, nous avons f(x)=0. Cette fonction est appelée la fonction nulle.

Exemple :

Considérons la fonction f qui à un nombre x associe son triple.

Cette fonction f est définie par $f:x\mapsto\,3x$ .

C’est bien une fonction linéaire car elle est du type f(x)=ax avec a=3.

Compléter le tableau de valeurs suivants :

Est-ce un tableau de proportionnalité ?

$\frac{3}{1}=3;\frac{6}{2}=3;\frac{9}{3}=3;....;\frac{30}{10}=3$

Tous les rapports sont égaux donc c’est un tableau de proportionnalité et la valeur du coefficient de proportionnalité est a=3.

Exemple :

Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2.

On la note : $f:x\,\mapsto\,2x$

alors :

L’image de 5 est : $f(5)\,=\,2\times\,5\,=\,10$ .
L’image de (-3) est : $f(-3)\,=\,2\,\times\,(-3)\,=\,-6$ .
L’image de 1 est : $f(1)\,=\,2\,\times\,1\,=\,2$ .

Remarque :

On peut regrouper ces résultats dans un tableau :

x	5	-3	1
f(x)	10	-6	2

C’est un tableau de proportionnalité. Et le coefficient de proportionnalité qui permet d’exprimer f(x) en fonction de x est 2 ! D’où l’égalité : $f(x)\,=\,2\,x$

Propriété :

Soit f une fonction linéaire telle que f(x)=ax.Toute fonction linéaire provient d’une situation de proportionnalité.

2.Courbe représentative d’une fonction linéaire :

Exemple :

Reprenons l’exemple précédent.

Dans un repère cartésien, placer les points A,B,….,K puis tracer la courbe de cette fonction.

Propriété :

Soit un nombre relatif.Soit une fonction linéaire définie par f(x)=ax .

La courbe de cette fonction est une droite qui passe par l’origine.
L’équation de cette droite (d) est .
Le nombre est appelé coefficient directeur (ou pente ) de la droite.

Propriété :

Soit un nombre relatif.Soit une fonction linéaire définie par f(x)=ax .

Si a>0, f est croissante;
Si a<0, f est décroissante;
Si a=0, f est constante, c’est la fonction nulle.

Remarque :

Si a = 0, la représentation la droite se confond avec l’axe des abscisses.

II. Fonctions linéaires et pourcentages

1.Pourcentages d’augmentation et de diminution

Propriété :

Augmenter un nombre de t % revient à multiplier ce nombre par $k=1+\frac{t}{100}$ .
Diminuer un nombre de t% revient à multiplier ce nombre par $k=1-\frac{t}{100}$ .

Exemples :
Si une boite de 400 g est vendue avec 25% de produit en plus, sa nouvelle masse (en g) est :

$m\,=\,400\,\times\,\left\,(\,1+\frac{4}{100}\,\right\,)\,=\,400\times\,1,25\,=500$ , c’est à dire m = 500 g.

En France, une baisse de 4% a été enregistrée sur un effectif annuel de 750 000 naissances.
Le nouvel effectif est :

$N\,=\,750\,000\,\times\,\left\,(\,1-\frac{4}{100}\,\right\,)\,=\,750\,000\times\,0,96=720\,000$ c’est à dire N = 720 000.

2.Application des pourcentages aux fonctions linéaires

	Prendre 5% de x.	Augmenter x de 5%.	Diminuer x de 5%.
Calcul à effectuer	Multiplier par 0,05	Multiplier par 1,05	Multiplier par 0,95
Fonction linéaire	$f\,:\,x\,\mapsto\,0,05\,x$	$g\,:\,x\,\mapsto\,1,05\,x$	$h\,:\,x\,\mapsto\,0,95\,x$
Exemple :	Prendre 5% de 20 : $f(20)\,=\,0,05\,\times\,20\,=\,1$	Augmenter 20 de 5% : $g(20)\,=\,1,05\,\times\,20\,=\,21$	Diminuer 20 de 5% : $h(20)\,=\,0,95\,\times\,20\,=\,19$

Propriété :

De manière générale, on peut associer une fonction linéaire à toute variation de k %.Notons la fonction f qui à la valeur x de départ associe la valeur f(x) après variation.

Pour une augmentation de k %, nous avons $f(x)=\left\,(\,1+\frac{k}{100}\,\right\,)x$ .
Pour une réduction de k %, nous avons $f(x)=\left\,(\,1-\frac{k}{100}\,\right\,)x$ .

III.Les fonctions affines :

1.Définitions et vocabulaire :

Définition :

Soit a et b deux nombres relatifs.

On appelle fonction affine, toute fonction dont l’expression est de la forme f(x)=ax+b.
x est appelé l’antécédent du nombre f(x);
f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

Remarque :

Lorsque a=0, nous avons f(x)=b. Cette fonction est appelée la fonction constante.

Lorsque b=0. La fonction affine devient une fonction linéaire.

Propriété :

Une fonction linéaire est une fonction affine.La réciproque est fausse.

Remarque :

Si f, définie par f(x)=ax, est une fonction linéaire alors l’expression de la fonction linéaire peut aussi s’écrire $f(x)=ax+0\,(b=0)$ .

C’est donc une fonction affine.

Contre-exemple :

Par contre, la fonction f définie par est une fonction affine mais ce n’est pas une fonction linéaire.

Exemple :

Considérons la fonction qui à un nombre x associe le périmètre du rectangle suivant :

Cette fonction est définie par .

C’est bien une fonction affine car elle est du type avec a=2 et b=4.

Compléter le tableau de valeurs suivant :

Est-ce un tableau de proportionnalité ?

$\frac{6}{1}=6;\frac{8}{2}=4$

Tous les rapports ne sont pas égaux donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

2.Courbe représentative d’une fonction affine :

Exemple :

Reprenons l’exemple du périmètre du rectangle.

Dans un repère cartésien, placer les points A,B,….,K puis tracer la courbe de cette fonction affine.

Propriété :

Soient et deux nombres relatifs.Soit une fonction affine définie par .

La courbe de cette fonction est une droite .
L’équation de cette droite (d) est .
Le nombre est appelé coefficient directeur (ou pente ) de la droite.
Le nombre est appelé l’ordonnée à l’origine.

Propriété :

Soient et deux nombres relatifs.

Soit une fonction linéaire définie par .

Si a>0, f est croissante;
Si a<0, f est décroissante;
Si a=0, f est constante.

IV. Cartes mentales sur les fonctions linéaires et les fonctions affines :

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I. Les fonctions linéaires :

1.Définitions et vocabulaire :

2.Courbe représentative d’une fonction linéaire :

II. Fonctions linéaires et pourcentages

1.Pourcentages d’augmentation et de diminution

2.Application des pourcentages aux fonctions linéaires

III.Les fonctions affines :

1.Définitions et vocabulaire :

2.Courbe représentative d’une fonction affine :

IV. Cartes mentales sur les fonctions linéaires et les fonctions affines :

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