Fonctions linéaires et affines : cours de maths en 3ème à imprimer en PDF.

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Mis à jour le 29 mai 2025

📚Cours de Mathématiques3ème • collège
Fonctions linéaires et affines
⏱️Temps de lecture : 8 min
🎯Difficulté : Confirmé
📚Cycle 4
📋Prérequis : Programme 4ème maîtrisé
📄Format PDF disponible gratuitement
Les fonctions linéaires et affines à travers un cours de maths en 3ème afin d’assimiler les définitions et les propriétés de ce chapitre. L’élève devra connaître l’écriture d’une fonction linéaire (f(x)=ax) et d’une fonction affine (f(x)=ax+b) où le nombre a est appelé le coefficient directeur et b est appelé l’ordonnée à l’origine. Calculer l’image ou déterminer l’antécédent et être capable de tracer la courbe représentative de des fonctions en troisième.

I. Les fonctions linéaires :

1.Définitions et vocabulaire :

Définition :

Soit a un nombre relatif.

  • On appelle fonction linéaire, toute fonction dont l’expression est de la forme f(x)=ax.
  • x est appelé l’antécédent du nombre f(x);
  • f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

Remarque :

Lorsque a=0, nous avons f(x)=0. Cette fonction est appelée la fonction nulle.

Exemple :

Considérons la fonction f qui à un nombre x associe son triple.

Cette fonction f est définie par f:x\mapsto  \,3x.

C’est bien une fonction linéaire car elle est du type f(x)=ax avec a=3.

Compléter le tableau de valeurs suivants :

tableau valeurs fonction linéaire

Est-ce un tableau de proportionnalité ?

\frac{3}{1}=3;\frac{6}{2}=3;\frac{9}{3}=3;....;\frac{30}{10}=3

Tous les rapports sont égaux donc c’est un tableau de proportionnalité et la valeur du coefficient de proportionnalité est a=3.

Propriété :

Soit f une fonction linéaire telle que f(x)=ax.Toute fonction linéaire provient d’une situation de proportionnalité.

2.Courbe représentative d’une fonction linéaire :

Exemple :

Reprenons l’exemple précédent.

Dans un repère cartésien, placer les points A,B,….,K puis tracer la courbe de cette fonction.

courbe fonction linéaire

Propriété :

Soit a un nombre relatif.Soit f une fonction linéaire définie par f(x)=ax.

  • La courbe de cette fonction f est une droite qui passe par l’origine.
  • L’équation de cette droite (d) est y=ax.
  • Le nombre a est appelé coefficient directeur (ou pente ) de la droite.

courbe fonction linéaire

Propriété :

Soit a un nombre relatif.Soit f une fonction linéaire définie par f(x)=ax.

  • Si a>0, f est croissante;
  • Si a<0, f est décroissante;
  • Si a=0, f est constante, c’est la fonction nulle.

fonctions linéaires coefficient directeur

II.Les fonctions affines :

1.Définitions et vocabulaire :

Définition :

Soit a et b deux nombres relatifs.

  • On appelle fonction affine, toute fonction dont l’expression est de la forme f(x)=ax+b.
  • x est appelé l’antécédent du nombre f(x);
  • f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

Remarque :

Lorsque a=0, nous avons f(x)=b. Cette fonction est appelée la fonction constante.

Lorsque b=0. La fonction affine devient une fonction linéaire.

Propriété :

Une fonction linéaire est une fonction affine.La réciproque est fausse.

Remarque :

Si f, définie par f(x)=ax, est une fonction linéaire alors l’expression de la fonction linéaire peut aussi s’écrire f(x)=ax+0\,(b=0).

C’est donc une fonction affine.

Contre-exemple :

Par contre, la fonction f définie par f(x)=3x+5 est une fonction affine mais ce n’est pas une fonction linéaire.

