Agrandissement, réduction et volumes : contrôle de maths en 3ème
Voici un contrôle de maths en 3ème sur le thème « agrandissement, réduction et volumes », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet porte sur l’agrandissement et la réduction de figures et de solides, un chapitre de géométrie de 3ème souvent traité au printemps, après les homothéties. Il vérifie que tu sais qu’un rapport k multiplie les longueurs par k, les aires par k² et les volumes par k³. Tu l’appliqueras à une maquette de maison, à une photo agrandie puis à un cône coupé par un plan parallèle à sa base.
Le dernier exercice est un problème de remplissage d’un verre conique, où l’intuition trompe souvent : c’est là que ce contrôle fait vraiment la différence. La calculatrice est autorisée, mais chaque calcul doit être écrit sur la copie avec une phrase de conclusion.
Ce qu’évalue le contrôle : agrandissement, réduction et volumes
L’essentiel du sujet
- Niveau3ème
- Durée55 minutes
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Homothéties (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Déterminer le rapport d’un agrandissement ou d’une réduction à partir de deux longueurs
- Calculer une aire ou un volume après un agrandissement ou une réduction de rapport k
- Utiliser l’échelle d’une maquette pour passer des dimensions réelles aux dimensions réduites
- Calculer le volume d’un cône et celui du petit cône obtenu par une section parallèle à la base
- Résoudre un problème concret de remplissage en utilisant le coefficient k au cube
Avant de commencer le devoir
Commence toujours par calculer le rapport k en divisant une longueur de la figure obtenue par la longueur correspondante de la figure de départ, dans la même unité. Demande-toi ensuite si l’on te parle d’une longueur, d’une aire ou d’un volume, puis élève k à la bonne puissance. Pour la maquette, fais attention aux conversions de m² en cm² et de m³ en cm³. Garde les valeurs exactes avec π jusqu’au bout et n’arrondis qu’à la fin.
Le sujet du contrôle : agrandissement, réduction et volumes
Exercice 1 – Longueurs, aires et volumes (3 points)
Réponds à chaque question en indiquant le calcul effectué.
- Un triangle a une aire de \(12\text{ cm}^2\). On l’agrandit avec un rapport \(k = 3\). Quelle est alors l’aire du triangle obtenu ?
- Un pavé droit a un volume de \(480\text{ cm}^3\). On le réduit ensuite avec un rapport \(k = \dfrac{1}{2}\). Quel est le volume du pavé obtenu ?
- Enfin, après un agrandissement, un carré d’aire \(50\text{ cm}^2\) devient un carré d’aire \(200\text{ cm}^2\). Par quel nombre les longueurs ont-elles été multipliées ?
Exercice 2 – La maison et sa maquette (4 points)
Un architecte présente à ses clients la maquette d’une maison. La façade de la maison mesure \(10\text{ m}\) de large et \(7{,}5\text{ m}\) de haut, et celle de la maquette mesure \(20\text{ cm}\) de large.
La figure n’est pas à l’échelle.
- D’abord, montre que la maquette est une réduction de rapport \(k = \dfrac{1}{50}\).
- Puis calcule la hauteur de la maquette, en centimètres.
- La surface au sol de la maison est de \(80\text{ m}^2\). Calcule ensuite la surface au sol de la maquette, en \(\text{cm}^2\).
- Enfin, le volume intérieur de la maison est de \(400\text{ m}^3\). Calcule le volume intérieur de la maquette, en \(\text{cm}^3\).
Exercice 3 – La photo agrandie (3 points)
Salomé fait agrandir une photo rectangulaire de \(10\text{ cm}\) sur \(15\text{ cm}\). Sur le tirage agrandi, le petit côté mesure \(25\text{ cm}\).
- D’abord, calcule le rapport \(k\) de l’agrandissement.
- Ensuite, calcule la longueur du grand côté du tirage agrandi.
- Son frère Tom affirme : « L’aire de la photo a été multipliée par 2,5. » A-t-il raison ? Justifie donc ta réponse en calculant les deux aires.
- Salomé veut aussi une vignette, réduction de la photo de départ, d’aire \(24\text{ cm}^2\). Quelles sont les dimensions de cette vignette ?
Exercice 4 – Le cône coupé (5 points)
Un cône de révolution a pour sommet \(S\), pour hauteur \(SO = 12\text{ cm}\) et pour base un disque de centre \(O\) et de rayon \(OA = 5\text{ cm}\). On le coupe par un plan parallèle à sa base, qui passe par le point \(O^{\prime}\) de \([SO]\) tel que \(SO^{\prime} = 4{,}8\text{ cm}\). La section est un disque de centre \(O^{\prime}\) et de rayon \(O^{\prime}A^{\prime}\), avec \(A^{\prime}\) sur \([SA]\).
La figure n’est pas à l’échelle. On rappelle que le volume d’un cône est \(V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\).
- D’abord, le triangle \(SOA\) est rectangle en \(O\). Calcule la longueur de la génératrice \(SA\).
- Ensuite, le petit cône de sommet \(S\) et de hauteur \(SO^{\prime}\) est une réduction du grand cône. Calcule le rapport \(k\) de cette réduction.
- Puis calcule le rayon \(O^{\prime}A^{\prime}\) de la section.
- Calcule aussi le volume du grand cône : donne la valeur exacte, puis l’arrondi au dixième de \(\text{cm}^3\).
- Déduis-en le volume du petit cône, en valeur exacte puis arrondie au dixième de \(\text{cm}^3\).
Exercice 5 – Les verres coniques de Maëlys (5 points)
Pour un goûter, Maëlys sert du jus de fruits dans des verres dont la partie qui contient le liquide est un cône de hauteur \(9\text{ cm}\) et dont le bord est un cercle de rayon \(4\text{ cm}\). Quand on verse du jus, alors le liquide forme un petit cône qui est une réduction du cône du verre.
La figure n’est pas à l’échelle. On rappelle que \(1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3\).
- D’abord, calcule le volume d’un verre rempli à ras bord, en valeur exacte puis arrondie au dixième de \(\text{cm}^3\).
- Ensuite, Maëlys remplit un premier verre jusqu’à la moitié de sa hauteur, soit \(4{,}5\text{ cm}\). Quelle fraction du volume du verre contient-il ? Calcule ce volume, arrondi au dixième de \(\text{cm}^3\).
- Elle remplit ensuite chaque verre jusqu’à une hauteur de \(7{,}2\text{ cm}\). Un tel verre contient-il donc plus ou moins de la moitié du volume du verre plein ? Justifie.
- Enfin, avec une carafe de \(1\text{ L}\), combien de verres remplis jusqu’à \(7{,}2\text{ cm}\) peut-elle servir entièrement ?
Réviser agrandissement, réduction et volumes avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon homothéties ; entraîne-toi sur la fiche homothéties avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en 3ème regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
Sujets proches à faire ensuite
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