Exemple :

Considérons la fonction P qui à un nombre x associe le périmètre du rectangle suivant :

rectangle

Cette fonction P est définie par P(x)=x+x+2+2=2x+4.

C’est bien une fonction affine car elle est du type P(x)=ax+b avec a=2 et b=4.

Compléter le tableau de valeurs suivant :

tableau valeur fonction affine

Est-ce un tableau de proportionnalité ?

\frac{6}{1}=6;\frac{8}{2}=4

Tous les rapports ne sont pas égaux donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

2.Courbe représentative d’une fonction affine :

Exemple :

Reprenons l’exemple du périmètre du rectangle.

Dans un repère cartésien, placer les points A,B,….,K puis tracer la courbe de cette fonction affine.

courbe périmètre fonction affine

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs.Soit f une fonction affine définie par f(x)=ax+b.

  • La courbe de cette fonction f est une droite .
  • L’équation de cette droite (d) est y=ax+b.
  • Le nombre a est appelé coefficient directeur (ou pente ) de la droite.
  • Le nombre b est appelé l’ordonnée à l’origine.

fonctions affines linéaires

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs.

Soit f une fonction linéaire définie par f(x)=ax+b.

  • Si a>0, f est croissante;
  • Si a<0, f est décroissante;
  • Si a=0, f est constante.

fonctions affines tracés

III. Cartes mentales sur les fonctions linéaires et les fonctions affines :

carte mentale fonctions linéaires

carte mentale fonction affine

Autre version de cette leçon

I. Les fonctions linéaires :

1.Définition et vocabulaire

Définition :

Soit « a » un nombre fixé. En associant à chaque nombre « x » un nombre « ax » appelé « image de x », on définit une fonction linéaire de coefficient a.

On notera cette fonction ainsi :   f:x\,\mapsto  \,ax

L’image de x sera notée : f(x).

x est appelé l’antécédent de f(x)

Exemple :

Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2.

On la note :    f:x\,\mapsto  \,2x

alors :

  • L’image de 5 est : f(5)\,=\,2\times  \,5\,=\,10.
  • L’image de (-3) est : f(-3)\,=\,2\,\times  \,(-3)\,=\,-6.
  • L’image de 1 est : f(1)\,=\,2\,\times  \,1\,=\,2.

Remarque :

On peut regrouper ces résultats dans un tableau :

x 5 -3 1
f(x) 10 -6 2

C’est un tableau de proportionnalité. Et le coefficient de proportionnalité qui permet d’exprimer f(x) en fonction de x est  2 ! D’où l’égalité : f(x)\,=\,2\,x.

2.Représentation graphique :

Propriété et vocabulaire :

Soit f la fonction linéaire définie par :  f\,:\,x\,\mapsto  \,axL’ensemble des points de coordonnées (x\,;\,ax)est appelé représentation graphique de la fonction linéaire.

Dans un repère, cette représentation est la droite passant par :

  • L’origine du repère.
  • Le point de coordonnées (1\,;\,a).

On dit que cette droite a pour équation : y\,=\,ax.

« a » est le coefficient directeur de la droite. Il indique « l’inclinaison » de la droite.

3.Sens de variation d’une fonction linéaire :

Propriété :
  • Si a>0 alors la fonction linéaire est croissante;
  • Si a<0 alors la fonction linéaire est décroissante.

Courbe d'une fonction linéaire

Remarque :

Si a = 0, la représentation la droite se confond avec l’axe des abscisses.

II. Fonctions linéaires et pourcentages

1.Pourcentages d’augmentation et de diminution

Propriété :
  • Augmenter un nombre de t % revient à multiplier ce nombre par k=1+\frac{t}{100}.
  • Diminuer un nombre de t% revient à multiplier ce nombre par k=1-\frac{t}{100}.

Exemples :
Si une boite de 400 g est vendue avec 25% de produit en plus, sa nouvelle masse (en g) est :

m\,=\,400\,\times  \,\,(\,1+\frac{4}{100}\,\,)\,=\,400\times  \,1,25\,=500, c’est à dire m = 500 g.

  • En France, une baisse de 4% a été enregistrée sur un effectif annuel de 750 000 naissances.
    Le nouvel effectif est :

N\,=\,750\,000\,\times  \,\,(\,1-\frac{4}{100}\,\,)\,=\,750\,000\times  \,0,96=720\,000 c’est à dire N = 720 000.

2.Application des pourcentages aux fonctions linéaires

Prendre 5% de x. Augmenter x de 5%. Diminuer x de 5%.
Calcul à effectuer Multiplier par 0,05 Multiplier par 1,05 Multiplier par 0,95
Fonction linéaire f\,:\,x\,\mapsto  \,0,05\,x g\,:\,x\,\mapsto  \,1,05\,x h\,:\,x\,\mapsto  \,0,95\,x
Exemple : Prendre 5% de 20 :

f(20)\,=\,0,05\,\times  \,20\,=\,1

Augmenter 20 de 5% :

g(20)\,=\,1,05\,\times  \,20\,=\,21

Diminuer 20 de 5% :

h(20)\,=\,0,95\,\times  \,20\,=\,19

Propriété :

De manière générale, on peut associer une fonction linéaire à toute variation de k %.Notons la fonction f qui à la valeur x de départ associe la valeur f(x) après variation.

  • Pour une augmentation de k %, nous avons  f(x)=\,(\,1+\frac{k}{100}\,\,)x.
  • Pour une réduction de k %, nous avons f(x)=\,(\,1-\frac{k}{100}\,\,)x.

I. Les fonctions affines : définition et vocabulaire.

Définition :

Soit « a » et « b » deux nombres fixés.En associant à chaque nombre « x » un nombre « ax + b» appelé « image de x »,

on définit une fonction affine.

On notera cette fonction ainsi : g\,:x\,\mapsto  \,ax\,+\,b.

L’image de x sera notée : g(x).

Exemple :

Soit g est la fonction affine définie par :  g\,:\,x\,\mapsto  \,2x-3.

alors :

  • l’image de 5 est : g(5)=\,2\,\times  \,5-\,3\,=\,10-3\,=\,7.
  • l’image de (-3) est : g(-3)\,=\,2\,\times  \,(-3)\,-3\,=\,-6\,-\,3\,=\,-9.
  • l’image de 0 est : g(0)\,=\,2\,\times  \,0\,-\,3\,=\,0\,-\,3\,=\,-3.

Remarque :

La fonction f\,:\,x\,\mapsto  \,2x  est la fonction linéaire associée à g.

Une fonction linéaire est affine, la réciproque est fausse.

Si b=0, nous obtenons la fonction linéaire associée f:x\,\mapsto  \,ax.

II. Représentation graphique d’une fonction affine

Propriété :

Soit g la fonction affine définie par : g\,:\,x\,\mapsto  \,ax\,+\,b.L’ensemble des points M de coordonnées M\,(x\,;\,ax\,+\,b) est appelé représentation graphique de la fonction affine.

Dans un repère, cette représentation est la droite :

  • parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée.
  • passant par le point de coordonnées (0\,;\,b).

On dit que cette droite a pour équation : y\,=\,ax\,+\,b.

  • « a » est le coefficient directeur.
  • « b » est l’ordonnée à l’origine. Il indique la « hauteur » à laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées.

Remarques :

– Si a = 0, la droite d’équation y\,=\,ax\,+\,b est parallèle à l’axe des abscisses.

– Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme y = ax + b, et représente donc une fonction affine.

III. Sens de variation d’une fonction affine

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs.

Soit g la fonction affine définie par g:x\,\mapsto  \,ax+b.

  • Si a>0 alors g est croissante.
  • Si a<0 alors g est décroissante.

Exemple :

Courbe d'une fonction affine

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